转子动力学分析方法

第五章转子动力学分析方法第一节前言旋转机械：航空涡轮发动机、燃气轮机、蒸汽轮机、水轮机、风机、离心分离机、泵等。早期，研究核心部件——转子的振动目前，整机振动、非线性振动、故障诊断、振动控制技术（主动、被动）模型：以Jeffect转子模型为主本节主要内容：临界转速、涡动分析重力影响弹性支承影响非轴对称转子影响、稳定性问题初始弯曲影响等加速过临界的特点2026/1/1812026/1/182第二节坐标系及转子涡动运动分析自转、公转、涡动坐标系：定坐标系、动坐标系模型：以Jeffect转子模型为主§5.2.1定坐标系运动分析定坐标系：oxyz，轴向——oz轴刚性盘以ω角速度旋转（涡动）盘中心运动方程为：

x=Xcos(ωt+φx)y=Ysin(ωt+φy)式中：X、Y——盘中心运动幅值

φx、φy——x、y方向运动的相位角2026/1/183令：Xc=Xcosφx

则

Xs=XsinφxYc=YcosφyYs=-Ysinφy将运动方程作三角函数展开，则有x=Xccosωt-Xssinωty=Yccosωt-Yssinωt消去时间t，可得运动轨迹方程。轨迹为一椭圆，半轴分别为a、b，半轴a与x轴夹角为α如图1－2，半轴及夹角计算公式为2026/1/184利用欧拉：e±iωt=cosωt±isinωt运动方程可写成复数形式，则有：x=Re{(Xc+iXs)eiωt即将简谐运动看成旋转矢量的投影y=Re{(Yc+iYs)eiωt一般可将沿椭圆轨迹运动分解为沿两个圆轨迹运动的合成，分运动的角速度相等而转向相反，如图1－3，则有x=Xpcos(ωt+φp)+Xrcos(ωt+φr)y=Xpsin(ωt+φp)-Xrcos(ωt+φr)式中：Xp、φp为＋ω方向运动分量幅值和相位

Xr、φr为－ω方向运动分量幅值和相位2026/1/185同样，可以定义Xpc、Xps、Yrc、Yrs，则可得x=Xpccosωt-Xpssinωt+Xrccosωt-Xrssinωty=Xpcsinωt+Xpscosωt-Xrcsinωt-Xrscosωt令x=Xpc+iXpsy=Xrc+iXrs则有x=Re{[(Xpc+iXps)+(Xrc+iXrs)]eiωt}=Re{(xp+xs)eiωt}y=Re{[-i(Xpc+iXps)+i(Xrc+iXrs)]eiωt}=Re{i(-xp+xs)eiωt}一般将xp对应的运动称为正进动分量；xr对应的运动成为反进动分量。比较两种表达式，可得Xc+iXs=xp+xrYc+iYs=i(-xp+xr)2026/1/186解得于是有比较前述推导，可得a=Xp+Xrb=Xp-Xr

φa=φp2α=φp-φr2026/1/187当xp>xr时，合成运动沿xp方向，称为正进动；当xp<xr时，合成运动沿xr方向，称为反进动；当（1－5b）式中计算的b值为负，则表示圆盘中心运动（进动）为反进动。自转：圆盘绕圆盘中心的旋转进动（公转）：弓形轴绕支点连线旋转涡动：自转与公转（进动）的合成运动设圆盘受到幅值为F，相位角为φF，并以进动角速度ω旋转的力（如不平衡质量）作用，则一周进动所作的功为：2026/1/188可见：当φF－φp≠0时，旋转力对椭圆进动要作功，且仅仅在正进动分量作功，与反进动大小无关。进动获取的能量用于补充阻尼消耗的能量，以维持椭圆进动。§5.2.2旋转（动）坐标系运动分析定坐标系：轴承、轴承座、机架、基座等动力特性，以静坐标系为参考，转子振动测量，也大多采用绝对式传感器。故静坐标系采用较多。结构非对称动力特性分析，采用旋转坐标系较方便。旋转坐标系：1）oξηz2）oz轴与固定坐标系相同3）oξ、oη轴相对ox、oy轴以恒定角速度Ω反时针旋转。2026/1/189两种座标关系为：ξ=xcosΩt+ysinΩt

η=-xsinΩt+ycosΩt对上式求一、二阶导数，可得式中：、表示离心加速度、表示哥氏加速度代入上式得ξ=xpei(ω-Ω)t+xrei(ω+Ω)t

η=-ixpei(ω-Ω)t+ixrei(ω+Ω)t式中省略取实部符号。2026/1/1810上式也可看成是沿两个圆轨迹的正、反进动分量的合成，分量幅值与固定坐标系相等；正进动分量角速度ω－Ω；反进动分量角速度ω＋Ω。§5.2.3其它坐标系运动分析极坐标系：orφz（图1－5）特点：形象表示运动特性与直角坐标系的关系速度、加速度变换式2026/1/18111）若合成运动在直角坐标系中是线性的，变换到极坐标系中为非线性；2）当r或φ为常数时，使用极坐标可使运动方程简化。固定在运动圆盘中心的坐标系坐标原点：圆盘中心坐标轴方向：沿圆盘主惯性轴方向相对与固定坐标系oxyz的方位由三个欧拉角确定。2026/1/1812第三节刚体绕定点的转动力学模型：连续质量模型——弹性体集中质量模型——盘轴系统本章以盘轴系统为分析模型刚体在空间有六个自由度：沿三个垂直轴方向的平移和绕这三个轴的转动。理论力学：刚体运动可分解成随基点的平动和绕基点的转动。平动运动规律与基点选择有关；转动运动规律与基点选择无关。§5.3.1描述定点刚体位置的欧拉角刚体球铰定点约束：约束三个平动自由度；只有三个转动自由度。2026/1/1813定坐标系oxyz与动坐标系的关系见表1－1和图1－6关系式为：2026/1/1814各方向余弦存在关系：因此，九个方向余弦中只有三个是独立的（自由度数）。方向余弦求解复杂，采用夹角——欧拉角表示，多种定义。1、第一种定义（图1－7）：1)动坐标与静坐标重合，先绕oz轴转动ψ角——进动角；到达oNN1z，oN称为节线，右手法则2)绕oN轴转θ角——方位或挠曲角；到达3)绕转φ角——自转角；到达引入坐标轴矢量、2026/1/1815再引入oN、oN1及的单位矢量，则有由于得到2026/1/18162、第二种定义（图1－8）1)动坐标与静坐标重合，先绕oy轴转动α角,到达ox1yz1；右手法则2)绕ox1轴转β角,到达3)绕转φ角——自转角，到达α、β结合体现进动与方位角。令ox1、oy1、oz1单位矢量为则有由此可导出欧拉角的三角函数表示的方向余弦2026/1/18172026/1/1818欧拉角表示的刚体绕定点转动的运动为或§5.3.2刚体绕定点运动的角速度及速度分布刚体的角速度为或所在的位置称为刚体绕定点转动的瞬时转动轴，瞬时转动轴时刻不同，但总通过定点。第一种定义法得到矢量向定坐标系投影得2026/1/1819利用方向余弦关系得向动坐标系投影得类似，由第二种定义可得向定坐标系和动坐标系的投影刚体上任一点瞬时速度矢量为2026/1/1820将速度向定坐标系和动坐标系投影得刚体上各点角加速度和加速度为§5.3.3刚体作定点转动时的动量矩定理动量矩定理：刚体对定点o的动量矩对时间t的导数，等于外力系对该点的主矩则有对有集中质量的刚体，动量矩为刚体在绝对运动中对的动量矩，等于刚体随质心平移动坐标系中运动的相对于质心的动量矩。2026/1/1821因为由速度合成定理：则刚体相对质心的绝对运动动量矩为由于刚体对质心的质量矩等于零，即因此若将固定点取在质心o上，则有在相对随质心平移的动坐标系中，刚体对质心动量矩对时间的导数等于外力系对质心的主矩——刚体相对质心的动量矩定理。因此，对质心动量矩的计算只需考虑相对转动。因此，刚体作定点转动时，有刚体动量矩为2026/1/18222026/1/1823如果为刚体对o点的主惯性轴，则各惯性积为零，即于是有一般情况下的矢量关系如图1－9。若刚体对动坐标系的惯性矩为常数则有式中：

