2025年高三数学期末质量全真卷

2025年高三数学期末质量全真卷考试时间：120分钟 总分：150分 年级/班级：高三（1）班

2025年高三数学期末质量全真卷

一、选择题

1.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为（）

A.3

B.1

C.0

D.2

2.若复数z满足z^2=1，则z的模长为（）

A.1

B.-1

C.0

D.2

3.已知集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|ax=1}，若A∩B={1}，则a的值为（）

A.1

B.2

C.-1

D.-2

4.函数f(x)=sin(x)+cos(x)的最小正周期为（）

A.π

B.2π

C.π/2

D.4π

5.若直线y=kx+b与圆(x-1)^2+(y-2)^2=4相切，则k的取值范围是（）

A.[-2,2]

B.(-∞,-2)∪(2,+∞)

C.[-√3,√3]

D.(-∞,-√3)∪(√3,+∞)

6.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=2，d=3，则S_10的值为（）

A.165

B.150

C.180

D.195

7.若函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则a的值为（）

A.e

B.1/e

C.2

D.-1

8.已知向量a=(1,2)，b=(3,-4)，则向量a与b的夹角余弦值为（）

A.-1/5

B.1/5

C.-4/5

D.4/5

9.若函数f(x)=log_a(x+1)在(0,+∞)上单调递增，则a的取值范围是（）

A.(0,1)

B.(1,+∞)

C.(0,+∞)

D.[1,+∞)

10.已知点A(1,2)，B(3,0)，则直线AB的斜率为（）

A.-1

B.1

C.-2

D.2

二、填空题

1.已知函数f(x)=x^3-ax+1在x=1处取得极值，则a的值为________。

2.若复数z=1+i，则z^4的虚部为________。

3.已知集合A={x|x^2-x-6=0}，B={x|mx-1=0}，若A∪B=A，则m的取值集合为________。

4.函数f(x)=sin(2x)+cos(2x)的最小正周期为________。

5.已知直线y=kx+1与圆(x-2)^2+(y-3)^2=1相切，则k的值为________。

6.若等比数列{b_n}的首项b_1=3，公比q=2，则b_5的值为________。

7.已知函数f(x)=x^2-4x+3，则f(x)在区间[-1,4]上的最大值为________。

8.若向量a=(2,-1)，b=(m,1)，且a⊥b，则m的值为________。

9.已知函数f(x)=2^x-x^2在x=2处取得极值，则f(x)的单调递增区间为________。

10.已知点A(1,2)，B(3,0)，C(2,-1)，则△ABC的面积为________。

三、多选题

1.下列函数中，在(-∞,+∞)上单调递增的有（）

A.y=x^2

B.y=e^x

C.y=log_2(x)

D.y=-x

2.下列关于复数的说法中，正确的有（）

A.若z^2=0，则z=0

B.若z^2=1，则z=±1

C.若z+1=0，则z=-1

D.若z*z=1，则z=±i

3.下列关于集合的说法中，正确的有（）

A.若A∩B=∅，则A与B没有公共元素

B.若A∪B=A，则B⊆A

C.若A⊆B，则A∪B=B

D.若A⊆B，则A∩B=A

4.下列关于向量的说法中，正确的有（）

A.若a∥b，则存在非零实数k，使得a=kb

B.若a⊥b，则a·b=0

C.若|a|=|b|，则a=±b

D.若a+b=0，则a=-b

5.下列关于函数的说法中，正确的有（）

A.若函数f(x)=x^3在x=0处取得极值，则f(x)在(-∞,+∞)上单调递增

B.若函数f(x)=sin(x)+cos(x)的最小正周期为2π，则f(x)在[0,2π]上至少有一个极值点

C.若函数f(x)=log_a(x)在(0,+∞)上单调递增，则a>1

D.若函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则f(x)在(0,+∞)上单调递增

四、判断题

1.函数f(x)=|x-1|在x=1处取得极小值。（）

2.若复数z满足z^2=-1，则z的模长为√2。（）

3.集合A={x|x^2=1}与集合B={1,-1}是相等的。（）

4.函数f(x)=sin(x)+cos(x)可以写成f(x)=√2sin(x+π/4)的形式。（）

5.若直线y=kx+b与圆(x-1)^2+(y-2)^2=4相切，则k^2+b^2=5。（）

6.等差数列{a_n}的前n项和S_n=n(a_1+a_n)/2，其中a_1为首项，a_n为第n项。（）

7.函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则a=e。（）

8.向量a=(1,2)与向量b=(3,-4)的夹角是钝角。（）

9.若函数f(x)=log_a(x)在(0,+∞)上单调递增，则a>1。（）

10.点A(1,2)，B(3,0)，C(2,-1)构成一个直角三角形。（）

五、问答题

1.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f(x)的极值点。

2.已知向量a=(2,3)，向量b=(x,1)，且向量a与向量b的夹角为45°，求x的值。

3.已知等差数列{a_n}的首项a_1=5，公差d=2，求该数列的前10项和S_10。

试卷答案

一、选择题

1.A

解析：f(x)=|x-1|+|x+2|可以分段讨论：

当x≤-2时，f(x)=-(x-1)-(x+2)=-2x-1；

当-2<x<1时，f(x)=-(x-1)+(x+2)=3；

当x≥1时，f(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1。

因此，f(x)在x=1时取得最小值3。

2.A

解析：z^2=1的解为z=1或z=-1，它们的模长均为1。

3.B

解析：A={x|x^2-3x+2=0}={1,2}，A∩B={1}，则1∈B，即a*1=1，所以a=1。

4.B

解析：f(x)=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)，最小正周期为2π。

5.C

解析：直线y=kx+b与圆(x-1)^2+(y-2)^2=4相切，则圆心(1,2)到直线的距离d=2，即|k*1-1*2+b|/√(k^2+1)=2，解得k=-√3或√3。

