2026控制理论笔试题及答案

2026控制理论笔试题及答案1.单选题（每题2分，共20分）1.1对于离散系统x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)，若存在状态反馈u(k)=Kx(k)使闭环极点全部位于以原点为中心、半径0.5的圆内，则下列说法一定正确的是A.原系统必完全能控B.矩阵A的谱半径必小于0.5C.矩阵(A+BK)的谱半径必小于0.5D.矩阵(A+BK)的所有特征值实部必小于0答案：C。极点配置后闭环系统矩阵为A+BK，其谱半径小于0.5即满足要求，与开环能控性无必然联系，A、B、D均不一定成立。1.2考虑连续线性时不变系统ẋ=Ax+Bu，y=Cx，若采用采样周期T的零阶保持器离散化，则离散系统能控性矩阵的秩与下列哪一项无关A.T的取值B.矩阵B的秩C.矩阵A的特征值分布D.矩阵C的秩答案：D。能控性仅与A、B、T有关，与输出矩阵C无关。1.3给定传递函数G(s)=(s+2)/(s²+3s+2)，其最小实现的状态维数为A.1B.2C.3D.4答案：B。分母阶次为2，且无零极点对消，最小实现维数等于分母阶次。1.4对于最优控制问题J=∫₀^∞(xᵀQx+uᵀRu)dt，若Q半正定、R正定，则代数Riccati方程的解P必满足A.P正定B.P负定C.P半正定D.P可能不定答案：A。在标准LQR条件下，P唯一且正定。1.5考虑非线性系统ẋ=f(x)+g(x)u，若采用反馈线性化得到的新控制变量v与u的关系为A.u=α(x)+β(x)vB.u=vC.u=α(x)−β(x)vD.u=β(x)v答案：A。反馈线性化标准形式为u=α(x)+β(x)v。1.6对于离散系统x(k+1)=Ax(k)，若A为幂零矩阵，则系统状态x(k)在有限步内必收敛到A.原点B.单位圆C.无穷远D.周期轨道答案：A。幂零矩阵存在正整数m使Aᵐ=0，故k≥m时x(k)=0。1.7在H∞控制中，若被控对象P(s)具有右半平面零点，则设计控制器K(s)时通常需要A.提高环路增益B.引入非最小相位补偿C.降低带宽D.采用高阶积分答案：B。RHP零点限制带宽，需特殊补偿策略。1.8对于时滞系统ẋ(t)=Ax(t)+A_dx(t−τ)，若采用Lyapunov-Krasovskii泛函，其导数负定的充分条件通常表示为A.线性矩阵不等式B.代数Riccati方程C.微分Riccati方程D.传递函数范数答案：A。时滞系统稳定性常通过LMI求解。1.9在模型预测控制中，若预测时域N_p→∞，且终端代价等于无穷时域最优代价，则MPC稳定性A.无法保证B.等价于LQR稳定性C.仅对线性系统成立D.需要额外终端约束答案：B。此时MPC与LQR等价，稳定性由LQR保证。1.10对于随机系统dx=Axdt+BdW_t，若存在矩阵P>0使AᵀP+PA+BQBᵀ=0，则系统状态方差A.指数增长B.指数衰减C.有界D.为零答案：C。该方程为Lyapunov型方程，保证状态方差有界。2.多选题（每题3分，共15分，多选少选均不得分）2.1关于线性系统能观性，下列说法正确的是A.能观性矩阵满秩是充要条件B.能观性在坐标变换下保持不变C.能观性蕴含能检测性D.能观性要求所有模态可观测答案：ABCD。四项均正确。2.2对于离散系统x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)，若采用Deadbeat控制，则A.闭环极点全部位于原点B.任意初始状态可在n步内归零C.要求系统完全能控D.控制器增益唯一答案：ABC。Deadbeat需能控，极点全零，n步归零，但增益不唯一。2.3在鲁棒控制中，μ综合相比H∞控制的优势包括A.可处理结构化不确定性B.降低保守性C.计算复杂度更低D.可处理时变不确定性答案：AB。μ综合针对结构化不确定性，保守性低，但计算更复杂，C、D错误。2.4关于非线性系统滑模控制，下列说法正确的是A.滑模面设计需保证相对阶为1B.控制律包含等效项与切换项C.切换增益越大抖振越弱D.高阶滑模可削弱抖振答案：ABD。切换增益越大抖振越强，C错误。2.5对于分布式系统ẋ_i=A_ix_i+∑_{j≠i}A_{ij}x_j+B_iu_i，若采用一致性协议，需满足A.通信拓扑连通B.存在共同Lyapunov函数C.所有A_i相同D.协议增益需满足LMI答案：ABD。A_i可不同，C错误。3.填空题（每空2分，共20分）3.1连续系统ẋ=[[0,1],[-2,-3]]x+[[0],[1]]u，其能控性矩阵为________，秩为________。答案：[[0,1],[1,-3]]，2。3.2离散系统x(k+1)=0.8x(k)+u(k)，最优二次型代价J=∑[x²(k)+u²(k)]，使闭环极点位于0.5的反馈增益K=________。答案：0.3。解Riccati得P=2.5，K=(0.8−0.5)2.5/(1+2.5)=0.3。3.3对于传递函数G(s)=1/(s²+ω²)，其最小实现的状态矩阵A=________。答案：[[0,1],[-ω²,0]]。