——欧拉动力学方程2026/1/1824§5.3.4刚体运动的动能能量定理、拉个朗日方程——运动微分方程设刚体质量为m，基点运动方程为x(t)、y(t)、z(t)，以基点为原点的动坐标系是刚体的惯性主轴，惯性矩分别是，则刚体的动能为通常转子沿oz轴方向的运动为二阶小量，可忽略不计，即有z(t)=0故转子的动能计算公式为2026/1/1825第四节Jeffcott转子涡动分析Jeffcott转子：垂直安装等截面对称转子、不计重力影响。§5.4.1Jeffcott转子运动微分方程Jeffcott转子示意图（图1－10）薄盘：h/D<0.1；偏心矩：e定坐标系：oxyz；基点：设自转ω为常数，确定的运动：x(t)、y(t)或r(t)、θ(t)假设：扭转刚度无限大(不计扭振)

忽略轴向位移、刚性支承轴的弯曲刚度为EJE：弹性模量J：截面惯性矩运动状态及受力如图1－112026/1/1826轴的弹性恢复力在坐标轴上投影为式中：k——轴的刚度系数对称简支梁中点刚度为：粘性外阻尼力在坐标轴上投影为：式中：c—粘性阻尼系数

由牛顿定律可得：由图1－11几何关系得到2026/1/1827两边对时间求两次导数得：代入牛顿方程得点的运动微分方程化为标准形式为式中：弹性轴无阻尼横向振动固有频率相对阻尼系数§5.4.2Jeffcott转子涡动分析及临界转速运动微分方程与线性阻尼系统强迫振动相同，可设解为2026/1/1828代入运动微分方程解得因此，点作圆周运动，参照极坐标几何关系故运动半径为轴的动挠度r，φ为动挠度r与偏心矩e间的相位差，且有由此可见：ω«p时，φ→0，圆盘重边飞出

ω»p时，φ→π，圆盘轻边飞出，自动定心或质心转向转子的幅（值）—频（转速）曲线（特性）见图1－12转子的相（位）—频（转速）曲线（特性）见图1－132026/1/18292026/1/1830临界转速定义(ISO)：系统(位移)共振时主响应的特征转速。主响应：轴颈运动或转子挠曲对于Jeffcott转子，临界转速对应常以ωcr或ωc表示，若以转/分或转/秒为单位，则有或将转子挠度表达式代入临界转速条件得解得可见，阻尼总使临界转速大于横向振动固有频率，与机械振动中的阻尼使固有频率降低作用相反。当转子系统阻尼很小时，可近似认为：此时有2026/1/1831ω＝p时，φ≡0，与阻尼系数ξ大小无关，利用这一特点可测取转子系统的p，在小阻尼情况下可近似为临界转速。当ξ＝0时，ω«p时，φ＝0，三点在一条直线上

ω»p时，φ＝π，三点在一条直线上

ω＝p时，φ＝π/2，r→∞,不同转速下圆盘偏心位置见图1－142026/1/1832ω=Ω，同步正涡动，或正协调进动；ω=－Ω，同步反涡动，或反协调进动；ω≠Ω，同方向，正涡动，或非协调正进动；ω≠Ω，反方向，反涡动，或非协调反进动。当转子圆盘不在中间时，即使是无阻尼系统，其临界转速ω≠p，主要是陀螺力矩影响。例：已知：轴长l=57cm，直径d=1.5cm，轴材料弹性模量，圆盘厚度h=2cm，直径D=16cm,材料密度，不计阻尼。求：1）临界转速ωcr2）e=0.1cm，ω＝0.6ωcr；ω＝0.8ωcr时的动挠度r及支反力幅值F。解：弹性轴质量：圆盘质量：2026/1/1833弹性轴中点刚度：不计轴质量时临界转速计入弹性轴等效质量，按照振动理论，梁在中点的等效质量为原质量的17/35，则临界转速为：ω＝0.6ωcr时挠度为：支反力幅为：F=kr=74.562N轴承力与重力之比为：2026/1/1834ω＝0.8ωcr时挠度为：支反力幅为：F=kr=235.68N轴承力与重力之比为：2026/1/1835第五节刚支单盘偏置转子的涡动、回转效应回转效应：由于高速旋转圆盘的偏摆运动而使临界转速变化的现象（见图1－15）。§5.5.1单盘偏置转子运动微分方程假设：无阻尼、无偏心不计轴质量如图1－15，圆盘的轴线在空间画出的轨迹是个锥面。为分析方便，建立如下坐标系：(图1－16、图1－17）1）定坐标系：oxyz2）随点平移坐标系：3）固联于动坐标系：2026/1/1836

