吉林省长春市外国语学校2026届高二上数学期末质量检测试题含解析

吉林省长春市外国语学校2026届高二上数学期末质量检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若，则（）A.1 B.0C. D.2．已知是抛物线的焦点，为抛物线上的动点，且的坐标为，则的最小值是A. B.C. D.3．已知双曲线的右焦点为F，关于原点对称的两点A、B分别在双曲线的左、右两支上，，且点C在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A.2 B.C. D.4．“”是“”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5．古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将之称为阿波罗尼斯圆.现有椭圆为椭圆长轴的端点，为椭圆短轴的端点，，分别为椭圆的左右焦点，动点满足面积的最大值为面积的最小值为，则椭圆的离心率为（）A. B.C. D.6．椭圆以坐标轴为对称轴，经过点，且长轴长是短轴长的倍，则椭圆的标准方程为（）A. B.C.或 D.或7．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.8．将点的极坐标化成直角坐标是(

)A. B.C. D.9．数列满足，，则（）A. B.C. D.210．袋子中有四个小球，分别写有“文、明、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“文、明、中、国”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（）A. B.C. D.11．如图，平面四边形中，，，，为等边三角形，现将沿翻折，使点移动至点，且，则三棱锥的外接球的表面积为（）A. B.C. D.12．若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．经过、两点的直线斜率为______.14．抛物线C：的焦点F，其准线过（-3，3），过焦点F倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，则p=___________；弦AB的长为___________.15．某校学生在研究折纸实验中发现，当对折后纸张达到一定的厚度时，便不能继续对折了．在理想情况下，对折次数与纸的长边和厚度有关系：．现有一张长边为30cm，厚度为0.05cm的矩形纸，根据以上信息，当对折完4次时，的最小值为________；该矩形纸最多能对折________次．（参考数值：，）16．在正方体中，二面角的大小为__________（用反三角表示）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）中国男子篮球职业联赛（ChineseBasketballAssociation），简称中职篮（CBA），由中国国家体育总局篮球运动管理中心举办的男子职业篮球赛事，旨在全面提高中国篮球运动水平，其中诞生了姚明、王治郅、易建联、朱芳雨等球星．该比赛分为常规赛和季后赛．由于新冠疫情关系，某年联赛采用赛会制：所有球队集中在同一个地方比赛，分两个阶段进行，每个阶段采用循环赛，分主场比赛和客场比赛，积分排名前8球队进入季后赛．下表是A队在常规赛60场比赛中的比赛结果记录表．阶段比赛场数主场场数获胜场数主场获胜场数第一阶段30152010第二阶段30152515（1）根据表中数据，完成下面列联表：A队胜A队负合计主场5客场20合计60（2）根据（1）中列联表，判断是否有90%的把握认为比赛的“主客场”与“胜负”之间有关？附：．0.1000.0500.025k2.7063.8415.02418．（12分）排一张有6个歌唱节目和5个舞蹈节目的演出节目单.（1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？（2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？19．（12分）已知等差数列和正项等比数列满足（1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和20．（12分）在数列中，，，且对任意的，都有.（1）数列的通项公式；（2）设数列，求数列的前项和.21．（12分）椭圆的离心率为，设为坐标原点，为椭圆的左顶点，动直线过线段的中点，且与椭圆相交于、两点．已知当直线的倾斜角为时，（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在定直线，使得直线、分别与相交于、两点，且点总在以线段为直径的圆上，若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由22．（10分）已知椭圆上顶点与椭圆的左，右顶点连线的斜率之积为（1）求椭圆C的离心率；（2）若直线与椭圆C相交于A，B两点，，求椭圆C的标准方程

