2.1 2.1.1 等式的性质与方程的解集 课件-2026版高中数学人教B版必修第一册

复习任务群一现代文阅读Ⅰ把握共性之“新”打通应考之“脉”第二章等式与不等式2.1等式2.1.1等式的性质与方程的解集学习任务1．能够从具体实例中探索等式的性质并会应用．(逻辑推理)2．理解恒等式的概念，会进行恒等变形．(数学运算)3．会用十字相乘法分解因式，会求方程的解集．(数学运算)在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a>b)(如图①)，将余下的部分剪接拼成一个长方形(如图②)，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证是你已经学习过的哪个等式？必备知识·情境导学探新知知识点1等式的性质性质(1)：等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立．用符号语言和量词表示为：如果a＝b，则对任意c，都有______________．性质(2)：等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立．用符号语言和量词表示为：如果a＝b，则对任意不为零的c，都有__________．a＋c＝b＋cac＝bc提醒等式还具有如下性质：(1)对称性：等式左右两边互换，所得结果仍是等式，即如果a＝b，那么b＝a．(2)传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c(也叫等量代换)．知识点2恒等式1．恒等式的含义一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取________时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等．2．常见的代数恒等式(1)(a＋b)2＝_______________，(a－b)2＝a2－2ab＋b2．任意实数a2＋2ab＋b2(2)a2－b2＝____________________．(3)a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)，a3－b3＝____________________________．(4)(a＋b＋c)2＝__________________________________．(a＋b)(a－b)(a－b)(a2＋ab＋b2)a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca3．十字相乘法(1)给定式子x2＋Cx＋D，如果能找到a和b，使得D＝ab且C＝a＋b，则x2＋Cx＋D＝____________________．为了方便记忆，已知C和D，寻找满足条件的a和b的过程，通常用图来表示：

，其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要______，也正因为如此，这种因式分解的方法称为“十字相乘法”．代数式x2＋Cx＋D能进行因式分解的条件是C2－4D≥0．(x＋a)(x＋b)等于C(2)用“十字相乘法”分解因式：①直接利用公式x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)进行分解；②利用公式acx2＋(ad＋bc)x＋bd＝(ax＋b)(cx＋d)进行分解．思考1．十字相乘法分解因式的关键是什么？[提示]

把二次项和常数项分解，交叉相乘，得到两个因数，再把两个因数相加，看它们的和是不是正好等于一次项系数．知识点3方程的解集1．方程的有关概念方程含有______的等式叫方程方程的解(或根)能使方程左右两边______的未知数的值叫方程的解(或根)方程的解集把一个方程2所有解组成的____称为这个方程的解集解方程求方程的解的过程叫解方程未知数相等集合2．一元一次方程一元一次方程方程两边都是整式，都只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫一元一次方程满足的条件①必须是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的次数都是1表示形式ax＋b＝0(a≠0)或ax＝b(a≠0)思考2．把方程通过适当变换后，求出的未知数的值都是这个方程的解(根)吗？[提示]

把方程通过变换，求出的未知数的值不一定是这个方程的根，也可能是这个方程的增根．

×√××√(6)用因式分解法解方程时部分过程为：(x＋2)(x－3)＝6，所以x＋2＝3或x－3＝2． (

)(7)计算(2a＋5)(2a－5)＝2a2－25． (

)(8)因式分解过程为：x2－3xy－4y2＝(x＋y)·(x－4)． (

)×××2．式子x2＋3x－18分解因式的结果是(

)A．(x－6)(x＋3)

B．(x＋6)(x－3)C．(x－2)(x＋9) D．(x＋2)(x－9)√B

[因为6×(－3)＝－18，6＋(－3)＝3，所以x2＋3x－18＝(x＋6)(x－3)．]3．已知三角形两边长分别为4和7，第三边的长是方程x2－17x＋66＝0的根，则第三边的长为________．6

[由方程x2－17x＋66＝0得，(x－6)(x－11)＝0，解得x＝6或x＝11，当x＝6时，三边长为4，6，7，符合题意；当x＝11时，以4，7，11为三边构不成三角形，不合题意，舍去，则第三边长为6．]6

关键能力·合作探究释疑难√√(2)若多项式x2＋kx－24可以因式分解为(x－3)·(x＋8)，则实数k的值为(

)A．5 B．－5C．11 D．－11(3)计算(x＋3y)2－(3x＋y)2的结果是(

)A．8x2－8y2 B．8y2－8x2C．8(x＋y)2 D．8(x－y)2√√

(3)(法一)(x＋3y)2－(3x＋y)2＝x2＋6xy＋9y2－(9x2＋6xy＋y2)＝x2＋6xy＋9y2－9x2－6xy－y2＝8y2－8x2．(法二)(x＋3y)2－(3x＋y)2＝[(x＋3y)＋(3x＋y)][(x＋3y)－(3x＋y)]＝(x＋3y＋3x＋y)(x＋3y－3x－y)＝(4x＋4y)(－2x＋2y)＝4(x＋y)×2(－x＋y)＝8y2－8x2．]【教材原题·P46例1】例1化简(2x＋1)2－(x－1)2．[解]