其中：是轴挠度曲线的切线、为两正交直径2026/1/1837薄盘运动可以用xoz、yoz平面投影x(t)、y(t)表示。采用第二种欧拉角定义有故可以用x(t)、y(t)、φ(t)、α(t)、β(t)确定圆盘空间位置，描述运动状态。如图1－18，点的挠度x和转角α为解出盘对轴的作用力Fx和力矩Mx为：2026/1/1838

式中：式中α和Mx的转向如图1－18所示。在yoz平面也有类似公式；为了力矩矢量都沿坐标轴正方向，My与

Mx的转向规定相反于是有根据质心运动定理：代入力关系式得点横向运动微分方程为：2026/1/1839化成标准形式：式中：由动量矩定理可建立圆盘绕点转动的运动微分方程。由于α、β都是小量，故有：根据图1－17，三个轴的角速度为：显然，、、为圆盘的三个中心主惯性轴。令圆盘对轴转动惯量为Ip，对、轴转动惯量为Id则有：2026/1/1840对轴的角速度就是自转角速度，即：故对三个轴的动量矩为：分别向、、轴投影得：根据对质心的动量矩定理，对圆盘有由于是质心，所以重力对、的矩为零。假设作用圆盘上的所有外力对的矩为零，则由上式得：ω＝常数2026/1/1841在此条件下，可得盘的偏摆运动微分方程：与方程联立求解§5.5.2单盘转子涡动分析设联立方程的解为：代入联立方程，得到A、B、C、D的一次齐次方程组，根据非零解的条件，方程系数行列式的值应等于零，由此得到关于自然频率Ω的高次方程，讲解得的Ω代回联立方程，2026/1/1842可得相应的一组A、B、C、D之间的比值。转子运动稳定时，动挠度曲线在动坐标系中是不变的；只是绕着oz轴进动，进动角Ψ(t)一般从ox轴量起。令总的动挠度为r，挠曲角为θ，由图1－19几何关系得显然，r、θ＝常数，且＝常数将以上关系式代入联立方程得2026/1/1843由此可见：弹性轴发生弯曲不仅有离心力()，还有回转力矩的影响；回转力矩改变了轴的弯曲刚度。上式是关于r、θ的齐次方程，由非零解条件得：展开后得：即上式可求得Ω得四个根，且随ω而变，令：为同步正进动，则方程为2026/1/1844

存在一个正根（负根舍去）：讨论：1）令频率方程为：解得：式中：为弹性轴点的横向刚度此时得到的频率数值上等于转子不旋转时的横向固有频率，即不计回转效应时转子临界转速。频率为：2）令为同步反涡动，频率方程为2026/1/1845

有两个正根(仍然假设为薄盘，即Ip=2Id)为3）如果出现Ip<Id的情况(如地面串联式离心压气机)，可能使得在正同步涡动情况下为负值，此时陀螺力矩将降低临界转速。例：已知：轴长l=57cm，直径d=1.5cm，轴材料弹性模量，圆盘厚度h=2cm，直径D=16cm,材料密度，a=l/4，b=l(3/4)，不计阻尼。求：临界转速ωcr解：Id=50.192a=l/4=14.25cmb=l-a=42.75cm3lEJ=k11=5498.589N/cmk12=k21=-67161.07Nk22=1)考虑轮盘回转效应的临界转速为2026/1/1846＝1420208.1则ωcr=30Ω/π=2663.02转/分不考虑轮盘回转效应的临界转速为：回转效应提高临界转速百分比为对悬臂转子有类似结论，频率特性曲线如图1－21所示2026/1/1847第六节重力对临界转速影响、副临界对水平安装的Jeffcott转子，重力影响：1）重力产生静挠曲；航空发动机－忽略、汽轮机—扬度2）质量偏心：交变力矩mgesinωt，如图1－22薄盘极转动惯量为：Ip=式中：ρ为回转半径轮盘角加速度为：ge/()产生一个切向惯性力：垂直分量为：式中的常值部分产生静挠度；交变部分在垂直方向投影作简谐变化；当ω＝ωcr/2时，此时，动挠度达到极大值——副临界。2026/1/1848§5.6.1水平Jeffcott转子运动微分方程水平安装的Jeffcott转子如图1－23无阻尼、盘在中间、无回转效应三点总在一条直线上，如图1－24，弹性恢复力投影为根据质心运动定理得绕质心轴线的动量矩为圆盘质量m对oz周的动量矩为：2026/1/1849根据动据矩方程有：即为了化简方程，作坐标变换，令变换后联立运动微分方程为:§5.6.2水平Jeffcott转子涡动分析假设：Mz=0，，则令φ的初值为零，则φ＝ωcr/2t，代入运动微分方程第三式：联立方程的解为：2026/1/1850式中：δs=mg/k为圆盘重力作用下弹性轴跨中静挠度。根据图1－24的几何关系，圆盘质心运动方程为：进动由个分量组成：基频分量与偏心矩e有关；倍频分量与静挠度δs有关。例1.6：求第四节例子转子，重力作用下，副临界时两个运动分量幅值。解：基频分量为：e=3=0.1/3=0.0333cm

倍频分量为：δs=mg/k=0.0232cm可见各幅值较小，只有δs较大情况下，才能观察到明显副临界现象，轴横截面非对称是一个更为主要原因，下节讨论。2026/1/1851第七节弹性支承单盘转子涡动分析§5.7.1弹性支承单盘转子的运动微分方程典型鼠笼式弹性支承结构见图1－25弹性支承单盘转子计算模型见图1－262026/1/1852如图1－26，假设支承的质量、刚度、阻尼参数分别为：mb、kx、ky、cx、cy，支承转子的作用力为：由于阻尼存在，应用非保守系统的拉格朗日方程：式中：L=T-V——拉格朗日函数

