2025九年级数学三角函数期末测试卷

2025九年级数学三角函数期末测试卷2025九年级数学三角函数期末测试卷

姓名：______班级：______学号：______得分：______

（考试时间：90分钟，满分：100分）

1.选择题（每题3分，共15分）

1.1在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，则∠C的度数是（）

1.2已知点P(x,y)在直线y=√3x上，则点P的斜边与x轴的夹角是（）

1.3如果sinα=1/2，且α是锐角，则α的度数是（）

1.4在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则sinA的值是（）

1.5已知cos30°=√3/2，则cos150°的值是（）

2.填空题（每题4分，共20分）

2.1若sin45°cos60°-sin30°cos45°=______

2.2在△ABC中，∠A=60°，∠B=75°，则∠C的正弦值是______

2.3已知点P在x轴上，且tanP=√3，则点P的坐标是______

2.4若sinα=0.6，且α是锐角，则cos(90°-α)的值是______

2.5在Rt△PQR中，∠Q=90°，PQ=5，QR=12，则sinP的值是______

3.解答题（每题6分，共30分）

3.1在△ABC中，∠A=45°，∠B=60°，AB=10，求AC的长度。

3.2已知cosθ=1/2，且θ是锐角，求θ的正弦值和余切值。

3.3在Rt△DEF中，∠F=90°，DE=8，EF=6，求∠D的正弦值。

3.4一个斜坡的坡度为1:√3，求斜坡与水平面的夹角的正弦值。

3.5已知sinα=3/5，且α是锐角，求cosα的值。

4.计算题（每题7分，共35分）

4.1计算：sin60°cos30°+cos60°sin30°

4.2在△GHI中，∠G=30°，∠H=45°，GI=6，求HI的长度。

4.3已知cosφ=√2/2，且φ是钝角，求sin(90°-φ)的值。

4.4在Rt△JKL中，∠K=90°，JK=5，KL=13，求∠J的正弦值和余弦值。

4.5已知sinβ=0.8，且β是锐角，求cosβ的值。

5.应用题（每题8分，共30分）

5.1一艘船在海面上航行，灯塔A在船的北偏东30°方向，船航行到B处时，灯塔A在船的北偏西45°方向，如果AB=10海里，求灯塔A到船B的距离。

5.2一座电视塔高h米，地面上的C点到电视塔底部B的距离为d米，从C点测得电视塔顶A的仰角为θ，求电视塔的高度h。

5.3一架梯子斜靠在墙上，梯子的底端离墙角3米，梯子的顶端离地面4米，求梯子的长度和梯子与地面的夹角的正弦值。

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（以下为详细题目内容）

###1.选择题（每题3分，共15分）

1.1在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，则∠C的度数是（）

A.15°B.60°C.75°D.105°

1.2已知点P(x,y)在直线y=√3x上，则点P的斜边与x轴的夹角是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

1.3如果sinα=1/2，且α是锐角，则α的度数是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

1.4在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则sinA的值是（）

A.3/5B.4/5C.1/2D.√3/2

1.5已知cos30°=√3/2，则cos150°的值是（）

A.√3/2B.-√3/2C.1/2D.-1/2

###2.填空题（每题4分，共20分）

2.1若sin45°cos60°-sin30°cos45°=______

答案：0

2.2在△ABC中，∠A=60°，∠B=75°，则∠C的正弦值是______

答案：sin45°

2.3已知点P在x轴上，且tanP=√3，则点P的坐标是______

答案：(1,0)或(-1,0)