(方法一)可以利用两数和的平方公式与两数差的平方公式展开，然后合并同类项，即(2x＋1)2－(x－1)2＝4x2＋4x＋1－(x2－2x＋1)＝3x2＋6x．(方法二)可以将2x＋1和x－1分别看成一个整体，然后使用平方差公式，即(2x＋1)2－(x－1)2＝[(2x＋1)＋(x－1)][(2x＋1)－(x－1)]＝3x(x＋2)＝3x2＋6x．反思领悟

利用恒等式进行因式分解的步骤一提：先看能否提公因式；二套：再看能否套用公式；三检查：再检查因式分解是否彻底；四检验：最后用多项式乘法检验分解是否正确．[跟进训练]1．(1)计算：(x＋1)(x－1)(x2－x＋1)(x2＋x＋1)．(2)已知a＋b＋c＝4，ab＋bc＋ac＝4，求a2＋b2＋c2的值．[解]

(1)(法一)原式＝(x2－1)[(x2＋1)2－x2]＝(x2－1)(x4＋x2＋1)＝x6－1．(法二)原式＝(x＋1)(x2－x＋1)(x－1)(x2＋x＋1)＝(x3＋1)(x3－1)＝x6－1．(2)a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ac)＝8．类型2十字相乘法分解因式【例2】十字相乘法分解因式：(1)x2－x－56；(2)x2－10x＋16；(3)6x2＋11x－7．[解]

(1)因为

，所以原式＝(x＋7)(x－8)．(2)因为

，所以原式＝(x－2)(x－8)．(3)因为

，所以原式＝(2x－1)(3x＋7)．反思领悟

十字相乘法分解因式的方法(1)对于二次项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)进行因式分解．(2)尝试把某些二次三项式如ax2＋bx＋c分解因式，先把a分解成a＝a1a2，把c分解成c＝c1c2，并且排列如下：这里按斜线交叉相乘的积的和就是a1c2＋a2c1，如果它正好等于二次三项式ax2＋bx＋c中一次项的系数b，那么ax2＋bx＋c就可以分解成(a1x＋c1)(a2x＋c2)，其中a1，c1是图中上面一行的两个数，a2，c2是下面一行的两个数．[跟进训练]2．将y2－5y＋4因式分解的结果是(

)A．(y＋1)(y＋4) B．(y＋1)(y－4)C．(y－1)(y＋4) D．(y－1)(y－4)√D

[因式分解，可得y2－5y＋4＝(y－1)(y－4)，故选D．]类型3求方程的解集【例3】

【链接教材P48例2、例3】求下列方程的解集．(1)x(x－2)＋x－2＝0；(2)关于x的方程ax2－(a＋1)x＋1＝0．[解]

(1)把方程左边因式分解，得(x－2)(x＋1)＝0，从而，得x－2＝0或x＋1＝0，所以x1＝2，x2＝－1．所以方程的解集为{－1，2}．

【教材原题·P48例2、例3】例2求方程x2－5x＋6＝0的解集．[解]

因为x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)，所以原方程可以化为(x－2)(x－3)＝0，从而可知x－2＝0或x－3＝0，即x＝2或x＝3，因此所求解集为{2，3}．

发现规律

用“十字相乘法”求一元二次方程的解集的一般步骤(1)移项，将一元二次方程的____化为0．(2)化积，利用提取公因式法、公式法等将一元二次方程的左边分解为两个一次因式的积．(3)转化，两个因式分别为_，转化为两个一元一次方程．(4)求解，解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．(5)将其解写成____的形式．右边0集合

√

学习效果·课堂评估夯基础√D

[C中，若x＝y，则x－5＝y－5．等式的性质中两边同除以一个不为0的数，等式成立，应找不为0的式子，A中x可能为0，B中a＋1可能为0，而D中a2＋1>0，故D正确．]2．(多选)下列等式中，是恒等式的是(

)A．(x－2)(x＋2)＝x2－4B．(a＋b)c＝ac＋bcC．(－3＋m)(3＋m)＝m2－9D．16x2－9＝24x√√√ABC

[A中，(x－2)(x＋2)＝x2－4，使用平方差公式化简，是恒等式；B中，(a＋b)c＝ac＋bc是恒等式；C中，(－3＋m)(3＋m)＝(m－3)(m＋3)＝m2－9，平方差公式化简，是恒等式；D中，16x2－9＝24x是方程，不是恒等式．]3．方程2x－1＝0的解集是________．

4．(教材P48练习AT2改编)因式分解：(a－b)2＋11(a－b)＋28＝_________________．(a－b＋4)(a－b＋7)

[把a－b看作一个整体．因为

，所以原式＝(a－b＋4)(a－b＋7)．](a－b＋4)(a－b＋7)回顾本节知识，自主完成以下问题：1．用因式分解法解一元二次方程的步骤是怎样的？[提示]