T——系统的动能函数

V——系统的势能函数

φ——系统阻尼的耗散函数

Qj——作用在系统上的广义力

qj——系统广义坐标

n——系统自由度数2026/1/1853假设支承对称，自由度减为二个：xb(t)、yb(t)；圆盘位于中间，自由度减为三个：xc(t)、yc(t)、φ(t)，系统共五自由度设圆盘角速度为常数：则系统缩减为四个自由度数。圆盘动能：支承动能：圆盘势能：支承势能：圆盘外阻尼耗散函数：支承粘性阻尼耗散函数：因假设ω＝常数，合力矩为零，若忽略重力影响，则系统广义力为零。2026/1/1854将以上各式代入拉格朗日方程得§5.7.2弹性支承单盘转子涡动分析为简化分析，不计阻尼，可设将其代入运动微分方程得2026/1/1855由第三式解得代入第一式得于是分母为零，则X达到无限大，即x方向的临界转速ωcr，令即或由求根公式可得讨论：1）kx»k，支承几乎不动，支承质量可视为零，mb=0,频率方程简化为：2026/1/18562）k»kx，频率方程简化为：支承动刚度定义：作用在支承上的简谐激振力与力方向上的振动位移之比。与支承刚度、阻尼、参振质量有关，一般为复数，是随ω而变化的曲线（特性）。也称为位移阻抗，用iω除后，得到速度阻抗，也就是常用的机械阻抗(参见六章)3）同样，若x、y方向互不耦合，则有频率方程化简为：y方向临界转速为:2026/1/1857一般kx≠ky，所以通常X≠Y，因而盘心轨迹是一个椭圆。4）设kx≠ky，且k»kx，k»ky，则有：表明转子首先发生支承运动，即转子刚体涡动运动轨迹为一椭圆柱面（图1－27）；考虑转子转动惯量，还会出现一椭圆锥面（图1－28）为研究涡动随自转速度变化的性质，盘心运动采用复数表示2026/1/1858令：此时：Xc=X，Xs=0；Yc=0，Ys=-Y由复数关系式得：正、反进动两个分量相位角为：由前面公式可得椭圆长半轴a、短半轴b及长半轴与ox轴夹角α如果Xp>Xr，则为正涡动；如果Xp<Xr，则为反涡动。讨论：假设设：kx>ky，则：ωcx>ωcy。a）当ω>ωcy时，Xc>0，Ys<0，且|Ys|>Xc则：Xp>Xr，为正涡动，a=|Ys|，b=Xc，。2026/1/1859b）当ω＝ωcy时，Xc>0，Ys＝∞则：a=∞，b=±Xc，。c）当时，Xc>0，Ys>0则：Xp<Xr，为反涡动，a=Ys，b=－Xc，d）当时，Xc＝Ys>0则：Xp<Xr，为反涡动，a=Xc＝Ys，b=－a，e）当时，Xc>0，Ys>0，且Xc>Ys则：Xp<Xr，为反涡动，a=Xc

，b=－Ys，f）当ω＝ωcx时，Xc=∞，Ys>0则：a=∞，b=±Xc，g）当ω>ωcx时，Xc<0，Ys>0，且|Xc|>Ys则：Xp>Xr，为正涡动，

a=|Xc|，b=Ys，h）当ω＝∞时，Xc=-e，Yc=e则：Xp>Xr，为正涡动，

a＝b=e，2026/1/1860盘心运动轨迹和方向如图1－29。通常轴的两个方向刚度差异不大，两个临界转速靠得很近，一般不允许在临界转速附近停留，故一般只能看到正进动。2026/1/1861第八节非轴对称单盘转子的涡动分析实际转子非对称典型结构见图1－30假设支承刚度远大于轴的弯曲刚度，由于轴刚度不对称，重力激励频率为转速二倍。当转速到达临界转速一半时，会使动挠度达到极值——副临界。是引起副临界的重要原因（图1－31）。2026/1/1862§5.8.1非对称轴的单盘转子运动微分方程如图1－31，建立与定坐标系平行的坐标系，再建一动坐标系，令、为轴截面两个主惯性轴，转子以ω绕轴转动，设截面两个主惯性矩为Jξ、Jη，相应弯曲刚度为：圆盘偏心为，相对动坐标系的相位角为φe则有：动坐标系中牵连惯性力为，在ξ、η轴上的分量为：哥氏惯性力的分量为：轴的弹性反力分量为：2026/1/1863圆盘粘性外阻尼力分量为：式中：c——圆盘粘性外阻尼系数。弹性轴内阻尼力分量为：式中：ci——弹性轴内阻尼系数(分析见后面章节)。转子受到的重力分量为：根据质心运动定理，参考图1－32，得令：2026/1/1864质心运动方程为：为线性非齐次方程利用线性叠加原理可分别讨论重力和偏心的作用。§5.8.2重力作用下非对称单盘转子的涡动重力单独作用时运动微分方程为：运动方程右端采用复数表示，并规定取其实部，有2026/1/1865设运动方程解为：、代入运动微分方程得：求解上式，得若忽略阻尼，即令c=ci=0，则2026/1/1866上式中都以实部为运动方程无阻尼情况下，取极值条件，即分母为零，则有令：代入上式得：通常Δk/k«1，k/m≈，则有表明会出现副临界现象。根据坐标变换关系：2026/1/1867可得固定坐标系下进动方程：由此可见：重力使双刚度转子以两倍自转角速度作正进动；轨迹是以静平衡位置为中心的圆，半径与Δk成正比。副临界峰值比临界峰值小；利用副临界测临界转速(安全)。§5.8.3偏心作用下非轴对称单盘转子的涡动仅偏心作用下运动方程为：2026/1/1868可见偏心引起的离心惯性力在动坐标系中如同一个静力，只能产生相对静挠度ξe、ηe，且有：代入运动方程得：解得动坐标系中的动挠度re和相位角φe为：2026/1/1869可见：re随动坐标系一起以自转角速度ω旋转。在固定坐标系中，圆盘作同步正涡动，盘心轨迹是以re为半径的圆。讨论：1）响应与内阻尼ci无关；

