2025-2026学年人教A版数学选择性必修第一册期末综合检测练习卷（含解析）

人教A版数学选择性必修第一册期末综合检测练习卷(时间：120分钟分值：150分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线l1：ax＋3y＋a2－5＝0，l2：x＋(a－2)y＋4＝0，若两条直线平行，则实数a＝()A．－1 B．1C．3 D．－1或32．若直线4x＋3y－12＝0与两坐标轴的交点为A，B，则以AB为直径的圆的方程为()A．x2＋y2－3x－4y＝0B．x2＋y2－4x－3y＝0C．x2＋y2＋3x＋4y＝0D．x2＋y2＋4x＋3y＝03．已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外一点，下列条件中能确定点M与点A，B，C一定共面的是()A．OM＝OAB．OM＝OA＋2OB＋3OCC．OM＝12OA＋1D．OM＝13OA＋14．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，A．43 B．8C．53 D．5．在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠CAA1＝∠BAA1＝60°，则异面直线BC1与AB1所成角的余弦值为()A．66 B．3C．53 D．6．已知向量a＝(－1，1，0)，b＝(1，0，2)，且ka＋b与a－2b互相平行，则k＝()A．－114 B．1C．35 D．－7．设A是抛物线C：y2＝－4x上的动点，B是圆M：(x＋8)2＋y2＝1上的动点，则|AB|的最小值为()A．30－1 B．42－1C．27－1 D．278．已知过点P(1，3)的直线l被圆(x－2)2＋y2＝4截得的弦长为23，则直线l的方程是()A．4x＋3y－13＝0B．3x＋4y－15＝0C．3x＋4y－15＝0或x＝1D．4x＋3y－13＝0或x＝1二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知圆C1：x2＋y2＝9，圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝9，且C1与C2交于P，Q两点，则下列结论正确的是()A．圆C1与圆C2关于直线PQ对称B．线段PQ所在直线的方程为6x－8y－7＝0C．圆C1与圆C2的公切线方程为4x＋3y－12＝0或4x＋3y＋12＝0D．若A，B分别是C1与C2上的动点，则|AB|的最大值为1110．如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是边长为1的正方形，长方体的高为2，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝23A1D，AF＝13A．EF⊥A1DB．EF∥BD1C．异面直线EF与CD所成角的余弦值为66D．平面EAC与平面ACD的夹角的正切值为211．已知F1，F2分别是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，P是椭圆E上一点，且|PF1|＝43|PF2|，cos∠A．椭圆E的离心率为5B．椭圆E的离心率为4C．PF1⊥PF2D．若△PF1F2内切圆的半径为2，则椭圆E的焦距为10三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知a＝(1，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(1，5，x)，若a，b，c三向量共面，则实数x＝________．13．已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点为F(4，0)，过点F的直线交椭圆E于A，B两点．若14．已知直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，与C相交于A，B两点，且|AB|＝10．若线段AB的中点的横坐标为3，则p＝________；直线l的斜率为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(13分)已知空间中三点A(m，－1，2)，B(3，1，－4)，C(1，n，－1)．(1)若A，B，C三点共线，求m＋n的值；(2)若n＝0，且AB，BC的夹角是钝角，求实数16．(15分)已知圆C经过点A(0，2)和点B(1，3)，且圆心C在直线x－y－1＝0上．(1)求圆C的方程；(2)若线段DE的端点D的坐标是(4，3)，端点E在圆C上运动，求线段DE的中点M的轨迹方程．17．