10.3.1 专题3：《电场线、等势面与带电粒子运动轨迹问题》-等分法的应用教学设计

10.3.1专题3：《电场线、等势面与带电粒子运动轨迹问题》——等分法的应用教学设计一、核心原理梳理（一）带电粒子在电场中运动轨迹的分析逻辑速度方向判断：带电粒子运动轨迹上某点的切线方向，即为粒子在该点的速度方向。静电力与电场强度方向判断：仅受静电力作用时，静电力方向指向轨迹曲线的凹侧；结合粒子电性，可进一步推导该点电场强度方向（正电荷受力方向与场强方向一致，负电荷相反）。静电力做功与电势能变化判断：静电力与速度方向成锐角时，静电力做正功，电势能减小；成钝角时，静电力做负功，电势能增加。动能变化判断：依据动能定理（合外力做功等于动能变化量）或能量守恒定律（只有电场力做功时，动能与电势能相互转化，总和守恒）分析。综合问题分析流程：（1）根据轨迹偏转方向，结合电场线与等势面的垂直关系（已知等势面时需先绘制电场线），确定粒子受力方向，进而判断粒子带电性质与电场强度方向；（2）通过静电力与速度方向的夹角关系，推导动能、电势能的变化规律。（二）“等分法”核心原理与结论在匀强电场中，电势沿任意方向均匀降落，即同一直线上等间距两点的电势差相等。若将两点间距离等分为n段，则每段两端点的电势差为原电势差的1/n，此为“等分法”的核心逻辑。由此可推导两大关键结论：结论1：匀强电场中，线段AB的中点C的电势满足φₙ=(φₐ+φᵦ)/2（如图甲所示）；结论2：匀强电场中，若两线段AB∥CD且AB=CD，则电势差Uₐᵦ=U_cd（如图乙所示）。二、题型精讲精练题型1电场线、等势面与带电粒子运动轨迹的综合分析例题1如图所示，虚线1、2、3、4、5为等量异种点电荷周围电场中的五个等差等势面，实线是电子的运动轨迹。下列说法正确的是（）....g](2a....3b…dC45)A．等势面5的电势最高B．电子一定是由a点向e点运动C．电子在b点的电势能小于在c点的电势能D．电子在b点和d点受到的静电力相同【答案】C【解答】解：AD.由等势面与电场线垂直、电子所受静电力指向轨迹凹侧、电子受力方向与场强方向相反，可绘制过c点的电场线（如下图所示）。沿电场线方向电势逐渐降低，故等势面5的电势最低；电子在b点所受静电力垂直等势面4斜向左上方，在d点垂直等势面4斜向右上方，两力方向不同，大小相等。因此AD错误；...mg](2:da...….3b十45E)B.电子的运动方向无法仅凭轨迹唯一确定，a点向e点运动，也e点向a点运动，故B错误；C.由电场线分布可知，b点电势高于c点电势，电子带负电，根据电势能公式Eₚ=qφ（q为电子电荷量，负值），电势越高，电势能越小，故电子在b点的电势能小于在c点的电势能，C正确。故选：C。例题2如图所示，实线为两个固定的等量正点电荷电场中的等势面，虚线abc为一带电粒子仅在静电力作用下的运动轨迹，其中b点是两点电荷连线的中点。下列说法正确的是（）A．由a点运动到b点，电场力对该粒子做负功B．b点的电场强度为零，该粒子在b点的电势能为零C．该粒子在b点的电势能小于在c点的电势能D．a、b、c三点的电场强度大小Eₐ＞Eᵦ＞E_c【答案】C【解答】解：A.根据轨迹偏转方向，粒子所受电场力向左下方，可知粒子带负电。从a到b过程中，电场力与速度方向夹角小于90°，电场力做正功，故A错误；B.等量正点电荷连线中点b的场强为零，但电势不为零（取无穷远为零电势时，b点电势为正值），由Eₚ=qφ可知，粒子在b点的电势能不为零，故B错误；C.两等量正电荷中垂线上，b点电势最高，向两侧逐渐降低，故b点电势高于c点电势。粒子带负电，由Eₚ=qφ可知，Eₚᵦ＜Eₚc，即b点电势能小于c点电势能，C正确；D.b点场强为零，是三点中场强最小的点，故Eᵦ最小，D错误。故选：C。例题3金属圆盘和金属棒分别接电源的正负极，将圆盘置于污泥槽底部，接通电源可将污泥絮体收集到圆盘上。