2025年高三数学数学建模期末试卷

2025年高三数学数学建模期末试卷2025年高三数学数学建模期末试卷

姓名：______班级：______学号：______得分：______

（考试时间：90分钟，满分：100分）

一、选择题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）

1.已知集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x^2-ax+1=0}，若B⊆A，则实数a的取值集合为（）

A.{1,2}B.{1}C.{2}D.{0,1,2}

2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为（）

A.1B.2C.3D.4

3.在等差数列{a_n}中，a_1=2，a_5=10，则a_10的值为（）

A.16B.18C.20D.22

4.已知向量a=(1,2)，b=(3,-1)，则向量a·b的值为（）

A.1B.5C.7D.8

5.若函数f(x)=sin(x+φ)在x=π/4处取得最大值，则φ的值为（）

A.π/4B.3π/4C.π/2D.π

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。把答案填在题中横线上）

6.不等式|x|+|x-1|>2的解集为________。

7.已知点A(1,2)和B(3,0)，则线段AB的垂直平分线的方程为________。

8.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边a=√3，则边b的值为________。

9.已知抛物线y^2=2px的焦点到准线的距离为4，则p的值为________。

10.若某校有1000名学生，其中男生600名，女生400名，现要抽取一个样本，采用分层抽样的方法抽取50名学生，则应抽取的男生人数为________。

三、解答题（本大题共4小题，共35分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

11.（本小题满分8分）已知函数f(x)=x^3-3x^2+2。

（1）求函数f(x)的极值点；

（2）判断函数f(x)在区间[-1,3]上的单调性。

12.（本小题满分9分）在△ABC中，已知角A=60°，角B=45°，边c=√2。

（1）求边a的长度；

（2）求△ABC的面积。

13.（本小题满分9分）已知直线l1:ax+y-1=0和直线l2:x-ay+2=0。

（1）若l1⊥l2，求a的值；

（2）若l1∥l2，求a的值。

14.（本小题满分9分）已知圆C的方程为x^2+y^2-4x+6y-3=0。

（1）求圆C的圆心和半径；

（2）判断点A(1,2)是否在圆C上。

四、应用题（本大题共1小题，共15分）

15.某工厂生产一种产品，每件产品的成本为10元，售价为20元。已知该工厂每天生产x件产品时，每天还需支付固定成本100元。

（1）写出该工厂每天的收入函数R(x)和成本函数C(x)；

（2）求该工厂每天利润的最大值。

五、证明题（本大题共1小题，共15分）

16.已知函数f(x)=e^x-ax，其中a为实数。

（1）求函数f(x)的导数f'(x)；

（2）证明：当a>0时，函数f(x)在x=0处取得极小值；

（3）若函数f(x)在x=1处取得极值，求a的值。

六、选择题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）

6.已知函数f(x)=log_a(x+1)在定义域内单调递增，则实数a的取值范围是（）

A.(0,1)B.(1,+\infty)C.(0,1)\cup(1,+\infty)D.(0,+\infty)

7.在等比数列{a_n}中，a_2=6，a_4=54，则a_6的值为（）

A.486B.4860C.2916D.27936

8.已知圆C的方程为(x-2)^2+(y-3)^2=1，则圆C上到直线x-y=0距离最远的点的坐标为（）

A.(2,3)B.(3,2)C.(1,4)D.(4,1)

9.已知向量a=(cosθ,sinθ)，向量b=(1,0)，则|a-b|的最大值为（）

A.1B.√2C.√3D.2

10.已知事件A和事件B相互独立，P(A)=1/3，P(B)=1/4，则P(A∪B)的值为（）

七、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。把答案填在题中横线上）

11.已知直线l1:y=kx+1和直线l2:y=-x+1，若l1与l2相交于点P，且∠APX=45°（其中X为坐标原点），则k的值为________。

12.已知函数f(x)=x^2+px+q，若f(x)在x=-1处取得极值，且f(-1)=-3，则p+q的值为________。

13.在△ABC中，若角A=30°，角B=60°，边a=2，则△ABC的周长为________。

14.已知样本数据：3,5,7,9,11，则样本方差为________。

15.若某校高三共有6个班级，每个班级有50名学生，现要抽取一个样本，采用系统抽样的方法抽取100名学生，则每个班级应抽取的学生人数为________。

八、解答题（本大题共4小题，共35分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16.（本小题满分8分）已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1。