2.4若sinα=0.6，且α是锐角，则cos(90°-α)的值是______

答案：0.6

2.5在Rt△PQR中，∠Q=90°，PQ=5，QR=12，则sinP的值是______

答案：5/12

###3.解答题（每题6分，共30分）

3.1在△ABC中，∠A=45°，∠B=60°，AB=10，求AC的长度。

解：∠C=75°，由正弦定理得AC=AB/sinB×sinA=10/sin60°×sin45°≈8.66

3.2已知cosθ=1/2，且θ是锐角，求θ的正弦值和余切值。

解：θ=60°，sinθ=√3/2，cotθ=tan60°=√3

3.3在Rt△DEF中，∠F=90°，DE=8，EF=6，求∠D的正弦值。

解：sinD=EF/DE=6/8=3/4

3.4一个斜坡的坡度为1:√3，求斜坡与水平面的夹角的正弦值。

解：坡度=1:√3，∠θ=30°，sinθ=1/2

3.5已知sinα=3/5，且α是锐角，求cosα的值。

解：cosα=√(1-sin²α)=√(1-(3/5)²)=4/5

###4.计算题（每题7分，共35分）

4.1计算：sin60°cos30°+cos60°sin30°

解：sin60°cos30°+cos60°sin30°=√3/2×√3/2+1/2×1/2=3/4+1/4=1

4.2在△GHI中，∠G=30°，∠H=45°，GI=6，求HI的长度。

解：∠I=105°，由正弦定理得HI=GI/sinG×sinH=6/sin30°×sin45°≈6.93

4.3已知cosφ=√2/2，且φ是钝角，求sin(90°-φ)的值。

解：φ=135°，sin(90°-φ)=cosφ=√2/2

4.4在Rt△JKL中，∠K=90°，JK=5，KL=13，求∠J的正弦值和余弦值。

解：sinJ=JK/KL=5/13，cosJ=KL/KL=12/13

4.5已知sinβ=0.8，且β是锐角，求cosβ的值。

解：cosβ=√(1-sin²β)=√(1-0.64)=√0.36=0.6

###5.应用题（每题8分，共30分）

5.1一艘船在海面上航行，灯塔A在船的北偏东30°方向，船航行到B处时，灯塔A在船的北偏西45°方向，如果AB=10海里，求灯塔A到船B的距离。

解：∠ABB'=75°，由正弦定理得AB'=AB/sin75°×sin45°≈7.07海里

5.2一座电视塔高h米，地面上的C点到电视塔底部B的距离为d米，从C点测得电视塔顶A的仰角为θ，求电视塔的高度h。

解：h=d×tanθ

5.3一架梯子斜靠在墙上，梯子的底端离墙角3米，梯子的顶端离地面4米，求梯子的长度和梯子与地面的夹角的正弦值。

解：梯子长度=√(3²+4²)=5米，sinθ=4/5

8.解答题（每题8分，共32分）

8.1在△MNO中，∠M=45°，∠N=60°，MO=8，求ON的长度。

8.2已知cosγ=1/2，且γ是钝角，求sin(90°-γ)的值。

8.3在Rt△PQR中，∠Q=90°，PQ=6，QR=10，求∠P的正弦值和余弦值。

8.4一座建筑物的高为h米，从地面上的A点测得建筑物的顶部的仰角为θ，求建筑物的高度h。

9.计算题（每题8分，共32分）

9.1计算：sin75°cos15°-cos75°sin15°

9.2在△STU中，∠S=30°，∠T=45°，ST=10，求TU的长度。

9.3已知sinα=0.7，且α是锐角，求cosα的值。

9.4在Rt△VWX中，∠W=90°，VW=4，WX=5，求∠V的正弦值和余弦值。

10.应用题（每题10分，共30分）

10.1一架飞机以每小时400公里的速度飞行，在空中飞行了1小时后，测得飞机与起点的水平距离为300公里，求飞机的飞行高度。

10.2一座山坡的坡度为2:1，从坡底到坡顶的距离为100米，求坡顶与坡底的高度差。

10.3一根斜放的杆子，杆子与地面的夹角为θ，杆子的长度为L，杆子的顶端离地面的高度为h，求杆子与地面的夹角的正弦值。

11.选择题（每题4分，共16分）

11.1在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，则∠C的度数是（）

A.75°B.105°C.120°D.135°

11.2已知点P(x,y)在直线y=√3x上，则点P的斜边与x轴的夹角是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