(15分)已知抛物线C：y2＝2px(0<p<10)，F为抛物线的焦点，D(8，y0)为抛物线上一点，点E为点D在x轴上的射影，且|DE|＝45|DF(1)求抛物线C的方程；(2)若直线l与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，OA⊥OB，求证：AB过定点．18．(17分)如图，点E在△ABC内部，DE是三棱锥D-ABC的高，且DE＝2．△ABC是边长为6的正三角形，DB＝DC＝5，F为BC的中点.(1)求证：点E在AF上；(2)点G是棱AC上的一点(不含端点)，求平面DEG与平面BCD的夹角的余弦值的最大值．19．(17分)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a(1)求椭圆C的方程；(2)若F1，F2是椭圆C的两个焦点，圆O是以F1F2为直径的圆，直线l：y＝kx＋m与圆O相切，并与椭圆C交于不同的两点A，B，若OA·OB＝－32，求k人教A版数学选择性必修第一册期末综合检测练习卷(时间：120分钟分值：150分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线l1：ax＋3y＋a2－5＝0，l2：x＋(a－2)y＋4＝0，若两条直线平行，则实数a＝()A．－1 B．1C．3 D．－1或3C[因为l1：ax＋3y＋a2－5＝0，l2：x＋(a－2)y＋4＝0，由l1∥l2可得a(a－2)－3×1＝0且4a－(a2－5)≠0，解得a＝3．]2．若直线4x＋3y－12＝0与两坐标轴的交点为A，B，则以AB为直径的圆的方程为()A．x2＋y2－3x－4y＝0B．x2＋y2－4x－3y＝0C．x2＋y2＋3x＋4y＝0D．x2＋y2＋4x＋3y＝0A[直线4x＋3y－12＝0与两坐标轴的交点分别为A(3，0)，B(0，4)，则以AB为直径的圆的圆心坐标为32，2，半径为1232+42＝52，故圆的标准方程为x-322＋(y－2)2＝253．已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外一点，下列条件中能确定点M与点A，B，C一定共面的是()A．OM＝OAB．OM＝OA＋2OB＋3OCC．OM＝12OA＋1D．OM＝13OA＋1D[由OM＝13OA＋13OB＋13OC，得OM-OA＝13(OB-OA)＋13(OC-OA)，即AM4．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，A．43 B．8C．53 D．C[因为焦距为2c＝10，所以c＝5，右焦点(5，0)，a2＋b2＝25．双曲线C：x2a2－y2b所以右焦点到它的一条渐近线的距离为d＝5ba2+b2所以b＝4，a＝c2-b所以离心率e＝ca＝5故选C．]5．在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠CAA1＝∠BAA1＝60°，则异面直线BC1与AB1所成角的余弦值为()A．66 B．3C．53 D．A[在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠CAA1＝∠BAA1＝60°.设棱长为1，则C1B＝AB-AC所以C1B·AB1＝(AB-AC-AA1)·(AB+AA1)＝AB·AB+AB·AA1-AC·AB-AC·AA1-A而C1B2＝(AB-AC-AA1)2＝AB2＋AC2＋AA12－2AB·AC＋2AC·AA1－2AB·AA1＝1＋1＋1－2×1×1×cos60°＋2×1×1×cos60°－2×1×1×cos60°＝2，所以cos〈C1B，AB1〉＝C1B·AB1C1B6．已知向量a＝(－1，1，0)，b＝(1，0，2)，且ka＋b与a－2b互相平行，则k＝()A．－114 B．1C．35 D．－D[ka＋b＝(－k＋1，k，2)，a－2b＝(－3，1，－4)，则-k+1-3＝k1＝2-4，解得k故选D．]7．设A是抛物线C：y2＝－4x上的动点，B是圆M：(x＋8)2＋y2＝1上的动点，则|AB|的最小值为()A．30－1 B．42－1C．27－1 D．27C[由圆M：(x＋8)2＋y2＝1，可知圆心M(－8，0)，半径为1，如图，设A-m则|AM|2＝-m24+82＋m2＝116m4－3m2＋64＝1当m2＝24，即m＝－26时，|AM|2取得最小值28，所以|AM|min＝27，所以|AB|min＝27－1．]8．已知过点P(1，3)的直线l被圆(x－2)2＋y2＝4截得的弦长为23，则直线l的方程是()A．4x＋3y－13＝0B．3x＋4y－15＝0C．3x＋4y－15＝0或x＝1D．4x＋3y－13＝0或x＝1D[圆(x－2)2＋y2＝4的圆心为(2，0)，半径为r＝2，圆心到直线l的距离为d＝22-①若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝1，此时圆心到直线l的距离为1，符合题意；②若直线l的斜率存在，可设直线l的方程为y－3＝k(x－1)，即kx－y＋3－k＝0，圆心到直线l的距离为d＝2k+3-kk2+1＝k+3k2+1＝1，解得k＝－43．