（1）求函数f(x)的极值点；

（2）判断函数f(x)在区间[-1,3]上的单调性。

17.（本小题满分9分）在△ABC中，已知角A=60°，角B=45°，边c=√6。

（1）求边a的长度；

（2）求△ABC的面积。

18.（本小题满分9分）已知直线l1:ax+2y-1=0和直线l2:2x+ay+2=0。

（1）若l1⊥l2，求a的值；

（2）若l1∥l2，求a的值。

19.（本小题满分9分）已知圆C的方程为x^2+y^2-6x+4y-3=0。

（1）求圆C的圆心和半径；

（2）判断点A(2,1)是否在圆C上。

九、应用题（本大题共1小题，共15分）

20.某商场销售一种商品，每件商品的成本为8元，售价为12元。已知该商场每天销售x件商品时，每天还需支付固定成本50元。

（1）写出该商场每天的收入函数R(x)和成本函数C(x)；

（2）求该商场每天利润的最大值。

十、证明题（本大题共1小题，共15分）

21.已知函数f(x)=x^3-3ax^2+2a^2x，其中a为实数。

（1）求函数f(x)的导数f'(x)；

（2）证明：当a>0时，函数f(x)在x=a处取得极大值；

（3）若函数f(x)在x=1处取得极值，求a的值。

一、选择题答案

1.C

2.C

3.A

4.B

5.B

6.B

7.y=x-1

8.3√2

9.2

10.30

二、填空题答案

11.0

12.-4

13.4+2√3

14.10

15.16

三、解答题答案

11.（1）极值点为x=1（极大值），x=0（极小值）

（2）在[-1,0]上单调递增，在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增

12.（1）a=2√3

（2）面积=√3

13.（1）a=2

（2）a=-2

14.（1）圆心（2,-3），半径√10

（2）点A不在圆C上

15.（1）R(x)=20x，C(x)=10x+100

（2）当x=10时，利润最大，最大利润为100元

四、应用题答案

（1）R(x)=15x，C(x)=10x+100

（2）当x=20时，利润最大，最大利润为300元

五、证明题答案

16.（1）f'(x)=e^x-a

（2）证明略

（3）a=e

六、选择题答案

6.B

7.A

8.C

9.C

10.5/12

七、填空题答案

11.1

12.-2

13.6+4√3

14.16

15.16

八、解答题答案

16.（1）极值点为x=1（极大值），x=0（极小值）

（2）在[-1,0]上单调递增，在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增

17.（1）a=2√6

（2）面积=2√3

18.（1）a=-4

（2）a=4

19.（1）圆心（3,-2），半径√10

（2）点A不在圆C上

20.（1）R(x)=12x，C(x)=8x+50

（2）当x=25时，利润最大，最大利润为150元

九、应用题答案

（1）R(x)=12x，C(x)=8x+50

（2）当x=25时，利润最大，最大利润为150元

十、证明题答案

21.（1）f'(x)=3x^2-6ax+2a^2

（2）证明略

（3）a=1/2

知识点分类和总结

1.函数与导数

-函数的单调性与极值

-函数的导数及其应用

-导数在几何中的应用

2.解析几何

-直线与圆的方程

-向量与向量的运算

-圆与直线的位置关系

3.数列

-等差数列与等比数列

-数列的通项公式与前n项和

4.概率与统计

-事件的独立性

-样本与样本统计量

-系统抽样与分层抽样

各题型所考察学生的知识点详解及示例

一、选择题

-考察学生对函数性质的理解，如单调性、极值等

-示例：函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1的极值点

二、填空题

-考察学生对直线与圆的方程的掌握

-示例：求直线l1:y=kx+1和直线l2:y=-x+1的交点

三、解答题

-考察学生对函数与导数的综合应用能力

-示例：求函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1的极值点

四、应用题

-考察学生将数学知识应用于实际问题的能力

-示例：某商场销售一种商品，每件商品的成本为8元，售价为12元，求每天利润的最大值

五、证明题

-考察学生的逻辑推理和证明能力

-示例：证明函数f(x)=x^3-3ax^2+2a^2x在x=a处取得极大值

六、选择题

-考察学生对数列性质的理解，如等差数列与等比数列

-示例：等比数列{a_n}中，a_2=6，a_4=54，求a_6的值