安徽省合肥一中2025-2026学年高三上学期1月考试数学（含答案）

2026届高三1月考试（本试卷满分150分，考试时间120分钟）1.已知集合A={x|1<2x-1<3{，B={x|x2-3=0{，则A∩B=()A.{-3,3{B.{3{C.{-3{D.∅A.1B.2C.D.2A.-=1B.-=1C.-=1D.-=14.已知f(x(是定义在R上的偶函数，且f(4-x(=f(x(，当0≤x≤时，f(x(=3-2x，则f(-2025(=()A.-1B.1C.3D.7A.-22B.-2C.-2D.-32A.B.C.D.()()8.已知直线l:(3m+2)x+(m-3)y-3m+9=0,若曲线C:(x-4)2+y2=r2(r>0)上存在9.已知随机变量X~N(8,4(，若P(X≤6(=a,P(8<X<10)=b，则()A.P(X≥10(=aB.a+b=C.E(2X-1(=15D.D(2X-2(=14高三数学试卷第1页共4页C.直线AB的斜率为D.直线FA,FB关于x轴对称A.A=B.若△ABC为等腰三角形，则m=-C.当m=-1时，2b=3cD.当m=-1时，+=13.已知函数f(x(=恰有一个极小值点x1和一个极大值点x2，设点A(x1,f(x1((,αxα高三数学试卷第2页共4页(1)求f(x(的单调性；ax-1+ax-x≥xf(x(对任意x∈(0,+∞(恒成立，求实数a的取值范围．(1)证明：PB⊥PD；(2)若直线PD与平面ABCD所成的角为．求平面PAD和平面ADC所成角的余弦值．(2)过点D(4,0(且斜率不为0的直线l与椭圆C相交于M,N两点.(ii)点A(-2,0(，设点Q是线段MN上异于M,N的一点，直线QA,QM的斜率分别为k1,k2，n}的前n项和为Sn,且满足a1=(2)当n≥3时,已知f(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-an)的导函数为f'(x)=n(x-b1)(x-b2)…(x-bn-1).其中b1≤b2≤…≤bn-1.令F(i)设uj=bj-j,vj=j-bj-1(2≤j≤n-1),证明:F(uj,vj)=0;(ii)证明:对任意2≤j≤n-1,有bj-bj-1>1.高三数学试卷第1页(共4页)1.已知集合A={x|1<2x-1<3{，B={x|x2-3=0{，则A∩B=()【详解】因为1<2x-1<3，解得1<x<2，所以A={x|1<x<2{，所以A∩B={3{，A.1B.2C.D.22i(1+i(22i(1+i(2+12=2，ABC由-=1(m,n>0(可知双曲线的焦点在y轴上，高三数学试卷第2页(共4页)4.已知f(x(是定义在R上的偶函数，且f(4-x(=f(x(，当时，f(x(=3-2x，则f(-2025(=()A.-1B.1C.3D.7【详解】因为f(x(是定义在R上的偶函数，所以f(-x(=f(x(.又因为f(4-x(=f(x(，所以f(4-x(=f(-x(，所以f(x+4(=f(x(，所以f(x(的周期为4.因为0≤x≤时，f(x(=3-2x，所以f(-2025(=f(-1(=f(1(=1.A.-22B.-2C.-2D.-32A.B.C.D再利用两角差的正切公式可求得tan∠EAF的值.高三数学试卷第3页(共4页) ()因为平面ACD⊥平面BCD，平面ACD∩平面BCD=CD，所以三棱锥A-BCD的体积V=S△ACD.OB=××AC.AD.OB= 3=38.已知直线l:(3m+2)x+(m-3)y-3m+9=0,若曲线C:(x-4)2+y2=r2(r>0)上存在高三数学试卷第4页(共4页)+2y-3=(x-3y+10)m，+2y-3=(x-3y+10)m，消去m得(3x+y-6)(3x+2y-3)+(2x-3y+7)(x-3y+10)=0，r-1|≤|C1D|≤r+1，即|r-1|≤5≤r+1，解得4≤r≤6，9.已知随机变量X~N(8,4(，若P(X≤6(=a,P(8<X<10)=b，则()A.P(X≥10(=aB.a+bC.E(2X-1(=15D.D(2X-2(=14判断各选项即得.