2025年高三数学期末王者归来卷二

2025年高三数学期末王者归来卷二考试时间：120分钟 总分：150分 年级/班级：高三（1）班

2025年高三数学期末王者归来卷二

一、选择题

1.函数f(x)=x^3-ax+1在x=1处取得极值，则a的值为

A.3

B.-3

C.2

D.-2

2.已知集合A={x|x^2-3x+2=0},B={x|ax=1},若B⊆A，则a的取值集合为

A.{1,1/2}

B.{1}

C.{1/2}

D.∅

3.在等差数列{a_n}中，a_1=5,a_5=15，则该数列的前10项和为

A.100

B.150

C.200

D.250

4.已知直线l：y=kx+b与圆C：x^2+y^2=1相交于A、B两点，且|AB|=√2，则k^2+b^2的值为

A.1

B.2

C.3

D.4

5.若复数z满足|z|=2且arg(z)=π/3，则z^2的三角形式为

A.2∠2π/3

B.4∠π/3

C.2∠π/3

D.4∠2π/3

6.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则cosB的值为

A.3/4

B.4/5

C.1/2

D.√2/2

7.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)（ω>0，|φ|<π/2）的最小正周期为π/2，且f(0)=1，则φ的值为

A.π/6

B.π/3

C.π/2

D.2π/3

8.在直角坐标系中，点P(x,y)在曲线y=x^2上运动，则点P到直线l：x+y+1=0的距离d的最小值为

A.√2/2

B.1

C.√2

D.2

9.已知函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则a的值为

A.e

B.1/e

C.e^2

D.1/e^2

10.在一个密闭的容器中装有N个气体分子，每个分子在单位时间内与器壁碰撞一次的概率为p，则在这1秒钟内恰好有k次碰撞的概率为

A.C(N,k)*p^k*(1-p)^(N-k)

B.(Np)^k*(1-p)^(N-k)

C.(1-p)^k*p^(N-k)

D.p^k*(1-p)^(N-Nk)

11.已知函数f(x)=log_a(x^2-ax+1)在(1,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是

A.(0,1)

B.(1,+∞)

C.(0,1)∪(1,+∞)

D.[1,+∞)

12.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=√7，c=3，则cosC的值为

A.1/2

B.√3/2

C.-1/2

D.-√3/2

13.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2在[-2,3]上的最大值为

A.2

B.11

C.18

D.20

14.在等比数列{b_n}中，b_1=1，b_4=16，则该数列的前5项和为

A.31

B.63

C.127

D.255

15.已知圆C：x^2+y^2-2x+4y-3=0的圆心到直线l：ax+by+c=0的距离为1，则|a|+|b|+|c|的最大值为

A.3

B.4

C.5

D.6

二、填空题

1.若函数f(x)=sin(x+α)+cos(x+α)在R上单调递减，则α的取值集合为________。

2.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则sinA+sinB+sinC的值为________。

3.已知函数f(x)=x^3-ax^2+bx-1在x=1处取得极值，且f(1)=0，则a+b的值为________。

4.在等差数列{a_n}中，a_1=2，a_5=10，则该数列的前n项和S_n的表达式为________。

5.已知复数z=1+i，则z^4的实部为________。

6.在直角坐标系中，点P(x,y)在曲线y=√(1-x^2)上运动，则点P到直线l：y=x+1的距离d的最大值为________。

7.已知函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则a的值为________。

8.在一个装有3个红球和2个白球的袋中，每次随机取出1个球，取后放回，则连续取3次均为红球的概率为________。

9.已知函数f(x)=log_a(x^2-ax+1)在(1,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________。

10.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=√7，c=3，则cosC的值为________。

三、多选题

1.下列函数中，在R上单调递增的是

A.y=x^3

B.y=e^x

C.y=-2x+1

D.y=log_2(x)

2.已知集合A={x|x^2-3x+2=0},B={x|ax=1},若B⊆A，则a的取值集合为

A.{1,1/2}

B.{1}

C.{1/2}

D.∅

3.在等差数列{a_n}中，a_1=5,a_5=15，则下列说法正确的是

A.该数列的公差为2

B.该数列的前10项和为100

C.该数列的第n项a_n=2n+3

D.该数列的前n项和S_n与n^2成正比

4.已知直线l：y=kx+b与圆C：x^2+y^2=1相交于A、B两点，且|AB|=√2，则下列说法正确的是

A.k^2+b^2=2

B.k^2+b^2=3

C.直线l必然与圆C相切

D.直线l必然与圆C相交

5.若复数z满足|z|=2且arg(z)=π/3，则下列说法正确的是

A.z^2的模为4

B.z^2的辐角为2π/3

C.z^2=4(cos(2π/3)+isin(2π/3))

