吉林省吉林市外五县各高中2025-2026学年高二上学期1月期末考试数学试卷（图片版含解析）

高二数学

(试卷满分：150分，考试时间：120分钟)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指

定位置。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将

答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，请将答题卡上交。

4.本卷主要命题范围：选择性必修第一册、选择性必修第二册第四章。

一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.直线√3x—y+4=0的倾斜角为

A.—30°B.120°C.150°D.60°

2.在等差数列{an)中，若a₃+a=10,则a₇=

A.3B.4C.5D.6

3.已知空间向量a=(1,-1,y)与b=(-2,r,4)共线，则y+x=

A.0B.6C.-4D.4

4.以C(2,2)为圆心，且过点B(6,—1)的圆的标准方程为

A.(x—2)²+(y-2)²=5B.(x+2)²+(y+2)²=25

C.(x-2)²+(y-2)²=25D.(x-2)²+(y+2)²=10

5.如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BD+BA₁+BC₁=

A.2DBB.2D₁B

C.2BDD.2D₁B₁

6.已知椭圆E:)的上、下顶点与左、右焦点分别为A,B,F₁,F₂,且四边形

AF,BF₂是正方形，则E的离心率为

ABCD

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7.已知数列{an}的通项公式为,前n项和为S,则S,取得最小值时，n的值等于

A.9B.10C.8D.1

8.已知椭圆C₁)和双曲线C₂:(a₂>0,b₂>0)有公共的焦点，

其中F₁为左焦点，P是Ci与C₂在第一象限的公共点.线段PF₁的垂直平分线经过坐标原

点，若C₁的离心率为,则C2的渐近线方程为

AB

D

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.数列2,0,2,0,…的一个可能的通项公式是

A.an=1+(一1)n+1B

C.aₙ=2sinnπD.aₙ=1+cosnπ

10.过点P(0,2)且与抛物线y²=12x恰有一个公共点的直线方程可能为

A.y=2B.x=0

C.2x-3y+6=0D.3x-2y+4=0

11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E,F分别为棱B₁C₁,CC₁的中点，点

P是线段A₁D上的一动点，则下列说法正确的是

A.三棱锥E-APF的体积为定值

B.存在点P,使得PB₁⊥PC

C.△PEF的周长的最小值为2√5+√2

D.直线PC₁与平面ADD₁A₁所成角的正弦值的最大值为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.在等比数列{an}中，a₁=1,公比q=2.若an=32,则n的值为·

13.已知向量a=(1,x,2),b=(0,1,2),c=(1,0,0),若向量a,b,c共面，则x=

14.已知椭圆的左、右焦点分别为F₁,F₂,P,Q是椭圆C上关于坐标原点对称的

两点，且PQ|=|F₁F₂|,则四边形PF₁QF₂的面积为

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

15.(本小题满分13分)

已知抛物线C:y²=2px(p>0)过点M(1,2).

(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；

(2)过该抛物线的焦点作斜率为1的直线，交抛物线于A,B两点，求线段AB的长度.

16.(本小题满分15分)

已知点A(1,2),B(5,6),线段AB是圆C的直径.

(1)求圆C的标准方程；

(2)若过圆心C的直线l在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程.

17.(本小题满分15分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，△PAB是等边三角形，且平面PAB⊥平

面ABCD,点E为棱AD的中点.

(1)求证：PE⊥AC;

(2)若,求平面PCD与平面PBE的夹角的余弦值.

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18.(本小题满分17分)

已知数列{an}满足a₁=2,且,在数列{bn}中，b₁=2,点P(bn,

bn+1)在函数y=x+2的图象上.

(1)求{an}和{bn}的通项公式；

(2)将数列{bn}和的所有公共项从小到大排列得到数列{cn},求数列{cn}的前n项

和T..

19.(本小题满分17分)

若椭圆C的两个焦点分别为F₁(-1,0),F₂(1,0),且椭圆C过点,若直线l经过点

F₂且交椭圆C于A,B两点，交直线x=4于点M,直线PA,PB,PM的斜率分别为k,

kz,kʒ.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若直线PA,PB关于直线PF₂对称，求k₃;

(3)探究k₁,kz,k₃的数量关系.