11.3如果sinα=1/2，且α是锐角，则α的度数是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

11.4在Rt△DEF中，∠F=90°，DE=8，EF=6，则sinD的值是（）

A.3/5B.4/5C.1/2D.√3/2

12.填空题（每题5分，共20分）

12.1若sin45°cos60°-sin30°cos45°=______

12.2在△ABC中，∠A=60°，∠B=75°，则∠C的正弦值是______

12.3已知点P在x轴上，且tanP=√3，则点P的坐标是______

12.4若sinα=0.6，且α是锐角，则cos(90°-α)的值是______

13.解答题（每题10分，共30分）

13.1在△ABC中，∠A=45°，∠B=60°，AB=10，求AC的长度。

13.2已知cosθ=1/2，且θ是锐角，求θ的正弦值和余切值。

13.3在Rt△DEF中，∠F=90°，DE=8，EF=6，求∠D的正弦值。

14.计算题（每题10分，共40分）

14.1计算：sin60°cos30°+cos60°sin30°

14.2在△GHI中，∠G=30°，∠H=45°，GI=6，求HI的长度。

14.3已知cosφ=√2/2，且φ是钝角，求sin(90°-φ)的值。

14.4在Rt△JKL中，∠K=90°，JK=5，KL=13，求∠J的正弦值和余弦值。

15.应用题（每题12分，共24分）

15.1一艘船在海面上航行，灯塔A在船的北偏东30°方向，船航行到B处时，灯塔A在船的北偏西45°方向，如果AB=10海里，求灯塔A到船B的距离。

15.2一座电视塔高h米，地面上的C点到电视塔底部B的距离为d米，从C点测得电视塔顶A的仰角为θ，求电视塔的高度h。

###试卷题型答案

**1.选择题（每题3分，共15分）**

1.1C1.2C1.3A1.4B1.5B

**2.填空题（每题4分，共20分）**

2.102.2√2/22.3(1,0)或(-1,0)2.40.62.55/12

**3.解答题（每题6分，共30分）**

3.1AC≈8.663.2sinθ=√3/2,cotθ=√33.3sinD=3/43.4sinθ=1/23.5cosα=4/5

**4.计算题（每题7分，共35分）**

4.114.2HI≈6.934.3√2/24.4sinJ=4/5,cosJ=3/54.5cosβ=0.6

**5.应用题（每题8分，共30分）**

5.1AB'≈7.07海里5.2高度差=100√3米5.3sinθ=4/L

**8.解答题（每题8分，共32分）**

8.1ON=4√28.2sin(90°-γ)=√3/28.3sinP=3/5,cosP=4/58.4h=d/tanθ

**9.计算题（每题8分，共32分）**

9.119.2TU=10√2/√39.3cosα=√(1-0.49)=√0.519.4sinV=4/5,cosV=3/5

**10.应用题（每题10分，共30分）**

10.1高度=√(400²-300²)=100√39米10.2高度差=100米10.3sinθ=h/L

**11.选择题（每题4分，共16分）**

11.1C11.2C11.3A11.4A

**12.填空题（每题5分，共20分）**

12.1012.2√2/212.3(1,0)或(-1,0)12.40.6

**13.解答题（每题10分，共30分）**

13.1AC≈8.6613.2sinθ=√3/2,cotθ=√313.3sinD=3/4

**14.计算题（每题10分，共40分）**

14.1114.2HI≈6.9314.3√2/214.4sinJ=4/5,cosJ=3/5

**15.应用题（每题12分，共24分）**

15.1AB'≈7.07海里15.2h=d/tanθ

###知识点分类和总结

**一、三角函数的基本概念**

1.锐角三角函数定义：在直角三角形中，对于锐角A，对边a与斜边c的比叫做角A的正弦，即sinA=a/c；邻边b与斜边c的比叫做角A的余弦，即cosA=b/c；对边a与邻边b的比叫做角A的正切，即tanA=a/b。

2.特殊角的三角函数值：30°、45°、60°角的正弦、余弦、正切值要熟练记忆。

-sin30°=1/2,cos30°=√3/2,tan30°=1/√3

-sin45°=√2/2,cos45°=√2/2,tan45°=1

-sin60°=√3/2,cos60°=1/2,tan60°=√3

**二、三角函数的基本关系式**

1.同角三角函数的基本关系式：

-倒数关系：sinA/cosA=tanA,cosA/sinA=1/tanA

-商数关系：tanA=sinA/cosA

-平方关系：sin²A+cos²A=1

2.诱导公式：用于化钝角三角函数为锐角三角函数，或化一个角的三角函数为另一个角的三角函数。

-sin(π+α)=-sinα,cos(π+α)=-cosα,tan(π+α)=tanα

-sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,tan(π-α)=-tanα

-sin(π/2-α)=cosα,cos(π/2-α)=sinα,tan(π/2-α)=1/tanα

-sin(π/2+α)=cosα,cos(π/2+α)=-sinα,tan(π/2+α)=-1/tanα

**三、解三角形**

1.正弦定理：在任意三角形中，各边与其所对角的正弦的比相等，即a/sinA=b/sinB=c/sinC。

2.余弦定理：在任意三角形中，任意一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积，即a²=b²+c²-2bc*cosA。

**四、三角函数的应用**

1.坡度、仰角、俯角：在实际问题中，经常需要用到坡度、仰角、俯角等概念，通过三角函数关系来解决距离、高度等问题。

2.解实际测量问题：如测量物体高度、距离等，通常需要建立直角三角形或任意三角形模型，利用三角函数知识求解。

###各题型所考察学生的知识点详解及示例

**1.选择题**

考察学生对特殊角的三角函数值、诱导公式的掌握程度。

示例：已知cos30°=√3/2，则cos150°的值是（）

答案：B.-√3/2

**2.填空题**

考察学生对同角三角函数基本关系式、特殊角的三角函数值的记忆和应用能力。

示例：若sin45°cos60°-sin30°cos45°=______

答案：0

**3.解答题**

考察学生综合运用三角函数知识解决三角形问题的能力，包括计算三角形边长、角度等。

示例：在△ABC中，∠A=45°，∠B=60°，AB=10，求AC的长度。

解：由正弦定理得AC=AB/sinB×sinA=10/sin60°×sin45°≈8.66

**4.计算题**

考察学生对三角函数关系式的灵活运用能力，包括化简三角函数式、求解三角函数值等。

示例：计算：sin60°cos30°+cos60°sin30°

解：sin60°cos30°+cos60°sin30°=√3/2×√3/2+1/2×1/2=3/4+1/4=1

**5.应用题**

考察学生将三角函数知识应用于解决实际问题的能力，包括建立数学模型、求解实际问题等。

示例：一座电视塔高h米，地面上的C点到电视塔底部B的距离为d米，从C点测得电视塔顶A的仰角为θ，求电视塔的高度h。

解：h=d×tanθ

**8.解答题**

考