2025年精算师风险模型速记真题及答案

2025年精算师风险模型速记练习题及答案单项选择题1.已知在某风险模型中，损失随机变量\(X\)服从参数为\(\lambda=2\)的指数分布。则\(P(X>3)\)的值为（）A.\(e^{6}\)B.\(e^{3}\)C.\(e^{2}\)D.\(1e^{6}\)E.\(1e^{3}\)答案：A解答：若随机变量\(X\)服从参数为\(\lambda\)的指数分布，其概率密度函数为\(f(x)=\lambdae^{\lambdax},x>0\)，分布函数为\(F(x)=1e^{\lambdax},x>0\)。已知\(\lambda=2\)，则\(P(X>3)=1P(X\leq3)\)，根据分布函数\(P(X\leq3)=F(3)=1e^{2\times3}=1e^{6}\)，所以\(P(X>3)=e^{6}\)。2.设某风险模型中，个体损失金额\(Y\)的分布为\(P(Y=1)=0.3\)，\(P(Y=2)=0.5\)，\(P(Y=3)=0.2\)。则\(E(Y)\)为（）A.1.5B.1.7C.1.9D.2.1E.2.3答案：C解答：离散型随机变量的数学期望公式为\(E(Y)=\sum_{i}y_{i}P(Y=y_{i})\)。这里\(y_1=1,y_2=2,y_3=3\)，\(P(Y=1)=0.3\)，\(P(Y=2)=0.5\)，\(P(Y=3)=0.2\)，则\(E(Y)=1\times0.3+2\times0.5+3\times0.2=0.3+1+0.6=1.9\)。多项选择题1.以下关于风险模型中风险度量指标\(VaR\)（在险价值）的说法，正确的有（）A.\(VaR\)是一种分位数度量B.\(VaR\)考虑了尾部损失的严重程度C.不同的置信水平下，\(VaR\)的值不同D.\(VaR\)具有次可加性E.\(VaR\)可以用于衡量单个资产或投资组合的风险答案：ACE解答：A选项：\(VaR\)本质上是在给定的置信水平下，衡量在一定时间内可能出现的最大损失，是一种分位数度量，所以A正确。B选项：\(VaR\)只给出了在一定置信水平下的最大损失，没有考虑到超过这个最大损失的尾部损失的严重程度，所以B错误。C选项：置信水平不同，对应的分位数不同，\(VaR\)的值也就不同。例如，95%置信水平下的\(VaR\)和99%置信水平下的\(VaR\)通常是不一样的，所以C正确。D选项：\(VaR\)不具有次可加性，即组合的\(VaR\)可能大于单个资产\(VaR\)之和，这使得它在衡量投资组合风险时存在一定缺陷，所以D错误。E选项：\(VaR\)既可以用于衡量单个资产的风险，也可以用于衡量投资组合的整体风险，所以E正确。2.在复合泊松风险模型中，以下哪些性质是正确的（）A.理赔次数\(N\)服从泊松分布B.个体理赔额\(X_i\)相互独立且同分布C.理赔次数\(N\)与个体理赔额\(X_i\)相互独立D.总损失\(S=\sum_{i=1}^{N}X_i\)的矩母函数为\(M_S(t)=E\left[e^{tS}\right]=\exp\left\{\lambda\left(M_X(t)1\right)\right\}\)，其中\(\lambda\)是泊松分布的参数，\(M_X(t)\)是个体理赔额的矩母函数E.总损失\(S\)的均值为\(E(S)=\lambdaE(X)\)，方差为\(Var(S)=\lambdaE(X^2)\)答案：ABCDE解答：A选项：复合泊松风险模型的定义中，理赔次数\(N\)服从参数为\(\lambda\)的泊松分布，所以A正确。B选项：个体理赔额\(X_i\)相互独立且同分布，这是复合泊松风险模型的基本假设，所以B正确。C选项：理赔次数\(N\)与个体理赔额\(X_i\)相互独立，这保证了模型的独立性假设，便于进行分析和计算，所以C正确。D选项：通过矩母函数的定义和计算，可推导出总损失\(S=\sum_{i=1}^{N}X_i\)的矩母函数为\(M_S(t)=E\left[e^{tS}\right]=\exp\left\{\lambda\left(M_X(t)1\right)\right\}\)，所以D正确。E选项：根据期望和方差的性质以及复合泊松分布的特点，可计算出\(E(S)=\lambdaE(X)\)，\(Var(S)=\lambdaE(X^2)\)，所以E正确。解答题1.某保险公司的理赔次数\(N\)服从参数为\(\lambda=3\)的泊松分布，个体理赔额\(X\)服从参数为\(a=2,b=1\)的帕累托分布，其概率密度函数为\(f(x)=\frac{ab^a}{(b+x)^{a+1}},x>0\)。求总损失\(S=\sum_{i=1}^{N}X_i\)的均值和方差。解答：首先求个体理赔额\(X\)的均值\(E(X)\)和\(E(X^2)\)。对于帕累托分布\(f(x)=\frac{ab^a}{(b+x)^{a+1}},x>0\)，其均值\(E(X)=\frac{b}{a1}\)（\(a>1\)），方差\(Var(X)=\frac{ab^2}{(a1)^2(a2)}\)（\(a>2\)）。已知\(a=2,b=1\)，则\(E(X)=\frac{1}{21}=1\)。\(E(X^2)=Var(X)+[E(X)]^2\)，对于\(a=2,b=1\)的帕累托分布，先求\(Var(X)\)，\(Var(X)=\frac{2\times1^2}{(21)^2(22)}\)此时方差公式不适用，直接用积分求\(E(X^2)\)：\(E(X^2)=\int_{0}^{\infty}x^{2}\frac{2\times1^2}{(1+x)^{3}}dx\)令\(t=x+1\)，\(x=t1\)，\(dx=dt\)，则\(E(X^2)=2\int_{1}^{\infty}\frac{(t1)^{2}}{t^{3}}dt=2\int_{1}^{\infty}\frac{t^{2}2t+1}{t^{3}}dt=2\int_{1}^{\infty}(t^{1}2t^{2}+t^{3})dt\)\(=2\left[\lnt+\frac{2}{t}\frac{1}{2t^{2}}\right]_1^{\infty}=2\left(0+00(0+2\frac{1}{2})\right)=3\)因为理赔次数\(N\)服从参数为\(\lambda=3\)的泊松分布，根据复合泊松分布总损失\(S=\sum_{i=1}^{N}X_i\)的性质：总损失的均值\(E(S)=\lambdaE(X)\)，将\(\lambda=3\)，\(E(X)=1\)代入得\(E(S)=3\times1=3\)。总损失的方差\(Var(S)=\lambdaE(X^2)\)，将\(\lambda=3\)，\(E(X^2)=3\)代入得\(Var(S)=3\times3=9\)。2.假设某风险模型中，损失随机变量\(X\)服从威布尔分布，其概率密度函数为\(f(x)=\frac{\gamma}{\theta}(\frac{x}{\theta})^{\gamma1}e^{(\frac{x}{\theta})^{\gamma}},x>0\)，其中\(\gamma=2,\theta=3\)。计算\(P(1<X<5)\)。解答：威布尔分布的分布函数为\(F(x)=1e^{(\frac{x}{\theta})^{\gamma}},x>0\)。已知\(\gamma=2,\theta=3\)，则\(P(1<X<5)=F(5)F(1)\)。\(F(5)=1e^{(\frac{5}{3})^{2}}=1e^{\frac{25}{9}}\)\(F(1)=1