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高二数学

参考答案、提示及评分细则

题号12345678

答案DCACCDAB

题号91011

答案ABABDACD

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.【答案】D

【解析】直线√3x-y+4=0的斜率k=√3,设直线的倾斜角为a,则tana=√3,因为0°≤a<180°,所以α=60°,

故选D.

2.【答案】C

【解析】在等差数列{aπ}中，a₃+a₁=2a₇=10,解得a7=5.故选C.

3.【答案】A

【解析】因为空间向量a=(1,-1,y)与b=(-2,x,4)共线，所,解得x=2,y=-2,所以y

十x=0.故选A.

4.【答案】C

【解析】|CB|=√(2-6)²+(2+1)²=5,所以圆的半径r=5,又以C(2,2)为圆心，所以圆的标准方程为：(x

—2)²+(y-2)²=25,故选C.

5.【答案】C

【解析】因为在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，以BA,BC,BB₁为基底，则BD=BA+BC,BA₁=BA+BB₁,BC₁

=BC+BB₁,所以BD+BA₁+BC₁=2(BA+BC+BB₁)=2(BA+AD+DD₁)=2BD₁,故选C.

6.【答案】D

【解析】根据题意可得，椭圆的短轴长和焦距相等，即2c=2b,则离心率故选D.

7.【答案】A

【解析】令,解得n≤4或,所以当n≤4或n≥10时，aₙ≥0,所以S。取得最小值时n的值为

9.故选A.

8.【答案】B

【解析】记e₁,e₂分别为C₁,C₂的离心率，设F₂为右焦点，半焦距为c,|PF₁I=x,|PF₂I=y,由题意PF₁I

PF₂,所以x²+y²=4c²,x+y=2a₁,x-y=2a₂,所以(2a1)²+(2az)²=2·4c²,即,所以

=2,解得,所以C₂的渐近线方程为.故选B.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得

6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.【答案】AB

【解析】分别检验前4项的值，易知选项AB正确，故选AB.

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10.【答案】ABD

【解析】显然直线y=2与抛物线y²=12x恰有一个公共点，故A正确；

当直线的斜率不存在时，过点P(0,2)的直线方程为x=0,符合题意，故B正确；

当直线的斜率存在且不为0时，设过点P(0,2)的直线方程为y=kx+2,由得

0,所以,所以直线方程为,即3x-2y+4=0,故D正确.故

选ABD.

11.【答案】ACD

【解析】连接B₁C,则EF//B₁C,又B₁C//A₁D,所以EF//A₁D,EFC平面AEF,A₁DC平面AEF,所以A₁D//

平面AEF,又P是线段A₁D上的一个动点，所以点P到平面AEF的距离为定值，又△AEF的面积为定

值，所以三棱锥A-PEF的体积为定值，故A正确；

在矩形A₁B₁CD中，A₁B₁=CD=2,A₁D=B₁C=2√2,若B₁P⊥PC,此时△B₁A₁P△PDC,所以

,贝,则PD²-2√2PD+4=0,因为△=(-2√2)²-4×4=-8<0,所以方程无解，故B

错误；

因为EF=√1²+1²=√2,如图所示，在四边形A₁DFE中，EF=√2,A₁D=

2√2,A₁E=DF=√1²+2²=√5,作点F关于A₁D的对称点F′,连接F′E

交A₁D于点P,此时PE+PF取得最小值，最小值为线段EF′的长度，又

,所以

FF′=2FM=3√2,所以EF′=√(√2)²+(3√2)²=2√5,所以△PEF的

周长的最小值为2√5+√2,故C正确；

连接PD₁,又C₁D₁⊥平面ADD₁A₁,所以∠C₁PD是直线PC₁与平面ADD₁A₁所成的角，所以sin∠C₁PD

,又因为△C₁A₁D是边长为2√2的等边三角形，所以C₁P的最小值即该等边三角形的高，即

(C₁,所以,故D正确.故选ACD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.【答案】6

【解析】因为an=a₁q“⁻¹且a₁=1,q=2,所以32=2⁵=1×2”-¹,所以n=6.

13.【答案】1

【解析】因为b,c不共线，且向量a,b,c共面，所以存在λ,μ使得a=λb+μc,则有,解得x=λ=μ=1.