圆盘与棒之间的电场分布如图实线所示，虚线为其中一个等势面，某一污泥絮体（视为质点）仅受电场力从A到B的运动轨迹如图所示，B点为轨迹、电场线和等势面的共同交点。下列说法错误的是（）A．污泥絮体带正电B．A处电势低于B处电势C．污泥絮体的速度先减小后增大D．污泥絮体的电势能先增大后减小【答案】A【解答】解：A.曲线运动中合力指向轨迹凹侧，由图可知污泥絮体所受电场力方向大体右下方，与电场线方向相反，故污泥絮体带负电，A错误；B.同一等势线上电势相等，设图中与B点共面的等势线上某点为C，则φ_C=φ_B。沿电场线方向电势降低，A点电势小于C点电势，故A处电势低于B处电势，B正确；CD.污泥絮体从A到B的过程中，速度方向与电场力方向的夹角由钝角变为锐角，电场力先做负功后做正功，根据动能定理，动能先减小后增大，速度随之先减小后增大；由能量守恒，电势能先增大后减小，故CD正确。本题选错误项，故选：A。例题4（多选）图中虚线是某电场中的一簇等势线，两个带电粒子从P点均沿等势线的切线方向射入电场，运动过程中仅受静电力的作用，粒子运动的部分轨迹如图中实线所示。则两粒子分别从P运动到a和从P运动到b的过程中，下列说法正确的是（）A．两粒子带同种电荷B．两粒子受到的静电力都变大C．静电力对两粒子都做正功D．两粒子的动能都增大【答案】CD【解答】解：A.由轨迹弯曲方向可知，向a运动的粒子受中心电荷的斥力，向b运动的粒子受中心电荷的引力，说明两粒子与中心电荷的电性相反，故两粒子带异种电荷，A错误；B.静电力大小与距离平方成反比（点电荷电场），向a运动的粒子远离中心电荷，静电力变小；向b运动的粒子靠近中心电荷，静电力变大，故B错误；CD.两粒子所受静电力与速度方向的夹角均为锐角，静电力做正功，根据动能定理，两粒子的动能均增大，故CD正确。故选：CD。例题5（多选）一种电子透镜的部分电场分布如图所示，虚线为等差等势面。电子枪发射的电子仅在电场力作用下的运动轨迹如图中实线所示，a、b、c是轨迹上的三个点，取c点电势为0V，电子从a点运动到b点电势能变化了10eV。则（）[图片失败]A．a点电势为﹣15VB．电子在b点的电势能为﹣5eVC．b点的电场强度比c点的小D．电子的运动轨迹与其中的一条电场线重合【答案】BC【解答】解：A.电场线与等势面垂直，由电子轨迹向上弯曲可知，电子所受电场力指向左上方，与电场线方向夹角为钝角，电场力做负功，电子从a到b电势能增大10eV。电子带负电，电势能增大对应电势降低，故b点电势比a点低10V。由图可知相邻等势面电势差为5V，c点电势为0V，则a点电势为φₐ=3×5V+0V=15V，A错误；B.b点电势为5V，电子在b点的电势能Eₚ=e×φᵦ=e×5V=5eV，B正确；C.等势面的疏密反映电场强度大小，b点等势面比c点稀疏，故b点场强小于c点场强，C正确；D.电场线与等势面垂直，电子运动轨迹与等势面不垂直，故不可能与某条电场线重合，D错误。故选：BC。例题6（多选）如图所示为某示波管内的聚焦电场，实线和虚线分别表示电场线和等势线。两电子分别从a、b两点运动到c点。设电场力对两电子做的功分别为Wₐ和Wᵦ，a、b点的电场强度大小分别为Eₐ和Eᵦ，则（）![img](":b月)A．电子由a运动到c过程中电势能减小B．Wₐ＝Wᵦ，Eₐ＞EᵦC．a、b两点电势和电场强度大小都相等D．Wₐ≠Wᵦ，Eₐ≠Eᵦ【答案】AB【解答】解：A.电子带负电，所受电场力与电场方向相反。电子从a到c过程中，电场力做正功，由功能关系可知电势能减小，A正确；BCD.电场线的疏密反映场强大小，a处电场线比b处密集，故Eₐ＞Eᵦ；a、b两点在同一等势线上，故φₐ=φᵦ。电场力做功仅与始末位置电势差有关，a、b到c点的电势差相等，两电子电荷量相同，故Wₐ=Wᵦ，B正确，CD错误。故选：AB。