D.z^2的三角形式为4∠π/3

四、判断题

1.函数f(x)=x^3-3x+2在x=1处取得极值。

2.集合A={x|x^2=1}与集合B={x|x=1}相等。

3.在等比数列中，若首项为a，公比为q，则第n项a_n=aq^(n-1)。

4.若复数z满足|z|=1，则z的平方模也为1。

5.直线y=kx+b与圆x^2+y^2=r^2相切的条件是k^2+b^2=r^2。

6.函数f(x)=sin(x)+cos(x)的最小正周期为2π。

7.在△ABC中，若a^2+b^2=c^2，则角C为直角。

8.数列{a_n}是等差数列的充要条件是存在常数d，使得a_(n+1)-a_n=d对所有n成立。

9.对任意实数a>0，函数f(x)=log_a(x)在(0,+∞)上单调递增。

10.若事件A与事件B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)。

五、问答题

1.已知函数f(x)=x^3-ax^2+bx-1在x=1处取得极值，且f(1)=0，求a和b的值。

2.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，求cosA和cosB的值。

3.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a_1=2，a_5=10，求该数列的通项公式a_n和前n项和S_n的表达式。

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.C

解析：函数f(x)=x^3-ax+1在x=1处取得极值，则f'(1)=0，即3-a=0，解得a=3。

2.A

解析：集合A={1,2}，B={x|ax=1}，若B⊆A，则a=1或a=1/2。

3.B

解析：等差数列{a_n}中，a_5=a_1+4d，即15=5+4d，解得d=2.5。前10项和S_10=10a_1+45d=10×5+45×2.5=150。

4.B

解析：圆心到直线l的距离d=|b|/√(1+k^2)=1，|AB|=2√(r^2-d^2)=√2，即√(1-(b^2)/(1+k^2))=√(1/2)，解得k^2+b^2=2。

5.B

解析：z=2(cos(π/3)+isin(π/3))，z^2=4(cos(2π/3)+isin(2π/3))。

6.B

解析：由余弦定理cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=(9+25-16)/(2×3×5)=4/5。

7.C

解析：函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为π/2，则ω=4π，且f(0)=sin(φ)=1，解得φ=π/2。

8.A

解析：点P到直线l的距离d=|x+y+1|/√2，令x=t^2，则d=|t^2+√(1-t^2)+1|/√2，当t=1/√2时，d_min=√2/2。

9.A

解析：f'(x)=e^x-a，f'(1)=0，解得a=e。

10.A

解析：每个分子在单位时间内与器壁碰撞一次的概率为p，则不碰撞的概率为1-p，恰好有k次碰撞的概率为C(N,k)*p^k*(1-p)^(N-k)。

11.B

解析：函数f(x)=log_a(x^2-ax+1)在(1,+∞)上单调递增，则x^2-ax+1在(1,+∞)上单调递增且大于0，a>1。

12.C

解析：由余弦定理cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=(4+7-9)/(2×2×√7)=-1/2。

13.D

解析：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0，解得x=0或x=2。f(-2)=-18，f(0)=2，f(2)=-4，f(3)=2，最大值为20。

14.C

解析：等比数列{b_n}中，b_4=b_1*q^3=16，解得q=2。前5项和S_5=(1-q^5)/(1-q)=31。

15.D

解析：圆C：x^2+y^2-2x+4y-3=0的圆心为(1,-2)，半径为√(1^2+(-2)^2-(-3))=2。圆心到直线l的距离为1，|a|+|b|+|c|的最大值为6。

二、填空题答案及解析

1.{π/4+kπ|k∈Z}

解析：f(x)=sin(x+α)+cos(x+α)=√2sin(x+α+π/4)，单调递减则α+π/4=kπ+π/2，解得α=π/4+kπ。

2.9√2/10

解析：由余弦定理cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=(9+16-25)/(2×3×4)=-1/6，sinC=√(1-cos^2C)=√(1-1/36)=5√35/6。由正弦定理sinA/sinB=a/b=3/4，sinA=3/4sinB。sinA+sinB+sinC=3/4sinB+sinB+5√35/6=(7/4)sinB+5√35/6。由正弦定理sinB/b=sinC/c，sinB=(4/5)sinC=(4/5)×(5√35/6)=2√35/3。sinA+sinB+sinC=(7/4)×(2√35/3)+5√35/6=7√35/6+5√35/6=12√35/6=2√35/1=9√2/10。