3.4若系统ẋ=Ax+Bu，y=Cx，采用观测器估计状态，观测器极点配置在−5,−6，则观测器增益L需满足特征多项式为________。答案：λ²+11λ+30。3.5在H∞控制中，若被控对象P(s)=[A|B;C|0]，则Riccati方程中的Hamiltonian矩阵H=________。答案：[[A,−BR⁻¹Bᵀ],[−CᵀC,−Aᵀ]]。3.6对于时滞系统ẋ(t)=−2x(t)+x(t−1)，若采用Lyapunov函数V=x²(t)+∫_{t−1}^tx²(s)ds，则其导数V̇=________。答案：−2x²(t)+2x(t)x(t−1)+x²(t)−x²(t−1)=−x²(t)+2x(t)x(t−1)−x²(t−1)=−(x(t)−x(t−1))²≤0。3.7非线性系统ẋ=−x³+u，采用反馈线性化，令v=−x³+u，则闭环系统变为________。答案：ẋ=v。3.8模型预测控制中，若终端约束集为Ω，则Ω需满足________条件。答案：正向不变且包含原点。3.9对于随机系统dx=−xdt+dW_t，其稳态方差为________。答案：0.5。解Lyapunov方程−2P+1=0得P=0.5。3.10分布式系统一致性协议u_i=−∑_{j∈N_i}(x_i−x_j)，其拉普拉斯矩阵L的特征值需满足________。答案：除一个零特征值外其余实部为正。4.计算题（共30分）4.1（10分）给定连续系统ẋ=[[−2,1],[0,−1]]x+[[1],[1]]u，y=[1,0]x(1)判断能控性与能观性；(2)设计状态反馈使闭环极点为−3,−4；(3)设计全维观测器使观测器极点为−5,−6；(4)写出复合系统状态空间方程。答案：(1)能控性矩阵[[1,−1],[1,−1]]秩1，不完全能控；能观性矩阵[[1,0],[−2,1]]秩2，完全能观。(2)因不能控，先作能控分解。取T=[[1,0],[1,1]]，得ẋ_c=−x_c+u，ẋ_{uc}=−x_{uc}，仅能控子系统可配置。令u=−k_cx_c+v，期望极点−3，得k_c=2。原状态反馈K=[2,0]T⁻¹=[2,0]。(3)观测器增益L需满足det(λI−A+LC)=(λ+5)(λ+6)。设L=[l1;l2]，解得l1=9，l2=20，即L=[9;20]。(4)复合系统[ẋ;ê]=[[A−BK,BK],[0,A−LC]][x;ê]+[[B],[0]]r，y=[C,0][x;ê]。4.2（10分）离散系统x(k+1)=[[0.5,1],[0,0.8]]x(k)+[[1],[0.5]]u(k)，代价J=∑[xᵀQx+uᵀRu]，Q=I₂，R=1。(1)求无穷时域最优反馈增益K；(2)计算闭环极点；(3)若采用滚动时域N=3的MPC，写出优化问题。答案：(1)解离散Riccati方程P=AᵀPA−AᵀPB(R+BᵀPB)⁻¹BᵀPA+Q，迭代得P=[[2.81,1.42],[1.42,3.05]]，K=(R+BᵀPB)⁻¹BᵀPA=[0.46,0.89]。(2)闭环矩阵A−BK=[[0.04,0.11],[−0.23,0.36]]，特征值0.21±0.18i，模0.28<1。(3)MPC优化min_{u_0,u_1,u_2}∑_{i=0}^2[x_iᵀQx_i+u_iᵀRu_i]+x_₃ᵀPx_₃s.t.x_{i+1}=Ax_i+Bu_i，x_0=x(k)，u_i∈ℝ。4.3（10分）非线性系统ẋ₁=x₂ẋ₂=−x₁+(1−x₁²)x₂+uy=x₁(1)验证系统相对阶；(2)设计反馈线性化控制律使y跟踪参考r(t)=sint；(3)分析零动态稳定性。答案：(1)ȳ=ẍ₁=ẋ₂=−x₁+(1−x₁²)x₂+u，显含u，相对阶2。(2)令v=−x₁+(1−x₁²)x₂+u，则ÿ=v。取v=−ė−e+ř，e=y−r，得误差方程ë+ė+e=0，指数稳定。故u=x₁−(1−x₁²)x₂−ė−e+cost。(3)零动态令y≡0，则x₁=0，ẋ₂=0，零动态为ẋ₂=0，不稳定。需修改输出或采用输出重定义。5.综合设计题（15分）考虑车辆横向动力学模型ẋ=[0,1;0,−a/v]x+[0;b/v]u其中x=[y,ψ]ᵀ，y为横向误差，ψ为横摆角，v=20m/s，a=12，b=20。传感器仅测y，且存在±0.05m量化误差。要求：(1)设计输出反馈控制器使横向误差稳态绝对值<0.02m；(2)抑制量化引起的极限环，给出Lyapunov证明；(3)在Simulink框架下给出离散实现步骤（T=0.01s）。答案：(1)采用线性二次高斯-环路传递恢复(LQG/LTR)设计。取Q=diag([100,1])，R=0.1，得Kalman增益L=[14.1;48.5]，LQR增益K=[50,12.5]。环路传递恢复滤波器Q̃=100I，恢复因子q=10³，开环传递函数恢复至−20dB带宽8rad/s，稳态误差<0.02m。(2)考虑量化非线性φ(y)=round(y/0.05)0.05，构造Lyapunov函数V=xᵀPx+σ∫_0^yφ(s)ds，其中P