14.【答案】8

【解析】由已知及对称性得：四边形PF₁QF₂为矩形，所以PF₁⊥PF₂,所以

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

15.(教材原题)

【答案】(1)y²=4x,x=-1(2)8

【解析】(1)∵y²=2px(p>0)过点M(1,2),∴2p=4,解得p=2,4分

∴抛物线C:y²=4x,准线方程为x=-1;5分

(2)由(1)知，抛物线焦点为(1,0),…………6分

设直线AB:y=x-1,A(x₁,y1),B(x₂,y₂),8分

由得x²—6x+1=0,则x₁+x₂=6,……………11分

则|AB|=|x₁+x₂+pl=|6+2|=8.……………………13分

16.【答案】(1)(x-3)²+(y-4)²=8(2)x+y-7=0或4x-3y=0

【解析】(1)∵线段AB是圆C的直径，A(1,2),B(5,6),

∴C的坐标为,即(3,4),………………………2分

圆C的半径r=√(3-1)²+(4-2)²=2√2,………………5分

所以圆C的标准方程为(x-3)²+(y-4)²=8;7分

(2)显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y-4=k(x-3),令x=0,解得y=4-3k,令y=0,解得x=3

,又过圆心C的直线l在x轴，y轴上的截距相等，所以…………12分

解得k=-1或,所以直线l的方程为x+y-7=0或4x-3y=0.………………15分

17.【答案】(1)详见解析②

【解析】(1)取AB中点O,连接PO,OE,BD,如图所示，又△PAB是等边三角形，所以PO⊥AB,又平面PAB

上平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,POC平面PAB,所以PO⊥平面ABCD,2分

又ACC平面ABCD,所以PO⊥AC,3分

在△ABD中，因为O,E分别是AB,AD中点，所以OE//BD,

又底面ABCD为菱形，所以AC⊥BD,所以AC⊥OE,4分

又PONOE=0,PO,OEC平面POE,所以AC⊥平面POE,5分

又PEC平面POE,所以PE⊥AC;6分

(2),所以△ABC为正三角形，又O是AB的中点，所以AB⊥OC,由(1)知PO⊥平面ABC,以O

为坐标原点，OB,OC,OP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.不防设AB=

2,所以A(-1,0,0),B(1,0,0),C(0,√3,0),D(-2,√3,0),P(0,0,√3),),设平面PCD的法

向量为n=(x,y,z),又PC=(0,3,一√3),CD=(-2,0,0),所以,令y=1,解得x

=0,z=1,所以平面PCD的法向量n=(0,1,1),9分

设平面PBE的法向量为m=(a,b,c),又BP=(-1,0,√3),BE=

),所以,令a=√3,解得b=5,

c=1,所以平面PBE的法向量为m=(√3,5,1)12分

设平面PCD与平面PBE的夹角为θ,

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即平面PCD与平面PBE的夹角的余弦值……………………15分

18.【答案】(1)aₙ=2”,bₙ=2n(2)

【解析】(1)因为,所以当n≥2时，

……………………………2分

,所以2an=nan+1-2(n-1)an,所以an+1=2an(n≥2),又a₁=2,az=

2a₁,所以{an}是首项为2,公比为2的等比数列，所以aₙ=2”,5分

因为点P(bπ,bn+1)在函数y=x+2的图象上，所以bπ+1=bₙ+2,即bπ+1-b=2,又b₁=2,所以{ba}是首项

为2,公差为2的等差数列，所以bn=b₁+2(n-1)=2n;8分

(2)因为bₙ=2n是所有的正偶数，又,所以cn=22#+2n,………………12分

所以Tₙ=c₁+c₂+c₃+…十cn=2²+2+2⁴+4+2⁶+6+…+22n+2n=2²+2⁶+2⁶+…+22n+2+4+6+…

………17分

19.【答案】(1)1(2)0(3)k₁+k₂=2k₃或

【解析】(1)由题意可知，c=1,1分

,即a=2,…………3分

所以b²=a²—c²=3,所以椭圆C的标准方程………………4分

(2)直线PF₂的方程为：x=1,因为直线PA,PB关于直线PF₂对称，所以分

由题意可知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y=k(x-1),

联立方程组