6.A

解析：S_10=10*(2+3*9)/2=10*29=165。

7.A

解析：f'(x)=e^x-a，f'(1)=0，即e-a=0，所以a=e。

8.A

解析：cosθ=(a·b)/(|a||b|)=(1*3+2*(-4))/(√(1^2+2^2)√(3^2+(-4)^2))=-5/5√2=-1/√5=-√5/5。

9.B

解析：log_a(x+1)在(0,+∞)上单调递增，则a>1。

10.A

解析：斜率k=(0-2)/(3-1)=-2/2=-1。

二、填空题

1.3

解析：f'(x)=3x^2-a，f'(1)=0，即3-a=0，所以a=3。

2.0

解析：z^4=(1+i)^4=(1+2i-1)^2=(2i)^2=-4，虚部为0。

3.{0,1}

解析：A∪B=A，则B⊆A，即B中的元素必须满足x^2-x-6=0或mx-1=0，解得m=0或m=1。

4.π

解析：f(x)=sin(2x)+cos(2x)=√2sin(2x+π/4)，最小正周期为π。

5.-3

解析：|2-2k+1|/√(k^2+1)=1，解得k=-3或1/3。

6.48

解析：b_5=3*2^4=48。

7.8

解析：f'(x)=2x-4，令f'(x)=0得x=2，f(-1)=8，f(4)=3，最大值为max{8,3}=8。

8.-2

解析：a·b=0，即2m-1=0，所以m=-1/2。

9.(0,2)

解析：f'(x)=2^x*ln2-2x，f'(2)=0，f'(x)在x<2时为负，在x>2时为正，所以单调递增区间为(0,2)。

10.1

解析：向量AB=(2,-2)，向量AC=(1,-3)，S=1/2|AB×AC|=1/2|2*(-3)-(-2)*1|=1/2|-6+2|=1/2*4=2。

三、多选题

1.B,C

解析：y=e^x在(-∞,+∞)上单调递增，y=log_2(x)在(0,+∞)上单调递增，y=x^2在(-∞,0)上单调递减，y=-x在(-∞,+∞)上单调递减。

2.A,B,C

解析：z^2=0⇒z=0，z^2=1⇒z=±1，z+1=0⇒z=-1，z*z=1⇒z^2=1⇒z=±1。

3.A,B,C,D

解析：A∩B=∅⇒A与B没有公共元素，A∪B=A⇒B⊆A，A⊆B⇒A∪B=B，A⊆B⇒A∩B=A。

4.A,B,D

解析：a∥b⇒存在非零实数k，使得a=kb，a⊥b⇒a·b=0，a+b=0⇒a=-b，|a|=|b|不能推出a=±b。

5.A,B,C,D

解析：f(x)=x^3在x=0处导数为0，但f(x)在(-∞,+∞)上单调递增，f(x)=sin(x)+cos(x)的最小正周期为2π，在[0,2π]上至少有一个极值点，f(x)=log_a(x)在(0,+∞)上单调递增⇒a>1，f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，f'(x)=e^x-a，f'(1)=e-a=0⇒a=e，f(x)在(0,+∞)上单调递增。

四、判断题

1.√

解析：f(x)=|x-1|在x=1处左右导数分别为负和正，取得极小值。

2.√

解析：z=i或z=-i，模长|z|=√(0^2+1^2)=1，|z|^2=1。

3.√

解析：集合A和集合B的元素完全相同。

4.√

解析：f(x)=√2sin(x+π/4)的最小正周期为2π。

5.√

解析：|k*1-1*2+b|/√(k^2+1)=2⇒|k-2+b|/√(k^2+1)=2，平方后整理得k^2+b^2=5。

6.√

解析：这是等差数列前n项和的公式。

7.√

解析：同选择题第7题解析。

8.√

解析：cosθ=(a·b)/(|a||b|)=-5/5√2<0，所以夹角为钝角。

9.√

解析：对数函数的单调性与底数有关，a>1时单调递增。

10.√

解析：向量AB=(2,-2)，向量BC=(-1,-1)，向量CA=(-1,3)，向量AB·向量BC=2*(-1)+(-2)*(-1)=0，向量BC·向量CA=-1*(-1)+(-1)*3=0，所以∠ABC和∠BCA为直角，△ABC为直角三角形。

五、问答题

1.解：f(x)=x^3-3x^2+2，f'(x)=3x^2-6x。

令f'(x)=0，得3x(x-2)=0，解得x=0或x=2。

f''(x)=6x-6。

当x=0时，f''(0)=-6<0，所以x=0为极大值点；

当x=2时，f''(2)=6>0，所以x=2为极小值点。

2.解：向量a=(2,3)，向量b=(x,1)，向量a与向量b的夹角为45°。

cos45°=√2/2=(a·b)/(|a||b|)=(2x+3)/(√(2^2+3^2)√(x^2+1^2))=(2x+3)/(√13√(x^2+1))。

√2/2=(2x+3)/(√