2）对无阻尼（c=0），根据动挠度极值定义临界转速，有：a)支承不对称，两临界转速之间，转子作稳态反进动涡动；b)轴不对称，两临界转速之间，转子可能出现不稳定。2026/1/1870第九节弹性轴有初始弯曲时的转子涡动设：一Jeffcott转子，不计重力，无质量偏心，轴有初始弯曲圆盘处初始弯曲为rs，转子以角速度ω旋转，进一步弯曲rd，动挠度为r。见图1－33s：初始盘心位置c:瞬时盘心位置定坐标系：oxy动坐标系：oξη建立动坐标系运动微分方程1）盘心绝对加速度为：2）弹性轴恢复力：2026/1/18713）轮盘粘性外阻尼力：4）根据质心运动定律得：化为标准形式微分方程：代入坐标变换，得定坐标系方程：由于旋转，xs、ys随时间变化，可表示为：代入定坐标系运动方程得：与质量偏心运动方程形式相似，但特点不同。2026/1/1872令：式中：式中：代入运动方程得：由强迫振动可知方程稳态解为：与偏心盘的比较：1）动挠度：偏心盘分子上因子为轴弯曲分子上因子为2）动挠度极值频率：轴弯曲为：偏心盘为：无阻尼时两者相等。3）同时存在轴初弯曲rs和盘偏心e，并假设相位差位θ，由线性叠加原理得：2026/1/1873第十节转子在越过临界转速时的行为临界转速附近挠度最大，主要讨论越过临界转速时的行为。假设：转子等加速（或等减速）越过临界转速§5.10.1变转速时转子运动微分方程如图1－34，以水平Jeffcott转子为例考虑重力影响(x、y坐标轴对调)。质心c与盘心坐标关系有：求一、二阶导数得2026/1/1874轴的弹性反力为：圆盘粘性阻尼力：式中：c1——圆盘横向运动阻尼系数粘性阻尼力矩：式中：c2——圆盘旋转运动阻尼系数重力和重力矩为：设外力矩为Mz，由质心运动定理得代入质心运动微分方程得：2026/1/1875由质心动量矩定理得：将个有关量代入解得：作坐标变换，令以上两方程组变换为：由几何关系：求一、二阶导数得2026/1/1876令：代入上式，整理得2026/1/1877令：作无量纲化变换：代入运动微分方程得——无量纲化得运动微分方程：2026/1/1878§5.10.2等变速转子运动微分方程的解不计重力，转子总作同步正涡动。初始条件为：式中：K——大于或小于1的正常数，以表示转速高于或低于临界转速。对无量纲时间τ有：下标“0”表示开始变转速时刻。假定转子作稳态涡动，即，代入无量纲化方程得：解得：，及无量纲方程和作为转子作变速运动得初始条件。设：取τ＝0时，2026/1/1879设外扭矩使变速运动规律为：即：式中：λ>0，为等加速；

λ<0，为等减速；将运动微分方程整理为：与方程：联立，采用数值积分求解，如采用四阶龙格－库塔积分法。2026/1/1880§5.10.3试验及算例试验设备见图1－35参数：直径1.7cm，跨长52cm

轮盘直径12cm，厚5cm

盘质量4.7kg转速：0—90转/秒转子临界转速：41.9转/秒等加速度：K=0.867等加速度曲线见图1－36(a)

图1－36(a)2026/1/1881图1－36(b)2026/1/1882转子临界转速：41.2转/秒K=1.16等加速度：-等加速度曲线见图1－372026/1/18832026/1/1884等加速度：K=0.867,λ=0.00026,Δτ=0.05,总步数20000，D1=0.08等减速度：K=1.16,λ=-0.000213,Δτ=0.01,总步数100000,D1=0.007计算与试验结果见图1－38

图1－382026/1/18852026/1/1886§5.10.4等变速越过临界转速时转子涡动2026/1/1887第十一节临界转速计算§5.11.1概述临界转速特点：转子转速增加到某些特定转速下，转子挠度明显增加；转速超过该转速时，挠度有明显减小。ISO定义：2026/1/1888一、临界转速基本特性模型：Jeffcott转子，质心O2，盘心O1，偏心距e(图5-2)。轮盘离心力为轴的弹性恢复力为由力的平衡关系得解出轴的挠度为特点：1.当时，挠度趋于无限，对应的临界转速与偏心距无关；且临界转速与转子系统弯曲固有频率一致,即不同点：弯曲振动，轴承受交变应力；临界转速，非交变应力，(5-1)可写成2026/1/18892.ω<ωcr称为亚临界状态，y/e>0，质心位于挠曲线外侧，随转速增加其比值增加。3.ω>ωcr称为超临界状态，y/e<0，质心位于挠曲线内侧，随转速增加其比值绝对值减小，且ω→∞时，y/e→1，超临界“自位”作用，即质心回到旋转中心，在工程上具有重要意义。且为稳定平衡，平衡力由哥氏力提供。3.ω=ωcr称为临界状态，y/e→∞，转子不稳定(无阻尼假设)。2026/1/1890例5-1为了避开过大振动，常规定机器不得在临界转速附近停留。试根据(5-3)式计算，在y/e不超过10、5、2的条件下，不准停留的转速范围是多少？2026/1/1891二、轴质量的影响

对于光轴(图5-6)，由材料力学可得平衡(运动微分)方程式对于等截面均质轴有式中：m1=ρA为轴单位长度的质量对于简支轴，频率方程为其解为：即则固有频率为：2026/1/1892对于刚材料，

有则振动频率为：光轴的第一阶临界转速为：2026/1/1893简支轴中间刚度为：将轴质量折合到轴中点，假定临界转速不变，有则可得折合质量为：将折合质量与盘质量合并在一起，得到系统的临界转速为：经变换得：简写为：2026/1/1894三、陀螺力矩的影响涡动：转子弓形回转自转：角速度ω公转(进动)：角速度Ω正进动(正涡动)：ω≠Ω，ω与Ω同向旋转协调正进动(同步正涡动):ω=Ω，且同向旋转反进动(反涡动)：ω≠-Ω，ω与Ω反向旋转协调反进动(同步反涡动):ω=-

Ω，且反向旋转陀螺力矩：轮盘旋转轴线与支点连线不平行，轮盘不仅作自转与横向平面运动，还要产生摆动，产生一个使轮盘发生偏转的力矩——陀螺力矩。陀螺效应：陀螺力矩的影响，使转子临界转速与不考虑陀螺力矩的临界转速不同。一般情况下，对于薄盘转子：

正进动、协调正进动使临界转速提高；

反进动、协调反进动使临界转速降低。2026/1/1895以悬臂式单盘转子为例(图5-11)，轮盘离心力为轮盘两种运动：相对运动，角速度为ωp；

牵连运动，角速度为Ω。如图5-11所示：将Ω矢量分解为00方向及其垂直方向两个矢量，并于ωp合成，将两个方向的总矢量与相应的轮盘在两个轴上的转动惯量相乘，得到两个方向的动量矩Φ00与Φ⊥00式中：I0—轮盘极转动惯量；