题型2等分法在等势面与电场线确定中的应用例题1如图所示，在某匀强电场（图中未画出）中有一等边三角形ABC，电场强度方向与三角形所在平面平行，A点的电势为6V，B点的电势为2V，C点的电势为4V，则该匀强电场的电场强度方向为（）[图片失败]A．由A点指向BC边的中点B．由A点指向B点C．由A点指向C点D．由C点指向AB边的中点【答案】B【解答】解：AB边中点的电势为φ_m=(φₐ+φᵦ)/2=(6V+2V)/2=4V，与C点电势相等，故C点与AB边中点的连线为等势线。匀强电场中电场线与等势线垂直，且由高电势指向低电势，A点电势（6V）高于B点电势（2V），故电场强度方向由A点指向B点，B正确，ACD错误。故选：B。例题2如图所示，A、B、C、D是匀强电场中一正方形的四个顶点，已知A、B、C三点的电势分别为φₐ＝15V，φᵦ＝3V，φ_c＝﹣3V，由此可得D点电势φ_D是（）[图片失败]A．3VB．6VC．9VD．﹣9V【答案】C【解答】解：连接AC，将AC三等分，标记三等分点E、F。由匀强电场中等分法原理，每段电势差为(15V(3V))/3=6V，故E点电势为15V6V=9V，F点电势为9V6V=3V。F点电势与B点电势相等，连接BF即为等势线。根据正方形几何关系，DF与BF平行且相等，故DF也为等势线，D点与E点电势相等，即φ_D=9V，C正确，ABD错误。故选：C。例题3一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图所示，三点的电势分别为0V、9V、﹣7V。下列说法正确的是（）A．电子在a点的电势能比在b点的低9eVB．坐标原点处的电势为16VC．电场强度的大小为5V/cmD．电子从b点运动到c点，电场力做功为16eV【答案】C【解答】解：A.电子电荷量为e，由Eₚ=qφ得：Eₚₐ=0，Eₚᵦ=e×9V=9eV，故a点电势能比b点高9eV，A错误；B.由几何关系，Oc=ab=3cm0，匀强电场中沿相同方向等距离电势差相等，故U_Oc=U_ab，即φ_Oφ_c=φₐφᵦ，解得φ_O=0V9V+(7V)=16VC.x轴方向场强Eₓ=(φᵦφₐ)/dₓ=(9V0V)/3cm=3V/cm；y轴方向场强Eᵧ=(φᵦφ_c)/dᵧ=(9V(7V))/4cm=4V/cm。由矢量合成，E=√(Eₓ²+Eᵧ²)=√(3²+4²)V/cm=5V/cm，C正确；D.电子从b到c的电场力做功W_bc=e(φᵦφ_c)=e(9V(7V))=16eV，D错误。故选：C。例题4有一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c、d四点的位置如图所示，cd垂直于x轴、cb垂直于y轴，其中a、O、b三点电势分别为4V、6V、8V。电荷量为q＝﹣1×10⁻⁵C的点电荷由a点开始沿a→b→c→d路线运动过程中，下列说法正确的是（）A．c点的电势φ_c＝6VB．匀强电场的方向为a指向bC．匀强电场的电场强度大小E＝√2V/mD．点电荷在c点的电势能Eₚc＝﹣1×10⁻⁴J【答案】C【解答】解：A.匀强电场中沿某一方向等距离电势变化相等，由φᵦφ_c=φₐφ_O，解得φ_c=8V(4V6V)=10V，A错误；BC.ab中点e的电势φₑ=(4V+8V)/2=6V，与O点电势相等，故Oe为等势线。由几何关系，ab与Oe垂直，电场线与等势线垂直且由高电势指向低电势，故电场方向由b指向a。be的距离d=(√(2²+2²)/2)×10⁻²m=√2×10⁻²m，U_be=8V6V=2V，故E=U_be/d=2V/(√2×10⁻²m)=100√2V/m，B错误，C正确；D.点电荷在c点的电势能Eₚc=qφ_c=1×10⁻⁵C×10V=1×10⁻⁴J，D错误。故选：C。例题5（多选）在匀强电场中有直角三角形abc，ac＝5cm，bc＝3cm，电场的方向与三角形所在的平面平行。