(1)将方程右边化为0．(2)将方程的左边分解为两个一次因式的积．(3)令每个因式等于0，得两个一元一次方程，再求解．提醒：①用因式分解法解一元二次方程，经常会遇到方程两边含有相同因式的情况，此时不能将其约去，而应当移项将方程右边化为零，再提取公因式，若约去则会使方程失根．②对于较复杂的一元二次方程，应灵活根据方程的特点分解因式．2．因式分解常用的方法有哪些？[提示]

提取公因式法、公式法、分组法、十字相乘法．章末综合测评(一)动量守恒定律题号135246879101112131415一、选择题1．如图，天平上的物体a，b，c使天平处于平衡状态(标有相同字母的物体质量相同)，则物体a与物体c的质量关系是(

)课时分层作业(十)等式的性质与方程的解集A．2a＝3c

B．4a＝9cC．a＝2c D．a＝c题号135246879101112131415B

[由题图可知，2a＝3b，2b＝3c，根据等式的性质得4a＝6b，6b＝9c，所以4a＝6b＝9c，即4a＝9c．]√题号21345687910111213√1415

AB

[A、B属于恒等式；只有当x＝506时，等式4x＝2024才成立；只有当x＝1时，等式(x－1)2＝0才成立，所以C、D不是恒等式．故选AB．]√3．将4x2＋1分别加上下列各项，其中不能化成(a＋b)2形式的是(

)A．4x

B．－4x

C．4x4

D．16x√题号213456879101112131415D

[对于A，4x2＋1＋4x＝(2x＋1)2，故此选项不符合题意；对于B，4x2＋1－4x＝(2x－1)2，故此选项不符合题意；对于C，4x4＋4x2＋1＝(2x2＋1)2，故此选项不符合题意；对于D，4x2＋1＋16x，不能运用完全平方公式分解因式，故此选项符合题意．故选D．]√4．代数式5x2－4xy＋y2＋6x＋25的最小值为(

)A．－16

B．16

C．－8 D．8题号213456879101112131415B

[5x2－4xy＋y2＋6x＋25＝4x2－4xy＋y2＋x2＋6x＋9＋16＝(2x－y)2＋(x＋3)2＋16，而(2x－y)2＋(x＋3)2≥0，所以代数式5x2－4xy＋y2＋6x＋25的最小值是16．故选B．]√

题号213456879101112131415

二、填空题6．当x＝－7时，代数式(2x＋5)(x＋1)－(x－3)(x＋1)的值为________．题号213456879101112131415－6

[因为(2x＋5)(x＋1)－(x－3)(x＋1)＝2x2＋7x＋5－(x2－2x－3)＝x2＋9x＋8，又因为x＝－7，所以原式＝(－7)2＋9×(－7)＋8＝－6．]－67．若2x2＋3x＋5＝a(2x＋1)(x＋1)＋b恒成立，则a＋b的值为________．题号213456879101112131415

5

8．设集合A＝{x|x2－8x＋15＝0}，集合B＝{x|ax－1＝0}，若B⊆A，则实数a取值集合的真子集的个数为________．题号213456879101112131415

7三、解答题9．分解因式：(1)8x3＋4x2－2x－1；(2)a3＋a2c＋b2c－abc＋b3．题号213456879101112131415[解]

(1)原式＝8x3－1＋2x(2x－1)＝(2x－1)·(4x2＋2x＋1)＋2x(2x－1)＝(2x－1)(4x2＋4x＋1)＝(2x－1)(2x＋1)2．(2)原式＝a3＋b3＋c(a2－ab＋b2)＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＋c(a2－ab＋b2)＝(a2－ab＋b2)(a＋b＋c)．题号213456879101112131415√10．小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是2y－1＝y－●，怎么办呢？小明想了想便翻看了书后的答案，此方程的解是y＝－3，很快补好了这个常数，这个常数应是(

)A．1 B．2

C．3 D．4题号213456879101112131415D

[设所缺的部分为x，则2y－1＝y－x，把y＝－3代入，求得x＝4．故选D．]题号213456879101112131415√11．(多选)已知集合M＝{x|12x2＋11x＋2＝0}，N＝{x|mx＝2}，且N

M，则实数m的值可以是(

)A．0 B．－3C．－8 D．3题号213456879101112131415√√

题号21345687910111213141512．我国古代数学著作《田亩比类乘除捷法》中有这样一个问题：“给银八百六十四两，只云所得银之两数比总分人数，其银多十二两．问：总是几人，每人各得几两？”其意思是：现一共有银子八百六十四两，只知道每个人分到的银子数目的两倍比总人数多十二，则一共有________人，每个人分得________两银子．题号2134568791011121314153624

题号213456879101112131415

题号2134568791011121314153或－23或－2

[由题意得(x－1)(x＋1)－(x－1)(1－x)＝12．整理得x2－x－6＝0，因式分解得(x－3)·(x＋2)＝0，所以x－3＝0或x＋2＝0，解得x＝3或x＝－2．]题号21345687910111213141514．已知关于x的一元二次方程x2－4x＋2k＝0．(1)若方程有实数根，求实数k的取值范围；(2)如果k是满足(1)的最大整数，且方程x2－4x＋2k＝0的根是一元二次方程x2－2mx＋3m－1＝0的一个根，求m的值及这个方程的另一个根．题号21