2025 小学五年级数学下册因数倍数实际问题解决案例练习课件

一、开篇：为什么要学习因数倍数的实际问题解决？演讲人CONTENTS开篇：为什么要学习因数倍数的实际问题解决？知识锚点：先理清核心概念的“地基”案例拆解：从生活问题到数学模型的转化练习设计：从模仿到创新的能力进阶总结：因数倍数——生活中的“数学密码本”目录2025小学五年级数学下册因数倍数实际问题解决案例练习课件01开篇：为什么要学习因数倍数的实际问题解决？开篇：为什么要学习因数倍数的实际问题解决？作为一线数学教师，我常听到学生问：“学因数倍数有什么用？”这个问题曾让我思考良久。因数倍数是数论的基础，更是解决生活中“分物公平”“周期规律”“资源分配”等问题的核心工具。五年级学生已掌握因数、倍数、最大公因数、最小公倍数的基本概念，但如何将抽象概念转化为解决实际问题的能力，是这一阶段教学的关键。今天，我们就通过真实案例，一起探索因数倍数在生活中的“隐藏身份”。02知识锚点：先理清核心概念的“地基”知识锚点：先理清核心概念的“地基”要解决实际问题，必须先筑牢概念基础。我们不妨用“问题链”的方式，回顾并深化关键知识点。1基础概念再梳理因数与倍数：若整数a能被整数b（b≠0）整除，则b是a的因数，a是b的倍数。例如12÷3=4，3是12的因数，12是3的倍数。需注意：因数与倍数是相互依存的，不能单独说“3是因数”或“12是倍数”。最大公因数（GCD）：几个数公有的因数中最大的一个。如18和24的公因数有1、2、3、6，最大公因数是6。最小公倍数（LCM）：几个数公有的倍数中最小的一个。如6和8的公倍数有24、48、72…最小公倍数是24。2概念辨析：易混淆点突破1教学中发现，学生常混淆“最大公因数”与“最小公倍数”的应用场景。我总结了一句口诀：“分物求最大（尽可能多分组），周期求最小（最早相遇）”。例如：2分30个苹果和45个橘子，每袋水果数量相同且无剩余，求最多装几袋——用最大公因数（15袋）；3甲每3天值日一次，乙每4天值日一次，求最早同时值日的时间——用最小公倍数（12天后）。03案例拆解：从生活问题到数学模型的转化案例拆解：从生活问题到数学模型的转化数学的魅力在于“用抽象解决具体”。接下来，我将结合五类常见实际问题，详细演示“读题-建模-解题-验证”的全过程。1分物公平类问题：让每份数量相同这类问题的核心是“将不同数量的物品分成若干组，每组中各类物品数量相同且无剩余”，本质是求“各物品数量的最大公因数”。案例1：五（2）班为庆祝六一，准备了48颗巧克力、36颗水果糖、60颗奶糖，要装成若干个“零食盲盒”，每个盲盒中三种糖的数量分别相同，且所有糖恰好分完。最多能装多少个盲盒？每个盲盒中有几颗巧克力、水果糖、奶糖？解题步骤：读题提取关键信息：三种糖数量分别为48、36、60，需分成若干组，每组内三种糖数量相同，求最大组数。建立数学模型：组数是48、36、60的公因数，“最多”即求最大公因数。计算最大公因数：用短除法分解质因数：1分物公平类问题：让每份数量相同48=2×2×2×2×336=2×2×3×360=2×2×3×5公有的质因数是2×2×3=12，故最大公因数是12。求每组数量：巧克力48÷12=4（颗），水果糖36÷12=3（颗），奶糖60÷12=5（颗）。验证：12×4=48，12×3=36，12×5=60，符合“恰好分完”的条件。教学反思：学生易忽略“三种糖都要分完”的隐含条件，需强调“最大公因数是所有数量的公因数”，而非两两的公因数。2周期规律类问题：寻找共同发生的时刻生活中“每隔几天重复”“不同频率事件同时发生”的问题，本质是求“最小公倍数”。案例2：学校图书馆开放日，科技书区每5天更新一次图书，故事书区每7天更新一次。4月1日两个区同时更新，下一次同时更新是几月几日？解题步骤：理解周期含义：科技书区更新周期是5天（第1天、第6天、第11天…），故事书区是7天（第1天、第8天、第15天…）。建立数学模型：求5和7的最小公倍数，即下一次同时更新的间隔天数。计算最小公倍数：5和7互质，最小公倍数是5×7=35。推算日期：4月1日+35天=5月6日（4月有30天，30-1=29天，35-29=6天，即5月6日）。2周期规律类问题：寻找共同发生的时刻验证：35÷5=7（次），35÷7=5（次），均为整数，符合“同时更新”。教学提示：若周期数不互质（如6天和8天），需用分解质因数法求最小公倍数（6=2×3，8=2×2×2，最小公倍数=2×2×2×3=24）。3.3图形拼摆类问题：用因数倍数设计图案在手工课或美术作业中，“用正方形瓷砖铺长方形地面”“用小长方形拼成大正方形”等问题，需结合图形边长与因数倍数的关系。案例3：手工课上，学生要用长6cm、宽4cm的长方形彩纸拼一个正方形（不能裁剪），至少需要多少张这样的彩纸？解题步骤：2周期规律类问题：寻找共同发生的时刻0504020301分析图形关系：拼成的正方形边长必须是6和4的公倍数（能被6和4整除），“至少”即求最小公倍数。