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】由结合二项式定理可得出，利用二项式系数和公式可求得的值.【详解】，当且时，，因此，.故选：C.【点睛】关键点睛：本题考查二项式系数和的计算，解题的关键是熟悉二项式系数和公式，考查学生的转化能力与计算能力，属于基础题.2、C【解析】由题意可得，抛物线的焦点，准线方程为过点作垂直于准线，为垂足，则由抛物线的定义可得，则，为锐角∴当最小时，最小，则当和抛物线相切时，最小设切点，由的导数为，则的斜率为.∴，则.∴，∴故选C点睛：本题主要考查抛物线的定义和几何性质，与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到焦点的距离与点到准线的距离的转化，这样可利用三角形相似，直角三角形中的锐角三角函数或是平行线段比例关系可求得距离弦长以及相关的最值等问题.3、D【解析】设，由，得到四边形是矩形，在中，利用勾股定理求得，再在中，利用勾股定理求解.【详解】如图所示：设，则，，，因为，所以，则四边形是矩形，在中，，即，解得，在中，，即，解得，故选：D4、B【解析】因但5、A【解析】由题可得动点M的轨迹方程，可得，，即求.【详解】设，，由，可得=2，化简得.∵△MAB面积的最大值为面积的最小值为，∴，，∴，即，∴故选：A6、C【解析】分情况讨论焦点所在位置及椭圆方程.【详解】当椭圆的焦点在轴上时，由题意过点，故，，椭圆方程为，当椭圆焦点在轴上时，，，椭圆方程为，故选：C.7、A【解析】由题意可知，对任意的恒成立，可得出对任意的恒成立，利用基本不等式可求得实数的取值范围.【详解】因为，则，由题意可知，对任意的恒成立，所以，对任意的恒成立，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，所以，.故选：A.8、A【解析】本题考查极坐标与直角坐标互化由点M的极坐标，知极坐标与直角坐标的关系为，所以的直角坐标为即故正确答案为A9、C【解析】根据已知分析数列周期性，可得答案【详解】解：∵数列满足，，∴，，，，故数列以4为周期呈现周期性变化，由，故，故选C【点睛】本题考查的知识点是数列的递推公式，数列的周期性，难度中档10、A【解析】利用古典概型的概率公式求解.【详解】因为随机模拟产生了以下18组随机数：，其中恰好第三次就停止包含的基本事件有：023,123,132共3个，所以由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为，故选：A11、A【解析】将三棱锥补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同，由此易知外接球球心应在棱柱上下底面三角形的外心连线上，在中，计算半径即可.【详解】由，，可知平面将三棱锥补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同，由此易知外接球球心应在棱柱上下底面三角形的外心连线上，记的外心为，由为等边三角形，可得又，故在中，此即为外接球半径，从而外接球表面积为故选：A【点睛】本题考查了三棱锥外接球的表面积，考查了学生空间想象，逻辑推理，综合分析，数学运算的能力，属中档题.12、B【解析】根据斜率的取值范围，结合来求得倾斜角的取值范围.【详解】设倾斜角为，因为，且，所以.故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】利用斜率公式可求得结果.【详解】由斜率公式可知，直线的斜率为.故答案为：.14、①.6；②.48.【解析】先通过准线求出p，写出抛物线方程和直线方程，联立得出，进而求出弦AB的长.【详解】由知准线方程为，又准线过（-3，3），可得，；焦点坐标为，故直线方程为，和抛物线方程联立，，得，故，又.故答案为：6；48.15、①.64②.6【解析】利用即可求解，利用和换底公式进行求解.【详解】令，则，则，即，即当对折完4次时，最小值为；由题意，得，，则，所以该矩形纸最多能对折6次.故答案为：64，6.16、【解析】作出二面角的平面角，并计算出二面角的大小.【详解】设，画出图像如下图所示，由于，所以平面，所以，所以是二面角的平面角.所以.所以二面角的大小为.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）填表见解析（2）没有【解析】（1）由A队在常规赛60场比赛中的比赛结果记录表可得答案；（2）根据（1）中的列联表，代入可得答案.【小问1详解】（1）根据表格信息得到列联表：A队胜A队负合计主场25530客场201030合计451560【小问2详解】所以没有90%的把握认为比赛的“主客场”与“胜负”之间有关.18、（1）（2）【解析】(1)用插空法，现排唱歌，利用产生的空排跳舞；（2）先排唱歌再排舞蹈.【小问1详解】解：先排歌唱节目有种，歌唱节目之间以及两端共有7个空位，从中选5个放入舞蹈节目，共有种方法，所以任何两个舞蹈节目不相邻的排法有种方法.【小问2详解】解：先排舞蹈节目有种方法，在舞蹈节目之间以及两端共有6个空位，恰好供6个歌唱节目放入.所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有种方法.19、（1）；（2）【解析】（1）根据条件列公差与公比方程组，解得结果，代入等差数列通项公式即可；（2）根据等比数列求和公式直接求解.【详解】（1）设等差数列公差为，正项等比数列公比为，因为，所以因此；（2）数列的前n项和【点睛】本题考查等差数列以及等比数列通项公式、等比数列求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题.20、（1）；（2）.【解析】（1）由递推式可得，根据等比数列的定义写出通项公式，再由累加法求的通项公式；（2）由（1）可得，再应用裂项相消法求前项和【小问1详解】由可得：，又，，∴，则数列是首项为2，公比为2的等比数列，∴.∴.【小问2详解】∵，∴∴.21、（1）（2）存在，且直线的方程为或【解析】（1）分析可知，，直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式可求得的值，即可得出椭圆的标准方程；（2）设点、，设直线的方程为，将该直线方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出点、，由已知得出，求出的值，即可得出结论.【小问1详解】解：因为，则，，所以，椭圆的方程为，即，易知点，则点，当直线的倾斜角为时，直线的方程为，设点、，联立，可得，，由韦达定理可得，，所以，，解得，则，，因此，椭圆的标准方程为.【小问2详解】解：易知点，若直线与轴重合，则、为椭圆长轴的两个端点，不合乎题意.设直线的方程为，设点、，联立，可得，，由韦达定理可得，，直线的斜率为，直线的方程为，故点，同理可得点，，，由题意可得，解得或.因此，存在满足题设条件的直线，且直线的方程为或，点总在以线段为直径的圆上.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为、；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（