Id—轮盘直径转动惯量。将两个矢量在支点连线AB方向及其垂直方向分解，可知：ΦAB方向、大小不变；Φ⊥AB大小不变，但以角速度Ω旋转。Φ⊥AB大小为：2026/1/1896Φ⊥AB以Ω旋转变化的速率为根据理论力学动量矩定理，陀螺力矩为式中负号表示惯性力与加速度方向相反，将Φ⊥AB代入得：式中：等号右边第一项含有ωpΩ，代表哥氏惯性力矩；等号右边第二项含有项，代表离心惯性力矩；因此：陀螺惯性力矩是哥氏惯性力矩与离心惯性力矩之和。由于轮盘偏转角很小，可以近似认为：则得2026/1/1897令：则得：陀螺力矩方向可由矢量-dΦ⊥AB的方向看出，也可有陀螺力矩正负号判断。1)同步正涡动时，陀螺力矩为负值，使挠角θ减小，相当于增加了轴的刚性，临界转速提高；2)同步反涡动时，陀螺力矩为正值，使挠角θ增大，相当于削弱了轴的刚性，临界转速降低。3)陀螺力矩的影响还与轮盘及转子结构形式有关，可根据陀螺力矩实际计算结果加以分析。2026/1/1898陀螺力矩的影响，使得临界转速复杂化，利用力和力矩的平衡关系可得：2026/1/1899由齐次方程组非零解条件得：方程为Ω四次方程，并以ω为参数，即方程的解随ω而变,四个根中有两个整根，两个负根，其物理意义相同(图5-12)。方程解的结果由两条曲线表示，曲线有两条渐近线，其中一条与水平坐标轴重合，还有一条斜渐近线。对于水平渐近线，可令ω→∞，得其渐近线方程为：2026/1/18100对于斜渐近线，可令Ω→∞，可得斜渐近线斜率为：上式表明：渐近线斜率随轮盘转动惯量之比而变化。对于薄盘，转动惯量之比为2。由图5-12可以看出，以斜渐近线作为分界线：其左侧区域为Ω>(I0/Id)ω，陀螺力矩为正，使临界转速减小；其右侧区域为Ω<(I0/Id)ω，陀螺力矩为负，临界转速增加。所以曲线变化呈坐低右高。曲线一、三象限代表正进动；二、四象限代表反进动。以图2-14为例：a点是曲线与斜率为45度直线的交点，处于ω=Ω，表示同步正涡动——通常意义下的临界转速；b点是曲线与斜率为I0/Id的直线交点，陀螺力矩为零，即不计陀螺力矩的临界转速，计算较为方便；C点是曲线与纵坐标轴的交点，共有两个，对应两个不同的挠曲线(图5-13)，盘的转动惯量最为惯性与质量一起参与振动，其值可以通过振动测量获得。2026/1/18101b点是曲线与斜率为-45度的直线交点，也有两个交点，分别对应两个挠曲线。它对应于ω=-Ω，即同步反涡动状态。同步正涡动、同步反涡动时，轴的受力是不同的，见图5-15。引起同步涡动的激励力主要为不平衡离心力；引起非同步涡动(包括反涡动等)的机理理由内摩擦、油膜力、封严结构、径向间隙不均匀、支承非线性等，相关内容可参考有关转子动力学的教材和文献。在发动机上，通常以不平衡力引起的同步正涡动为基本形式，对应的临界状态的进动角速度称为临界转速；其它涡动状态，必须提供一个与其对应频率的周期外力，才能维持其运动状态，有时将这种临界进动角速度称为共振转速。考虑陀螺力矩影响的临界转速的计算，常采用效应系数法。通过效应系数，建立盘的挠度与转角的的方程为：2026/1/18102式中：2026/1/181032026/1/181042026/1/181052026/1/181062026/1/18107四、弹性支承的影响如图5-19，设支承刚度系数为C1，则设轴在盘处的刚性系数为C，轴在盘处的挠度为y-δ1,则由以上两式联立求解得由方程非零解条件得由此得到临界转速为2026/1/18108由此可见：支承弹性总使临界转速降低；当支承刚度趋于无限时，转子的临界转速就等于刚性支承时的临界转速。2026/1/181092026/1/181102026/1/181112026/1/181122026/1/18113动刚度概念如果某一弹性元件受到一个简谐力P激励，即P=Asinωt将会产生一个同频率的振动响应y，即

y=Ysinωt则该元件的动刚度定义kd为：振动常用元件的动刚度有：1)自由质量的动刚度(图5-23)由力的平衡原理得故有则自由质量的动刚度为2)带弹簧支承质量动刚度(图5-24)同理，由力的平衡原理得2026/1/18114可见带弹簧支承质量的动刚度等于弹簧静刚度c与质量动刚度之和。当kd=0时，即为其固有频率。则有3)简谐力通过弹簧作用的质量元件的功刚度(图5-25)力作用下弹簧两端位移分别为：2026/1/181152026/1/18116由上式可知：1)当ω=0时，kd=0，零频共振，即刚体运动；2)当时，动刚度为负，激励与响应反相位；3)当时，动刚度为正，激励与响应同相位；4)当时，动刚度为无限，反共振，相应的频率称为反共振频率，其值为：此时，激励力与质量惯性力平衡。4)元件间连接处动刚度如图5-26所示，两个元件A、B连接处位移相等，即由力的平衡条件得：fAB=fA+fB式中：2026/1/18117则连接点处的阻抗为：即也就是并联耦合刚度。故在连接处，并联耦合刚度等于各元件的动刚度之和。1)原点动刚度：激励力与响应点重合；2)跨点动刚度：激励点与响应点不重合；3)对于图5-25所示通过弹簧作用的质量元件，激励力在弹簧处1点，响应在质量点2处，则跨点的动刚度为：5)考虑支承弹性的临界转速如图5-27所示，将转子支承系统分为两个子系统：转子子系统与支承子系统。对于转子子系统，轴在中点的刚度为：2026/1/18118转子在连接点的动刚度为：弹性支承子系统在连接点的动刚度为：根据并联系统耦合动刚度为：令耦合动刚度等于零，可得系统的临界转速。即有：如果支承刚性很大，即cb>>c，则上式简化为：此时，轴已发生弯曲，成为挠型转子，相应的临界转速称为挠性转子临界转速；当考虑支承弹性影响时，转子将出现以挠性转子涡动为主的临界转速，且弹性支承的挠轴临界转速恒大于刚性支承的临界转速。2026/1/18119如果转子刚性远大于支承刚性，即c>>cb，则由(5-55)式化简得：此时转轴不发生变形，仅有支承振动，故这种转子称为“刚性转子”，对应的临界转速就是刚性转子的临界转速。可以证明：它恒小于刚性支承的临界转速。实际发动机中，前两阶为刚体振型，随后才是转轴挠曲为主的挠轴临界转速，如图5-28、图5-29所示。利用动刚度耦合法，也可以确定转子—支承系统的临界转速，如图5-30所示，ωcr1、ωcr2分别代表刚轴临界转速与挠轴临界转速，ωcrc代表反共振频率(相当于刚性支点的临界转速)。利用动刚度法可以建立整机振动模型，见图5-31，不同的连接固定形式，模型将有所差异。2026/1/18120五、阻尼的影响（一）旋转轮盘上的力如图5-33所示：平面旋转轮盘轴线中心为O；O1为盘的几何中心，r为轴在盘处的挠度，O2为盘的重心，O1O2就是盘的偏心距e。盘上的作用力有：1)离心力，沿OO2方向；2)轴的弹性恢复力Pr=cr，由O1指向O；3)阻尼力Pb=brω，垂直于OO1连线。（二）运动方程各力在Y轴上的投影得平衡方程整理后得2026/1/18121令则有2026/1/18122以挠度与偏心比表示，则有相位角式中：相应的幅频特性与相频特性见图5-34。特点：1)临界转速提高，由(dr/dω)=0，得

