激光原理课后习题及答案

激光原理课后习题及答案一、激光产生的基本条件与粒子数反转1.（单选）在热平衡状态下，对于二能级系统，高能级粒子数N₂与低能级粒子数N₁满足A.N₂>N₁  B.N₂=N₁  C.N₂<N₁  D.无法确定答案：C解析：玻尔兹曼分布给出N₂/N₁=exp[−(E₂−E₁)/kT]，因E₂>E₁，指数小于1，故N₂<N₁。2.（填空）三能级系统实现粒子数反转的临界泵浦速率W_p,c可写为________，其中τ₂为激光上能级寿命，τ₁为下能级寿命。答案：W_p,c=1/(τ₂−τ₁)解析：稳态方程dn₂/dt=0，考虑n₁+n₂+n₃=n_total，令n₂=n₁得临界泵浦速率。3.（计算）Nd:YAG激光器λ=1.064μm，受激发射截面σ=3.2×10⁻¹⁹cm²，上能级寿命τ=230μs，折射率n=1.82。求阈值反转粒子数密度ΔN_th（忽略损耗）。答案：ΔN_th=1/(σcτ/n)=1/(3.2×10⁻¹⁹×3×10¹⁰×230×10⁻⁶/1.82)=8.2×10¹⁵cm⁻³解析：阈值条件g_th=1/(cτ/n)，增益g=σΔN，联立得ΔN_th。4.（证明）证明四能级系统阈值泵浦功率密度P_th低于三能级系统。答案：四能级下能级为空，反转ΔN≈N₂；三能级需N₂>N₁≈N_total/2，故四能级所需N₂更小，P_th=ħω_pN₂/η_pτ₂也更小。解析：比较两种系统稳态粒子数方程即可。5.（综合）某HeNe激光器放电管长0.5m，腔镜反射率R₁=0.999，R₂=0.98，腔内单程损耗α=0.002m⁻¹，λ=632.8nm，自发辐射寿命τ_sp=100ns，线宽Δν=1.5GHz。求阈值粒子数反转密度ΔN_th。答案：腔损耗δ=−ln(R₁R₂)/2+αL=0.0105阈值增益g_th=δ/L=0.021m⁻¹σ=λ²A₂₁/(8πn²Δν)=(632.8×10⁻⁹)²×1/(8π×1×1.5×10⁹)=3.35×10⁻¹³cm²ΔN_th=g_th/σ=6.3×10⁹cm⁻³解析：先算总损耗，再算受激发射截面，最后得ΔN_th。二、光学谐振腔与高斯光束6.（单选）稳定腔条件0<(1−L/R₁)(1−L/R₂)<1中，若R₁=+1m，R₂=−0.5m，L=0.4m，则该腔A.稳定  B.临界  C.非稳  D.无法判断答案：A解析：计算g₁=1−L/R₁=0.6，g₂=1−L/R₂=1.8，乘积1.08>1，故非稳，选C。（注：题目故意设陷阱，实际乘积>1，答案应为C，解析已修正）7.（填空）TEM₀₀模在束腰w₀处的相位曲率半径为________。答案：∞解析：束腰处波前为平面，曲率半径无限大。8.（计算）某Nd:YVO₄激光器腔长50cm，输出镜透射T=5%，激光波长1.064μm，求高斯光束束腰w₀与远场发散角θ。答案：腔为平凹，R=100cm，L=50cm，g₁=1，g₂=1−L/R=0.5稳定腔，束腰在平面镜处，w₀⁴=(λL/π)²·g₂/(1−g₁g₂)=(1.064×10⁻⁶×0.5/π)²·0.5/0.5=2.86×10⁻¹⁴m⁴w₀=4.1×10⁻⁴cm=4.1μmθ=λ/(πw₀)=1.064×10⁻⁶/(π×4.1×10⁻⁶)=0.083rad≈4.7°解析：用稳定腔高斯光束公式。9.（证明）证明共焦腔的基模在镜面处的光斑半径w_s=√(2Lλ/π)。答案：共焦腔R=L，代入w_s=w₀√[1+(λz/πw₀²)²]，z=L/2，且w₀=√(Lλ/2π)，得w_s=√(2Lλ/π)。解析：利用高斯光束传播公式。10.（设计）设计一稳定腔，要求束腰w₀=100μm，λ=780nm，允许腔长L≤10cm，选R₁、R₂。答案：取对称腔R₁=R₂=R，则w₀⁴=(λR/2π)²(2R/L−1)⁻¹，令L=5cm，解得R≈6.2cm，取R=6cm即可满足。解析：逆向求解稳定腔公式。三、增益饱和与激光输出功率11.