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几何解释:第1页/共175页证第2页/共175页第3页/共175页注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.例如,又例如,第4页/共175页例1证由介值定理即为方程的小于1的正实根.矛盾,第5页/共175页二、拉格朗日(Lagrange)中值定理第6页/共175页几何解释:证分析:弦AB方程为第7页/共175页作辅助函数拉格朗日中值公式注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.第8页/共175页拉格朗日中值定理又称有限增量定理.拉格朗日中值公式又称有限增量公式.微分中值定理推论第9页/共175页例2证第10页/共175页例3证由上式得第11页/共175页三、柯西(Cauchy)中值定理第12页/共175页几何解释:证作辅助函数第13页/共175页第14页/共175页例4证分析:结论可变形为第15页/共175页四、小结Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.第16页/共175页思考题

试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可.第17页/共175页思考题解答不满足在闭区间上连续的条件；且不满足在开区间内可微的条件；以上两个都可说明问题.第18页/共175页练习题第19页/共175页第20页/共175页第21页/共175页练习题答案第22页/共175页定义例如,第23页/共175页定理定义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.第24页/共175页证定义辅助函数则有第25页/共175页例1解例2解第26页/共175页例3解例4解第27页/共175页例5解第28页/共175页注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好.例6解第29页/共175页例7解关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型.步骤:第30页/共175页例8解步骤:第31页/共175页步骤:例9解第32页/共175页例10解例11解第33页/共175页例12解极限不存在洛必达法则失效。注意：洛必达法则的使用条件．第34页/共175页三、小结洛必达法则第35页/共175页思考题第36页/共175页思考题解答不一定．例显然极限不存在．但极限存在．第37页/共175页练习题第38页/共175页第39页/共175页第40页/共175页练习题答案第41页/共175页一、单调性的判别法定理第42页/共175页证应用拉氏定理,得第43页/共175页例1解注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．第44页/共175页二、单调区间求法问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调．定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点．方法:第45页/共175页例2解单调区间为第46页/共175页例3解单调区间为第47页/共175页例4证注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.例如,第48页/共175页三、小结单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的重要应用.定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立.应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.第49页/共175页思考题第50页/共175页思考题解答不能断定.例但第51页/共175页当时，当时，注意可以任意大，故在点的任何邻域内，都不单调递增．第52页/共175页练习题第53页/共175页第54页/共175页练习题答案第55页/共175页第56页/共175页一、函数极值的定义第57页/共175页定义函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.第58页/共175页二、函数极值的求法定理1(必要条件)定义注意:例如,第59页/共175页定理2(第一充分条件)(是极值点情形)第60页/共175页求极值的步骤:(不是极值点情形)第61页/共175页例1解列表讨论极大值极小值第62页/共175页图形如下第63页/共175页定理3(第二充分条件)证第64页/共175页例2解图形如下第65页/共175页注意:第66页/共175页例3解注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.第67页/共175页三、小结极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为临界点.函数的极值必在临界点取得.判别法第一充分条件;第二充分条件;(注意使用条件)第68页/共175页思考题下命题正确吗？第69页/共175页思考题解答不正确．例第70页/共175页在–1和1之间振荡故命题不成立．第71页/共175页练习题第72页/共175页第73页/共175页练习题答案第74页/共175页一、最值的求法第75页/共175页步骤:1.求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)第76页/共175页二、应用举例例1解计算第77页/共175页比较得第78页/共175页点击图片任意处播放\暂停例2敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸B处向正东追击，速度为2千米/分钟．问我军摩托车何时射击最好（相距最近射击最好）？第79页/共175页解(1)建立敌我相距函数关系敌我相距函数得唯一驻点第80页/共175页实际问题求最值应注意:(1)建立目标函数;(2)求最值;第81页/共175页例3某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去．当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出的房子每月需花费20元的整修维护费．试问房租定为多少可获得最大收入？解设房租为每月元，租出去的房子有套，每月总收入为第82页/共175页（唯一驻点）故每月每套租金为350元时收入最高。最大收入为第83页/共175页点击图片任意处播放\暂停例4第84页/共175页解如图,第85页/共175页解得第86页/共175页三、小结注意最值与极值的区别.最值是整体概念而极值是局部概念.实际问题求最值的步骤.第87页/共175页思考题第88页/共175页思考题解答结论不成立.因为最值点不一定是内点.例在有最小值，但第89页/共175页练习题第90页/共175页第91页/共175页第92页/共175页练习题答案第93页/共175页一、曲线凹凸的定义问题:如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位于所张弦的上方图形上任意弧段位于所张弦的下方第94页/共175页定义第95页/共175页二、曲线凹凸的判定定理1第96页/共175页例1解注意到,第97页/共175页三、曲线的拐点及其求法1.定义注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.2.拐点的求法证第98页/共175页方法1:第99页/共175页例2解凹的凸的凹的拐点拐点第100页/共175页第101页/共175页方法2:例3解第102页/共175页注意:第103页/共175页例4解第104页/共175页四、小结曲线的弯曲方向——凹凸性;改变弯曲方向的点——拐点;凹凸性的判定.拐点的求法1,2.第105页/共175页思考题第106页/共175页思考题解答例第107页/共175页练习题第108页/共175页第109页/共175页练习题答案第110页/共175页第111页/共175页一、渐近线定义:1.铅直渐近线第112页/共175页例如有铅直渐近线两条:第113页/共175页2.水平渐近线例如有水平渐近线两条:第114页/共175页3.斜渐近线斜渐近线求法:第115页/共175页注意:例1解第116页/共175页第117页/共175页第118页/共175页二、图形描绘的步骤利用函数特性描绘函数图形.第一步第二步第119页/共175页第三步第四步

确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势;第五步第120页/共175页三、作图举例例2解非奇非偶函数,且无对称性.第121页/共175页列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:不存在拐点极值点间断点第122页/共175页作图第123页/共175页第124页/共175页例3解偶函数,图形关于y轴对称.第125页/共175页拐点极大值列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:拐点第126页/共175页第127页/共175页例4解无奇偶性及周期性.列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:第128页/共175页拐点极大值极小值第129页/共175页第130页/共175页四、小结函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导数应用的综合考察.最大值最小值极大值极小值拐点凹的凸的单增单减第131页/共175页思考题第132页/共175页思考题解答第133页/共175页练习题第134页/共175页练习题答案第三章习题课第135页/共175页洛必达法则Rolle定理Lagrange中值定理常用的泰勒公式Cauchy中值定理Taylor中值定理单调性,极值与最值,凹凸性,拐点,函数图形的描绘;曲率;求根方法.导数的应用一、主要内容第136页/共175页1、罗尔中值定理第137页/共175页2、拉格朗日中值定理有限增量公式.第138页/共175页3、柯西中值定理推论第139页/共175页4、洛必达法则定义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型.注意：洛必达法则的使用条件.第140页/共175页5、导数的应用定理(1)函数单调性的判定法第141页/共175页定义(2)函数的极值及其求法第142页/共175页定理(必要条件)定义函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为临界点.第143页/共175页定理(第一充分条件)定理(第二充分条件)第144页/共175页求极值的步骤:第145页/共175页步骤:1.求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)(3)最大值、最小值问题第146页/共175页实际问题求最值应注意:1)建立目标函数;2)求最值;(4)曲