2)相位λ角变化：ω<p，λ<900；ω>p，λ>900;

ω=p，λ=900。

3)阻尼：内阻尼与外阻尼，内阻尼—材料阻尼，转子作协调正进动时不起作用；外阻尼—流体阻尼。2026/1/18123一般情况下，阻尼力在一个周期内做的负功为：

W=brω×2πr=航空发动机常采用挤压油膜阻尼器，抑制发动机转子振动,效果明显。油膜间隙一般为直径的千分之一到三。特殊情况下，阻尼做正功，激起转子振动，引发转子失稳,如滑动轴承的油膜振荡、转子碰摩、径向气流不均匀等，相关问题可参考有关转子动力学的教材与文献。2026/1/18124六、其它影响临界转速的因素

（一）轴向力的影响（二）扭矩的影响2026/1/18125（三）非圆截面轴的影响由于截面非对称，可以找到两个相互垂直的主惯性轴η和ξ，分别对应于最大和最小截面惯性矩Jmax和Jmin，因此在两个方向上有两个刚度，分别为：因而在两个方向分别具有相应的弯曲频率(临界转速)：2026/1/18126取主惯性轴分别与y、z轴平行，可得运动方程：可写成：代入方程中可得：由A1、A2非零解条件可得：展开得解得2026/1/18127如果特征根为正，则运动是不稳定的，由此推得运动不稳定条件为：整理后可得：即在p1与p2之间，转轴的运动是不稳定的，可能产生大的挠度。应予以注意。如果考虑重力影响，其运动方程为：设特解为：代入运动方程得：2026/1/18128解得：当式中分母为零时，A1、A2为无限大，即出现副临界转速,其值为：如果p1≈p2，则副临界转速为：2026/1/18129（四）盘及叶片的柔性影响由于盘及叶片的柔性，陀螺力矩影响减小，临界转速介于考虑与不考虑离心惯性力矩之间。2026/1/18130（五）连接结构的影响1)转子连接(短螺栓、长螺栓、套齿、圆弧端齿、中心拉杆、径向销钉等）刚性；2)叶片与榫头连接刚性；3)叶片之间的减振凸台、叶冠等；4)盘轴之间的花键、套齿、螺钉等连接方式；5)压气机与涡轮转子联轴器连接刚性等。2026/1/18131七、多盘转子临界转速近似计算（一）分解法将考虑轴质量的临界转速公式进一步推广有：转子刚度可用盘处的静挠度表示：因此多盘无重轴的临界转速为：故有或者2026/1/18132（二）能量法(瑞利法)假设不考虑陀螺力矩的影响。将转子离散为有限个节点，转子的势能可用各节点上外力做功之和表示：转子动能为根据能量原理有：T=U从而可得瑞利商——临界转速的平方为：由此可知：利用能量法计算临界转速，须先知道节点Pi与Yi,但力Pi与Yi挠度是对应的，通常先假设重力Gi引起的静挠度为挠曲线，作为第一次近似计算的值，并因此可计算惯性力。如果精度要求更高，可进行第二次、第三次近似计算,一次类推。由瑞利商变换后可得：2026/1/18133（三）传递矩阵法（简介）首先将转子离散成n个单元，即轴段，每轴段为无质量等截面轴，轴段质量均分给轴段两头的端点，轴段截面上有四个状态参数：挠度yi、挠角θi、弯矩Mi、切力Qi。1)轴段传递矩阵由材料力学可得下列关系：2026/1/18134用矩阵表示为：2.站的传递矩阵“站”是一种计算节点，几何尺寸被看作“零”。站点上有负荷作用，因此，站点两侧的状态参数并不完全相同。典型的站点见图5-24。2026/1/18135各种站点的传递矩阵如下：1)质量站点2)轮盘站点3)弹性铰链站点2026/1/181364)具有弹性转动约束的叹息支承站点5)具有质量的弹性支承站点2026/1/181374.边界条件与临界转速的确定边界条件由轴的始、终端确定，它们根据约束条件与轴的载荷分析来确定，以获得频率函数，并求得相应的解。2026/1/18138典型的边界(初始)条件见表5-2。利用边界条件，经过适当变换，总存在下列关系：根据齐次方程非零解的条件，可得：式中：a11,a12,a21,a22都是Ω的函数，因此计算同步正涡动的临界状态值，即(5-89)式的解，就是转子系统的临界转速。计算采用迭代法，由计算程序求解。2026/1/181392026/1/181402026/1/181412026/1/181422026/1/18143八、整机振动（一）振源与静子振动特性振源：1)转子转速有关：不平衡力、齿轮传动等；

