解析形如函数y=x^4-x^2+1的图像示意图画法步骤C10

函数y=57x⁴-12x²+28的性质及其图像示意图本文主要内容：介绍函数y=57x⁴-12x²+28的定义域、值域、单调性、奇偶性、极限和凸凹性，并通过函数的导数知识计算函数的单调区间和凸凹区间。函数的定义域：根据函数的特征，函数自变量x可以取全体实数，即函数的定义域为：（-∞，+∞）。函数的值域：因为y=57x⁴-12x²+28，则：57x⁴-12x²+28-y=0,对x²的二次方程有解，则：判别式△=12²-4*57(-y)≥0，即：4*57y≥4*57*28-12²，解得y≥eq\f(520,19)≈27.37故函数的值域为：[eq\f(520,19),+∞)。函数的单调性：∵y=57x⁴-12x²+28,∴eq\f(dy,dx)=4*57x³-2*12x,令eq\f(dy,dx)=0,则：4*57x³-2*12x=0,x(114x²-12)=0,即x₁=0，或者x²=eq\f(2,19),进一步求出：x₁=-eq\f(1,19)eq\r(38),x₂=0,x₃=eq\f(1,19)eq\r(38)≈0.32,则：(1)当x∈(-∞,-eq\f(1,19)eq\r(38)],(0,eq\f(1,19)eq\r(38))时，eq\f(dy,dx)<0,则此时函数为减函数，该区间为减区间。(2)当x∈[-eq\f(1,19)eq\r(38),0],[eq\f(1,19)eq\r(38),+∞)时，eq\f(dy,dx)>0,则此时函数为增函数，该区间为增区间,当x0=±eq\f(1,19)eq\r(38)时，y有最小值：ymin=f(±eq\f(1,19)eq\r(38))=57*(±eq\f(1,19)eq\r(38))⁴-12*(±eq\f(1,19)eq\r(38))²+28=eq\f(520,19).函数的奇偶性：∵f(x)=y=57x⁴-12x²+28,∴f(-x)=57*(-x)⁴-12*(-x)²+28=57x⁴-12x²+28=f(x).即函数f(x)为偶函数，图像关于y轴对称。函数的极限：eq\s(lim,x→0)57x⁴-12x²+28=28;eq\s(lim,x→-∞)57x⁴-12x²+28=+∞;eq\s(lim,x→+∞)57x⁴-12x²+28=+∞.函数的凸凹性∵eq\f(dy,dx)=228x³-24x,∴eq\f(d²y,dx²)=684x²-24,令eq\f(d²y,dx²)=0，则：x²=eq\f(2,57),即：x₁=-eq\f(1,57)eq\r(114),x₂=eq\f(1,57)eq\r(114)≈0.19;则：(1)当x∈(-∞,-eq\f(1,57)eq\r(114)),(eq\f(1,57)eq\r(114),+∞)时，eq\f(d²y,dx²)>0,则此时函数为凹函数，该区间为凹区间。(2)当x∈[-eq\f(1,57)eq\r(114)，eq\f(1,57)eq\r(114)]时，eq\f(d²y,dx²)<0,则此时函数为凸函数，该区间为凸区间。函数的五点图x00.190.260.320.3857x⁴00.070.260.601.1912x²00.430.811.231.73y2827.6427.4527.3727.46x-0.38-0.32-0.26-0.19057x⁴1.190.600.260.07012x²1.731.230.810.430y27.4627.3727.4527.6428函数的示意图：y=57x⁴-12x²+28y(0,28)(-0.19,27.64)(0.19,27.64)(-0.38,27.46)