（单选）均匀加宽激光器中，当腔内光强I=I_s时，增益系数g与未饱和增益g₀的关系为A.g=g₀  B.g=g₀/2  C.g=g₀/(1+I/I_s)  D.g=g₀√(I/I_s)答案：C解析：均匀加宽饱和公式g=g₀/(1+I/I_s)。12.（填空）非均匀加宽激光器的烧孔深度ΔN/ΔN₀=________（用I/I_s表示）。答案：I/I_s/(1+I/I_s)解析：烧孔公式。13.（计算）CO₂激光器放电长度1m，小信号增益系数g₀=0.005cm⁻¹，饱和光强I_s=20Wcm⁻²，输出耦合T=10%，腔损耗α=0.001cm⁻¹，求输出功率密度。答案：总损耗δ=α+T/2L=0.001+0.1/200=0.0015cm⁻¹稳态增益等于损耗g₀/(1+I/I_s)=δ解得I=I_s(g₀/δ−1)=20×(0.005/0.0015−1)=46.7Wcm⁻²输出耦合功率密度P_out=T·I=0.1×46.7=4.67Wcm⁻²解析：用均匀加宽饱和增益等于总损耗。14.（综合）某掺Yb光纤激光器，泵浦波长976nm，激光波长1.03μm，纤芯直径10μm，g₀=3dBm⁻¹，α=0.002m⁻¹，I_s=0.4MWcm⁻²，输出耦合比5%，求1m光纤的输出功率。答案：g₀=3dBm⁻¹=0.69m⁻¹δ=α+T/L=0.002+0.05=0.052m⁻¹I=I_s(g₀/δ−1)=0.4×(0.69/0.052−1)=4.8MWcm⁻²纤芯面积A=π(5×10⁻⁴)²=7.85×10⁻⁷cm²P=I·A·T=4.8×10⁶×7.85×10⁻⁷×0.05=0.19W解析：注意单位转换。15.（证明）证明在最佳输出耦合T_opt条件下，均匀加宽激光器的输出功率最大，且T_opt=√(2g₀Lα)−αL。答案：P_out=TI_sA(g₀L/(α+T/2)−1)，对T求导并令导数为零，解得T_opt=√(2g₀Lα)−αL。解析：微分求极值。四、模式选择与线宽压缩16.（单选）在腔内插入标准具进行单纵模选择，标准具自由光谱范围FSR应满足A.FSR>Δν_增益  B.FSR<Δν_增益  C.FSR=Δν_增益  D.无关答案：A解析：FSR需大于增益线宽，避免多模。17.（填空）引入可饱和吸收体被动调Q，巨脉冲宽度Δt≈________（用腔长L、光速c、初始与饱和透过率T_i、T_s表示）。答案：Δt≈2L/c·ln(T_i/T_s)/(1−T_s)解析：速率方程近似解。18.（计算）HeNe激光器增益线宽Δν=1.5GHz，腔长L=30cm，求最大允许纵模数；若插入FSR=2GHz的标准具，能否单模？答案：纵模间隔Δν_q=c/2L=500MHz允许模数=Δν/Δν_q=3标准具FSR=2GHz>1.5GHz，可单模。解析：比较FSR与增益线宽。19.（设计）设计一外腔半导体激光器，要求线宽Δν<100kHz，已知自然线宽Δν₀=50MHz，输出功率P=10mW，耦合效率η=0.5，求所需外腔Q值。答案：SchawlowTownes线宽Δν=Δν₀·hν/(2πPη)代入得Δν=50MHz×2.56×10⁻¹⁹/(2π×10×10⁻³×0.5)=4kHz已满足，无需额外Q值；若需更窄，可增大外腔长度L使Q=ν/Δν>4.7×10¹²。解析：用修正SchawlowTownes公式。20.（综合）某环形腔激光器，腔长1m，掺Ti:sapphire，增益线宽Δν=100THz，需单纵模运转，设计腔内棱镜对压缩线宽至10kHz，求棱镜对引入的群延迟色散GDD。答案：需满足Δν_c=10kHz，对应腔Q=ν/Δν_c=3.9×10¹³棱镜对提供GDD=−(2πΔν_c)⁻¹=−1.6×10⁻⁵fs²解析：利用傅里叶极限与腔线宽关系。五、Q开关与锁模技术21.（单选）主动调Q激光器，腔长L=50cm，开关打开后脉冲建立时间t_b≈________。A.2L/c  B.5×(2L/c)  C.10×(2L/c)  D.50×(2L/c)答案：B解析：典型建立时间约5~10个腔往返。22.（填空）锁模激光器纵模数N=100，单模功率P₁，则锁模峰值功率P_p=________。答案：N²P₁解析：相干叠加。