求最小公倍数：6=2×3，4=2×2，最小公倍数=2×2×3=12（cm），即正方形边长为12cm。计算所需张数：正方形面积=12×12=144（cm²），单张彩纸面积=6×4=24（cm²），144÷24=6（张）。或用行列数计算：每行摆12÷6=2（张），每列摆12÷4=3（张），总张数=2×3=6（张）。验证：2×6=12（长），3×4=12（宽），确实拼成边长12cm的正方形。2周期规律类问题：寻找共同发生的时刻拓展思考：若问题改为“用边长为5cm的正方形瓷砖铺长3米、宽2米的地面，至少需要多少块？”需注意单位换算（3米=300cm，2米=200cm），求300和200的最大公因数（100cm），即瓷砖边长最大为100cm，但题目限定瓷砖边长为5cm，此时需用地面面积除以单块面积（300×200）÷(5×5)=2400块，这属于“非最大公因数”的特殊情况，需具体问题具体分析。4数字编码类问题：隐藏的因数密码生活中的门牌号、学号、密码设置等，常隐含因数倍数的规律。案例4：某小区楼栋编码规则为：楼号是1-9的整数，房间号是两位数（10-99），且房间号是楼号的倍数。例如3号楼的房间号可能是12（3×4）、15（3×5）等。若5号楼的房间号最大为95，最小是多少？解题步骤：明确条件：房间号是两位数，且是5的倍数（5×n，n为整数）。确定范围：两位数的5的倍数最小是10（5×2），最大是95（5×19）。验证最小房间号：10是两位数，且是5的倍数，符合要求。变式训练：若某酒店房间号为三位数（100-999），且是7的倍数，最小房间号是多少？（105=7×15）5资源分配类问题：优化组合的数学智慧在活动策划中，“如何分配人员或物资使效率最大化”的问题，常需结合因数倍数与四则运算。案例5：学校组织春游，五年级有120名学生，需租用大巴车（每辆限乘40人）和中巴车（每辆限乘25人），要求每辆车都坐满且两种车都至少租1辆。有几种租车方案？解题步骤：设变量：设租大巴车x辆，中巴车y辆，列方程40x+25y=120（x≥1，y≥1，x、y为整数）。化简方程：两边同时除以5，得8x+5y=24。寻找整数解：y=(24-8x)/5，需24-8x能被5整除，即24-8x的末位是0或5。5资源分配类问题：优化组合的数学智慧当x=1时，24-8=16，16÷5=3.2（非整数，舍去）；x=2时，24-16=8，8÷5=1.6（舍去）；x=3时，24-24=0，y=0（不符合y≥1）；x=0时，y=24/5=4.8（舍去）。看似无解？但实际是我忽略了“每辆车坐满”的条件是否必须严格等于人数？题目中“限乘”是“最多乘坐”，因此可能允许“坐满或少于限乘”，但通常“坐满”指恰好坐满。此时需重新检查：120是否是40和25的线性组合（x≥1，y≥1）。另一种思路：120÷40=3（辆大巴），但需至少1辆中巴，所以减少大巴数量，看剩余人数是否能被25整除：2辆大巴：40×2=80人，剩余40人，40÷25=1.6（不行）；5资源分配类问题：优化组合的数学智慧1辆大巴：40人，剩余80人，80÷25=3.2（不行）；因此，本题无符合条件的方案。这说明在实际问题中，可能存在“无解”的情况，需向学生强调“验证合理性”的重要性。04练习设计：从模仿到创新的能力进阶练习设计：从模仿到创新的能力进阶为帮助学生巩固知识，我设计了“基础-提升-拓展”三级练习，兼顾不同学习层次。1基础题（概念应用）把24本数学本和32本作文本平均分给若干名优秀学生，要求每人分到的数学本和作文本数量相同，最多有多少名优秀学生？（答案：8名）小明每4天去一次游泳馆，小红每6天去一次，5月1日两人同时去，下一次同时去是几月几日？（答案：5月13日）2提升题（综合应用）用长8cm、宽6cm的长方形瓷砖铺正方形墙面，至少需要多少块瓷砖？（答案：12块，正方形边长24cm）某班级购买奖品，笔记本每本15元，钢笔每支20元，共花费300元，且两种奖品数量均为整数，有几种购买方案？（答案：4种：笔记本0支钢笔15支；笔记本4支钢笔12支；笔记本8支钢笔9支；笔记本12支钢笔6支；笔记本16支钢笔3支；笔记本20支钢笔0支，但需“两种奖品”，故排除首尾，共4种）3拓展题（开放创新）设计一个生活中的因数倍数问题（如分礼物、活动安排等），并解答。要求：问题需包含“最大公因数”或“最小公倍数”的应用，且有实际意义。（示例：妈妈买了20个苹果和25个梨，要装成水果篮，每个篮子苹果和梨数量相同，最多装几个篮子？每个篮子有几个苹果、梨？答案：5个篮子，4个苹果，5个梨）05总结：因数倍数——生活中的“数学密码本”总结：因数倍数——生活中的“数学密码本”回顾今天的学习，我们发现：因数倍数不是课本上的抽象符号，而是解决“分物公平”“周期规律”“图形设计”等问题的“数学钥匙”。最大公因数让我们在分