【详解】因为随机变量X~N(8,4(，所以P(X≥10(=P(X≤6(=a，故A正确；a+b=P(X≤6(+P(8<X<10)=P(X≥10(+P(8<X<10)=P(X>8(= ,故B正确；因为随机变量X~N(8,4(，所以E(X(=8,D(X(=4，又D(2X-2(=4D(X(=16，故D错误.高三数学试卷第5页(共4页)C.直线AB的斜率为D.直线FA,FB关于x轴对称A错误；对于D，kFA==-22,kFB==22,kFA+kFB=0，故D正确．A.A=B.若△ABC为等腰三角形，则m=-C.当m=-1时，2b=3cD.当m=-1时， 由三角恒等变换得到tanB当m=-1时，accosB=b2高三数学试卷第6页(共4页)因为0<A<π,故<A+<，故A+=，故A=，A选项错误；对于D，由tanB+=+=.13.已知函数f(x(=恰有一个极小值点x1和一个极大值点x2，设点A(x1,f(x1((,且f/(x其中x1<x2，x1+x2=-2a,x1x2=-1高三数学试卷第7页(共4页)x2-x1x2-x1x2-x1即直线AB的斜率为.故所求概率为ppk高三数学试卷第8页(共4页)参考公式其中n=a+b+c+d．αxα所以P(ξ=0)=C03=，P(ξ=1)=C12=，P(ξ=2)=C21=，P(ξ=3)=C30=，ξ0123P 29 49 所以E(ξ)=3×=2．ax-1+ax-x≥xf(x(对任意x∈(0,+∞(恒成立，求实数a的取值范围．ax-1+ax-1≥lnx+x对任意x∈(0,+∞(恒成立，令g(x(=ex可得解.高三数学试卷第9页(共4页)【详解】(1)函数f(x的定义域为(0,+∞(，又f,(x令f,(x(=0，得x=1，当x∈(0,1(时，f,(x(>0，所以f(x(在(0,1(上单调递增；当x∈(1,+∞(时，f,(x(<0，所以f(x(在(1,+∞(上单调递减．所以f(x(的单调递增区间为(0,1(，单调递减区间为(1,+∞(.ax-1+ax-x≥xf(x(对任意x∈(0,+∞(恒成立，得eax-1+ax-x≥lnx+1对任意x∈(0,+∞(恒成立，ax-1+ax-1≥lnx+x对任意x∈(0,+∞(恒成立．令g(x(=ex+x，则有g(ax-1(≥g(lnx(，显然g(x(为增函数，可得ax-1≥lnx，由(1)可知f(x(max=f(1(=1，(1)证明：PB⊥PD；(2)若直线PD与平面ABCD所成的角为．求平面PAD和平面ADC所成角的余弦值．则DO⊥AB，PO⊥AB，又DO∩PO=O，DO,PO⊂平面POD，∴AB⊥平面POD，高三数学试卷第10页(共4页)故由PD⊥PA,PD⊥AB,PA,AB⊂平面PAB,从而PD⊥平面PAB.因为PB⊂平面PAB,故PB⊥PD.∴平面POD⊥平面ABCD，∴PD=PO=3，∴DO=BC=6，PG=，所以，二面角P-AD-C余弦值为．+2=12+42=1，+4)y2+24ty+36=0，2-4)2=2高三数学试卷第12页(共4页)-144(12u2-7u+1(，24k2+3.+3)x2-32k2x+64k2-12=0，|MN|=k2+1⋅(x1+x2(2-4x1x2=k2+1×121-4k24k2+3.k2+1(1-4k2)=244k2+343(1-4k2)=244k2+3434k2+34k2+34k2+3|QM|=、t2+1y1+，|QN|=、t2+1=其中b1≤b2≤…≤bn-1.令Fj=bj-j,vj=j-bj-1(2≤j≤n-1),证明:F(uj,vj)=0;(ii)证明:对任意2≤j≤n-1,有bj-bj-1>1.an+1(an-an-1)-an-1(an+1-an)=2(an+1-an)(an-an-1)化简可得an+1an-2a+an-1an=0,故an+1+an-1=2an(n≥2).故{an}为等差数列.有解得a2=2,故an=n(n∈ℕ*).f'(x)=(x-2)(x-3)…(x-n)+(x-1)(x-3)(x-4)…(x-n)+…+(x-1)(x-2)…(x-(n-1))n-1,故j<bj<bj+1(j