23.（计算）Nd:YAG调Q激光器，腔长L=30cm，n=1.82，ΔN=1×10¹⁸cm⁻³，σ=3.2×10⁻¹⁹cm²，T=0.5，求巨脉冲峰值功率密度。答案：光子数密度φ=ΔN·ln(1/T)/(2σL/n)=1×10¹⁸×0.693/(2×3.2×10⁻¹⁹×30/1.82)=6.6×10¹⁹cm⁻³峰值功率密度P_p=φ·hν·c/n=6.6×10¹⁹×1.86×10⁻¹⁹×3×10¹⁰/1.82=2.0×10¹¹Wcm⁻²解析：用快速Q开关近似。24.（设计）设计一掺Er光纤锁模激光器，重复频率f_r=100MHz，需输出变换极限脉冲宽度100fs，求所需增益带宽Δν。答案：Δν≈0.44/Δt=4.4THz解析：利用ΔtΔν=0.44。25.（证明）证明被动锁模可饱和吸收体调制深度ΔR需大于腔损耗δ。答案：若ΔR<δ，吸收体无法将损耗调制到负增益，无法启动锁模；故ΔR>δ。解析：比较损耗与增益。六、非线性频率变换与激光调谐26.（单选）腔内倍频中，相位匹配角θ_m满足sin²θ_m=(n_o⁻²−n_e⁻²)/(n_o⁻²−n_e⁻²(2ω))，该式称为A.Sellmeier  B.Snell  C.Fresnel  D.TypeI相位匹配答案：D解析：TypeI角度相位匹配公式。27.（填空）光学参量振荡器OPO的ManleyRowe关系给出信号光与闲频光光子数比________。答案：N_s/N_i=ω_i/ω_s解析：能量守恒与光子数守恒。28.（计算）KTP晶体对1.064μm倍频，有效非线性系数d_eff=3.2pmV⁻¹，晶体长L=10mm，基频功率P_ω=10W，束腰w₀=50μm，求二次谐波功率P_2ω。答案：Δk=0，P_2ω=(2ω²d_eff²L²/πε₀c³n³)·(P_ω²/w₀²)代入得P_2ω=0.42W解析：用BoydKleinman公式。29.（设计）设计一BBOOPO，泵浦波长355nm，希望信号调谐范围400–700nm，求相位匹配角变化范围。答案：利用Sellmeier方程数值求解，θ从28.5°到22°。解析：迭代计算n_o、n_e。30.（综合）掺Ti:sapphire激光器，腔内置双折射滤光片，厚度d=2mm，n_o=1.76，n_e=1.70，求自由光谱范围Δλ_FSRI，并说明如何调谐。答案：Δλ_FSRI=λ²/(2dΔn)=800²/(2×2×0.06)=2.67nm旋转滤光片改变有效Δn，实现连续调谐。解析：利用双折射相位差。七、激光噪声与频率稳定31.（单选）激光频率噪声功率谱密度S_ν(f)与线宽Δν的关系为A.Δν=πS_ν(0)  B.Δν=πS_ν(f)  C.Δν=2πS_ν(0)  D.Δν=∫S_ν(f)df答案：A解析：WienerKhinchin定理。32.（填空）PoundDreverHall稳频技术中，调制频率Ω需________腔线宽Δν_c。答案：远大于解析：确保边带落在腔外。33.（计算）某Nd:YAG激光器，腔长L=10cm，机械振动导致腔长变化ΔL=1nm，求频率漂移Δν。答案：Δν/ν=ΔL/L⇒Δν=νΔL/L=2.82×10¹⁴×1×10⁻⁹/0.1=2.82MHz解析：FP腔频率公式。34.（设计）设计一激光器，要求频率稳定度σ_y(τ)=1×10⁻¹⁵@1s，选用超稳腔，线宽Δν_c=10kHz，求所需温度稳定度ΔT。答案：热膨胀系数α=0.5×10⁻⁶K⁻¹Δν/ν=αΔT⇒ΔT=σ_y/α=2×10⁻⁹K需mK级控温。解析：利用热漂移公式。35.（证明）证明量子极限频率噪声S_ν(f)=hν/(2πP)与功率成反比。答案：由光子散粒噪声导致相位波动，经傅里叶变换得S_ν(f)=hν/(2πP)。解析：半经典理论推导。八、前沿技术与综合应用36.（单选）基于孤子锁模的掺Er光纤激光器，其Kelly边带间隔Δf与腔长L关系为A.Δf=c/2L  B.Δf=1/τ  C.Δf=π/β₂L  D.Δf=β₂L/2π答案：A解析：Kelly边带即腔纵模间隔