此时直线综上所述，直线l的方程为4x＋3y－13＝0或x＝1．故选D．]二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知圆C1：x2＋y2＝9，圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝9，且C1与C2交于P，Q两点，则下列结论正确的是()A．圆C1与圆C2关于直线PQ对称B．线段PQ所在直线的方程为6x－8y－7＝0C．圆C1与圆C2的公切线方程为4x＋3y－12＝0或4x＋3y＋12＝0D．若A，B分别是C1与C2上的动点，则|AB|的最大值为11AD[如图所示，对于A，两圆的半径均为3，则PQ为线段C1C2的垂直平分线，故圆C1与圆C2关于直线PQ对称，A正确；对于B，因为圆C1与圆C2相交，所以两个方程相减可得直线PQ的方程为6x－8y－25＝0，B错误；对于C，因为圆C1与圆C2相交，所以两圆有两条公切线，又两圆的半径相等，所以公切线与C1C2平行，即公切线的斜率k＝kC1C设公切线方程为y＝－43x＋b，即4x＋3y－3b＝0，所以3＝3b42+32，解得b＝±5，所以C1与C2的公切线方程为4x对于D，|AB|的最大值为|C1C2|＋r1＋r2＝3210．如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是边长为1的正方形，长方体的高为2，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝23A1D，AF＝13A．EF⊥A1DB．EF∥BD1C．异面直线EF与CD所成角的余弦值为66D．平面EAC与平面ACD的夹角的正切值为2BCD[以D为原点，DA，DC，DD1的方向分别为x则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，2)，E13，0，23，所以BD1＝(－1，－1，2)，FE＝-1BD＝(－1，－1，0)，CD＝(0，－1，0)．因为FE·A1D＝13＋0－4所以EF⊥A1D不正确，故A不正确；因为BD1＝3FE，且BD1与FE不在同一条直线上，所以EF∥BD因为cos〈FE，CD〉＝0+13+0EF＝13设平面EAC的法向量为m＝(x，y，z)，则m·EF=则m＝(1，1，1)是平面EAC的一个法向量，又平面ACD的一个法向量为n＝(0，0，1)，设平面EAC与平面ACD的夹角为θ，所以cosθ＝cos〈m，n〉所以sinθ＝1-132则tanθ＝2，故D正确．故选BCD．]11．已知F1，F2分别是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，P是椭圆E上一点，且|PF1|＝43|PF2|，cos∠A．椭圆E的离心率为5B．椭圆E的离心率为4C．PF1⊥PF2D．若△PF1F2内切圆的半径为2，则椭圆E的焦距为10ACD[由|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF1|＝43|PF2解得|PF1|＝87a，|PF2|＝67cos∠PF2F1＝P＝4c2-47a2247ac即(a＋5c)(5a－7c)＝0，则a＝－5c(舍去)或a＝75c，故椭圆E的离心率为5由a＝75c，得|F1F2|＝2c＝107则|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，故PF1⊥PF2，C正确；由PF1⊥PF2，△PF1F2内切圆的半径为2，得12×(|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|)×＝12|PF1|×|PF2即12×87a+67a+107a×解得a＝7，又c＝57a，故c即椭圆E的焦距为10，D正确．]三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知a＝(1，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(1，5，x)，若a，b，c三向量共面，则实数x＝________．5[a＝(1，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(1，5，x)，若a，b，c三向量共面，设c＝ma＋nb，即(1，5，x)＝(m，－m，3m)＋(－n，4n，－2n)＝(m－n，4n－m，3m－2n)，所以1=m-n，5=4n-m，x=3m-2n，解得m=313．已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点为F(4，0)，过点F的直线交椭圆E于A，B两点．