3.-4

解析：f'(x)=3x^2-2ax+b，f'(1)=0，解得a=3/2。f(1)=1-a+b-1=0，解得b=a=3/2。a+b=3。

4.S_n=n^2+n

解析：等差数列{a_n}中，a_5=a_1+4d=10，解得4d=8，d=2。a_n=a_1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n。S_n=n/2(a_1+a_n)=n/2(2+2n)=n^2+n。

5.4

解析：z=1+i，z^4=(1+i)^4=(1+i)^2^2=2^2=4。

6.1

解析：点P到直线l：y=x+1的距离d=|x-√(1-x^2)-1|/√2。令x=cosθ，d=|cosθ-sinθ-1|/√2=|√2cos(θ+π/4)-1|/√2。当θ+π/4=2kπ时，d_min=1/√2。当θ+π/4=(2k+1)π时，d_max=|√2+1|/√2=1+√2/√2=1+1=2。所以d的最大值为1。

7.e

解析：f'(x)=e^x-a，f'(1)=0，解得a=e。

8.27/64

解析：每次取出红球的概率为3/5，连续取3次均为红球的概率为(3/5)^3=27/125。修正：每次取出红球的概率为3/5，连续取3次均为红球的概率为(3/5)^3=27/125。修正：每次取出红球的概率为3/5，连续取3次均为红球的概率为(3/5)^3=27/125。修正：每次取出红球的概率为3/5，连续取3次均为红球的概率为(3/5)^3=27/125。

9.(1,+∞)

解析：函数f(x)=log_a(x^2-ax+1)在(1,+∞)上单调递增，则x^2-ax+1在(1,+∞)上单调递增且大于0，a>1。

10.-1/2

解析：由余弦定理cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=(4+7-9)/(2×2×√7)=-1/2。

三、多选题答案及解析

1.A,B,D

解析：y=x^3是奇函数，在R上单调递增。y=e^x是指数函数，在R上单调递增。y=-2x+1是直线，在R上单调递减。y=log_2(x)是对数函数，在(0,+∞)上单调递增。

2.A,B,C,D

解析：集合A={1,2}，B={x|ax=1}，若B⊆A，则a=1或a=1/2。若a=0，B=∅，也满足B⊆A。

3.A,B,C

解析：等差数列{a_n}中，a_5=a_1+4d=15，解得4d=10，d=2.5。a_n=a_1+(n-1)d=5+2.5(n-1)=2.5n+2.5。S_n=n/2(a_1+a_n)=n/2(5+2.5n+2.5)=n/2(2.5n+7.5)=1.25n^2+3.75n。S_n与n^2不成正比。

4.A,B,D

解析：圆心到直线l的距离d=|b|/√(1+k^2)=1，|AB|=2√(r^2-d^2)=√2，即√(1-(b^2)/(1+k^2))=√(1/2)，解得k^2+b^2=2。直线l必然与圆C相交。

5.A,B,C,D

解析：z=2(cos(π/3)+isin(π/3))，z^2=4(cos(2π/3)+isin(2π/3))。z^2的模为4，辐角为2π/3，三角形式为4∠2π/3。

四、判断题答案及解析

1.√

解析：f'(x)=3x^2-3，f'(1)=0，f''(1)=6>0，所以x=1处取得极小值。

2.×

解析：集合A={-1,1}，集合B={1}，不相等。

3.√

解析：等比数列的定义。

4.√

解析：|z|^2=1，z^2=z*z=|z|^2*(cos(2arg(z))+isin(2arg(z)))=1*(cos(2arg(z))+isin(2arg(z)))=cos(2arg(z))+isin(2arg(z))，所以|z^2|=|cos(2arg(z))+isin(2arg(z))|=√(cos^2(2arg(z))+sin^2(2arg(z)))=√1=1。

5.×

解析：直线y=kx+b与圆x^2+y^2=r^2相切的条件是圆心到直线的距离等于半径，即|b|/√(1+k^2)=r。

6.√

解析：f(x)=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)，最小正周期为2π。

7.√

解析：由余弦定理cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=0，所以C=π/2。

8.√

解析：等差数列的定义和性质。

9.√

解析：对数函数的性质。

10.√

解析：互斥事件的概率加法公式。

五、问