2)气流分离失速、压气机喘振、燃烧等；

3)噪声。静子振动特性：1)前后支承力不同，不再作单纯平动；2)安装节刚性不一致，静子运动轨迹不再是圆；3)静子振动复杂，局部振动与总体振动；跟踪滤波寻找转子振动的响应。设发动机转速为ω，定义过载系数为振动加速度与重力加速度之比，即令a=2y0为全振幅，则2026/1/18144（二）频谱分析1）四个转速（谱线：Ω=4300、8350、10400、11150r/min）下，涡轮转子（Ω）振动明显；2）可能机匣刚性不均，出现2Ω、3Ω等倍频；3）可能支承非线性等，出现（1/2）Ω分频；4）可能附件传动转子，出现0.8Ω频率振动；5）s=50Hz，故s、3s、5s等谐波为市电干扰信号。2026/1/18145九、处理临界转速问题的方法1.转子临界转速调到发动机最大工作转速以上。刚性转子设计2.将转子临界转速调到发动机工作转速以下。1)降低转轴抗弯刚性，降低临界转速；2)加装弹性支承；3.增加阻尼器或挠度限制器。4.利用非线性作用磁轴承、磁流阻尼器、变液阻尼器、变支承刚度等。5.改善转子的平衡1)刚性转子动平衡；2)柔性转子动平衡。2026/1/18146十、发动机转子平衡（一）不平衡表现形式1.静不平衡2.动不平衡如图5-51，动平衡时有如图5-52，不平衡力与不平衡力矩在支点上的合力为：需加两个配重，使其满足：令：分别代表两个支承面内平衡质量的动不平衡度，单位:g.cm剩余不平衡力及力矩合力要求为：2026/1/18147（二）保证发动机平衡性方法1.结构设计方面可靠定心设计，良好的平衡工艺2.装配工艺方面叶片质量对称安装；长叶片(如风扇叶片)按质量矩(mr)对称安装。3.平衡工艺方面1)一步平衡2)多部平衡（三）刚性转子与柔性转子的平衡1)刚性转子平衡2)柔性转子平衡3)“本机平衡”2026/1/18148（四）不平衡度的选择ISO标准规定料12个等级供选择参考。1.按照作用在轴承上的不平衡力与转子重量G之比作为依据有：2.按总不平衡度的总和Δ(压气机和涡轮转子)与发动机质量m之比进行统计，有式中：2026/1/18149十一、临界转速计算方法1、矩阵叠代法1）假定一阶振型挠曲弹性曲线和一个试算转速，计算挠曲弹性曲线；高阶须满足正交条件。2）利用计算挠曲弹性曲线和调整转速，直到误差满足要求。2、逐段推算法（传递矩阵法）1）轴对称：临界转速—4×4矩阵；响应—5×5矩阵。2）非对称：临界转速—8×8矩阵；响应—9×9矩阵。3、能量法1）假设弹性线，计算应变能（势能）和动能。2）由能量守恒，计算临界转速。计算值偏高。4、特征方程法将转子系统离散，列出微分方程，求解特征值（临界转速）和特征向量（振型）2026/1/181505、数值积分法1）选取积分步长、时间（步长总数）和不同转速，计算转子—支承系统响应。2）获取系统响应特性曲线，确定临界转速。3）特点：可用于非线性系统计算分析和稳定性分析，耗时时间长。本章以传递矩阵法、Riccati传递矩阵法、传递矩阵—直接积分法为主。2026/1/18151十二、传递矩阵法1）将转子分成等截面轴段、集中质量、联轴器、轴承（支承）等站点；2）变截面或有站点的位置应设为轴段截面；3）取不同转速值，对各截面状态参数逐段推算，直至满足另一端边界条件；计算方法属于精确计算方法。4）轴段传递矩阵等截面轴段振动弹性线方程为：2026/1/18152p—系统的固有频率S（kξ）、T（kξ）、U（kξ）和V（kξ）—克雷洛夫函数；C1、C2、C3、C4—待定系数。截面转角、弯矩、剪力分别为假设轴段起始端的状态参数已知，则待定系数为2026/1/18153将以上各式代入轴段的传递关系得式中：α=k/l2026/1/18154轴段右端（ξ=1）的状态参数方程用矩阵形式表示为下标：ki和oi表示第i段的终端和起始端。不计轴段分布质量，轴段两端状态参数关系为式中：α11、α12、α21、α11—为轴段影响（效应）系数；2026/1/18155写成矩阵形式为：由材料力学知，式中影响系数为：2026/1/181565）轴段间传递矩阵轴段通过站点连接各种结构单元（站点）传递矩阵如下：（1）点质量矩阵（2）盘站矩阵式中：mi—盘质量Ip—盘极转动惯量Id—盘直径转动惯量ω—盘自转角速度

2026/1/18157（3）弹性铰链站传递矩阵式中：ch—弹性铰力矩刚性系数（4）弹性约束支承站传递矩阵式中：cQ—弹性支座刚性系数ch—弹性支座力矩刚性系数6）各跨度间传递矩阵（1）通过刚性支座传递由位移等于零条件得2026/1/18158式中：a1、a2、a3、a4—由先前各段传递矩阵得到的数值系数经过刚性支座后第i+1跨与第i跨的状态参数关系有式中：Ri—刚性支座未知反作用力未知参数的个数不变（2）通过球头联轴器传递为一跨度的结束，由弯矩为零得式中：b1、b2、b3、b4—由先前各段传递矩阵得到的数值系数2026/1/18159经过球头联轴器后第i+1跨与第i跨的状态参数关系有式中：Δθ—球头联轴器两轴间未知转角。上述处理不便，可将刚性支座处理为刚性较大的弹性支座，将球铰处理为力矩刚性系数较小的弹性铰。7）初始（边界）条件各种初始条件见表2-1所示四个状态参数中，只有两个是未知的。2026/1/181608）临界转速的确定通常计算正协调进动（ω=p）情况下的临界转速。根据边界条件，总存在如下关系式：由齐次方程非零解条件，可得频率方程：f(p)=Δ(p)=a11a22-a12a21=0采用扫频方法，进行迭代搜索。9）振型图（1）判断临界转速阶次；（2）了解最大应力及振幅。例2.1：如图2-10：已知：m1=3.5kg，m3=3kg，m2=7kg，Ip=0.05，Id=0.025J1=1.7，J2=3.2，J3=0.9E=2.1E112026/1/1816110）双转子系统临界转速计算双转子临界转速计算较为复杂，设转速比为式中：ω-外转子转动角速度

-内转子转动角速度还须设定模态的形式。（1）设p=，则计算出的临界转速是内转子为主模态（正协调进动）时的内、外转子临界转速值；（2）设p=ω，则计算出的临界转速是外转子为主模态（正协调进动）时的内、外转子临界转速值。设计算模型如图2-11所示内转子初始状态参数为式中：“′”代表内转子不带“′”代表外转子2026/1/18162令内转子初始状态参数为：内转子第（1）段传递矩阵为外转子第<1>段传递矩阵为2026/1/18163内转子第（1）段和外转子终端状态参数为式中：——内转子第（1）段传递矩阵。式中：——外转子第<1>段传递矩阵。写成展开式为2026/1/18164截面2处为铰支形式，弯矩为零，则有邻接条件同样，借外转子轴段<2>的传递矩阵可得终端状态参数列阵由于1为铰支型，则有X02=Xk1,θ02=θk1,M02=Mk1,Q02≠Qk12026/1/18165因此有写成展开形式截面3处连续条件为由邻接条件得利用右中介支承邻接条件最后可得外、内转子终端状态参数列阵2026/1/18166式中：——转动盘II的传递矩阵。式中：——转动盘IV的传递矩阵。展开以上两式得2026/1/18167由第一组方程后两式可解得R