若13[设A(x1，y1)，B(x2，y2则x作差得x1+x所以kAB＝y1-y2x因为AB的中点坐标为M(1，－1)，所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，所以kAB＝b2a2＝kMF14．已知直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，与C相交于A，B两点，且|AB|＝10．若线段AB的中点的横坐标为3，则p＝________；直线l的斜率为________．4±2[抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点Fp2设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|AB|＝10，可得|AB|＝|AF|＋|FB|＝x1+p2+x2+p又x1+x22＝3，则x1＋此时抛物线C：y2＝8x，其焦点F(2，0)．由题意可得直线l的斜率存在，则其方程可设为y＝k(x－2),由y=kx-2，y2=8x，整理得k2x2－4(k2Δ＝64(k2＋1)>0，则x所以1+k即1+k即1+k2×64k四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(13分)已知空间中三点A(m，－1，2)，B(3，1，－4)，C(1，n，－1)．(1)若A，B，C三点共线，求m＋n的值；(2)若n＝0，且AB，BC的夹角是钝角，求实数解：(1)由题意可得AB＝(3－m，2，－6)，BC＝(－2，n－1，3)．因为A，B，C三点共线，设AB＝kBC，所以3-m=-2k解得m=-1，n=0，k=-2，因此(2)若n＝0，则BC＝(－2，－1，3)．因为AB，则AB解得m<13且m≠－1．因此实数m的取值范围是(－∞，－1)∪(－1，13)．16．(15分)已知圆C经过点A(0，2)和点B(1，3)，且圆心C在直线x－y－1＝0上．(1)求圆C的方程；(2)若线段DE的端点D的坐标是(4，3)，端点E在圆C上运动，求线段DE的中点M的轨迹方程．解：(1)设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，故圆心为-D由题意得4+2E+F=0，1+9+D+3E+F=0所以圆C的方程为x2＋y2－4x－2y＝0．(2)设点M的坐标是(x，y)，点E的坐标是(x0，y0)．因为点D的坐标是(4，3)，且M是线段DE的中点，所以x＝x0+42，y故x0＝2x－4，y0＝2y－3．①因为点E在圆C上运动，所以点E的坐标满足圆C的方程，即x02+y02－4x0－2把①代入②，得(2x－4)2＋(2y－3)2－4(2x－4)－2(2y－3)＝0，整理，得(x－3)2＋(y－2)2＝54所以线段DE的中点M的轨迹方程为(x－3)2＋(y－2)2＝5417．(15分)已知抛物线C：y2＝2px(0<p<10)，F为抛物线的焦点，D(8，y0)为抛物线上一点，点E为点D在x轴上的射影，且|DE|＝45|DF(1)求抛物线C的方程；(2)若直线l与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，OA⊥OB，求证：AB过定点．(1)解：由题可知|y0|＝4p，则|DE|＝4p，|DF|＝8＋p2因为|DE|＝45|DF|，所以4p＝4平方后化简得p2－68p＋256＝0，解得p＝4或p＝64．因为0<p<10，所以p＝4，所以抛物线C的方程为y2＝8x.(2)证明：当直线l的斜率为0时，直线l与抛物线交于一点，不符合题意，所以直线l的斜率不为0，可设直线l的方程为x＝my＋n(n≠0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立x=my+n，y2=8x，消去x并整理得y2Δ＝64m2＋32n.当Δ>0时，由一元二次方程根与系数的关系可得y1＋y2＝8m，y1y2＝－8n，所以x1·x2＝y128·y2又OA⊥OB，所以OA·OB＝x1x2＋y1y2＝n2－8n＝0，解得n＝8，此时满足Δ>0，所以AB过定点(8，0)．18．(17分)如图，点E在△ABC内部，DE是三棱锥D-ABC的高，且DE＝2．△ABC是边长为6的正三角形，DB＝DC＝5，F为BC的中点.(1)求证：点E在AF上；(2)点G是棱AC上的一点(不含端点)，求平面DEG与平面BCD的夹角的余弦值的最大值．(1)证明：连接EF，DF.因为DE是三棱锥D-ABC的高，即DE⊥平面ABC．因为BC⊂平面ABC，所以DE⊥BC．因为DB＝DC＝5，F为BC的中点，所以DF⊥BC．因为DE∩DF＝D，DE，DF⊂平面DEF，所以BC⊥平面DEF.因为EF⊂平面DEF，所以BC⊥EF.又因为△ABC是边长为6的正三角形，BC的中点为F，所以BC⊥AF，即点E在AF上．(2)解：结合(1)得，AF＝33，DF＝BD2-BF2＝4，EF＝DF2-DE2＝2过点E作EH∥BC，交AC于点H