将电荷量为﹣2×10⁻⁸C的点电荷从a点移到b点，电场力做功为﹣3.2×10⁻⁷J，再从b点移到c点，电场力做功为1.8×10⁻⁷J。设c点电势φ_c＝0，已知sin37°＝0.6。下列说法正确的是（）A．φₐ＝16VB．电场强度大小为500V/mC．电场强度的方向与ab直线成53°角D．该点电荷在ac中点的电势能为﹣7.0×10⁻⁸J【答案】BD【解答】解：A.a、c两点间的电势差Uₐc=Wₐc/q=(Wₐb+W_bc)/q=(3.2×10⁻⁷J+1.8×10⁻⁷J)/(2×10⁻⁸C)=7V，因φ_c=0，故φₐ=7V，A错误；BC.b、c两点间的电势差U_bc=W_bc/q=1.8×10⁻⁷J/(2×10⁻⁸C)=9V，故φᵦ=9V，Uₐb=φₐφᵦ=16V。将ab边16等分，每段电势差1V，在ab边上找电势为0的d点，bd=(9/16)×ab=(9/16)×4cm=9/4cm。连接cd为等势线，过b点作cd的垂线，垂足为e，电场线方向由e指向b。由几何关系，tan∠bcd=bd/bc=(9/4)/3=3/4，故∠bcd=37°，∠dbe=37°。be=bc·sin37°=3×3/5cm=9/5cm，电场强度E=U_db/be=9V/(9/5×10⁻²m)=500V/m，B正确，C错误；D.ac中点的电势φ=(φₐ+φ_c)/2=3.5V，点电荷在该点的电势能Eₚ=qφ=2×10⁻⁸C×3.5V=7×10⁻⁸J，D正确。故选：BD。例题6（多选）如图所示，在匀强电场中有一正四面体，A、B、C、D分别是正四面体的四个顶点，四面体的棱长L＝2.0m，R、Q、M、S分别为棱AD，AC、AB、DB的中点，它们的电势分别为φ_R＝φ_Q＝1V，φ_M＝2V，φ_S＝3V。不计重力，下列说法正确的是（）A．A点电势φₐ＝1VB．将一个电子从B点移到D点，电势能增加2eVC．场强方向由B指向AD．一个质子以初速度v₀沿BC方向入射，能运动到A点【答案】BC【解答】解：C.连接RS，中点G的电势φ_G=(φ_R+φ_S)/2=(1V+3V)/2=2V，与φ_M相等。取BC中点P，由几何关系RS∥QP且RS=QP，故P点电势为3V。H为MC中点，电势φ_H=2V，故△MDC所在平面为等势面。正四面体中AB与该等势面垂直，电场线与等势面垂直且由高电势指向低电势，故场强方向由B指向A，C正确；A.由SR∥MA且SR=MA，得φ_Sφ_R=φ_Mφₐ，即3V1V=2Vφₐ，解得φₐ=0V，A错误；B.由φ_Bφ_M=φ_Mφₐ，得φ_B=4V；同理φ_D=2V。电子从B到D，电势能变化ΔEₚ=e(φ_Dφ_B)=e(2V4V)=2eV，即电势能增加2eV，B正确；D.质子沿BC方向入射，若能到达A点，需满足运动分解条件：Lsin30°=v₀t+(1/2)(qE/m)sin30°·t²，Lcos30°=(1/2)(qE/m)cos30°·t²，解得v₀=0，与初速度v₀矛盾，故不能到达A点，D错误。故选：BC。三、课时精练（一）单选题（共8小题）1．如图所示，真空中有一匀强电场（图中未画出），电场方向与圆周在同一平面内，△ABC是圆的内接直角三角形，∠BAC＝63.5°，O为圆心，半径R＝5cm。位于A处的粒子源向平面内各个方向发射初动能均为8eV、电荷量+e的粒子，有些粒子会经过圆周上不同的点，其中到达B点的粒子动能为12eV，达到C点的粒子电势能为﹣4eV（取O点电势为零）。忽略粒子的重力和粒子间的相互作用，sin53°＝0.8。下列说法正确的是（）A．圆周上A、C两点的电势差为16VB．圆周上B、C两点的电势差为﹣4VC．匀强电场的场强大小为200V/mD．当某个粒子经过圆周上某一位置时，可以具有5eV的电势能，且同时具有7eV的动能【答案】D【解答】解：A.C点电势φ_c=Eₚc/q=4eV/e=4V。AOC为直径，匀强电场中Uₐ₀=U₀c=4V，故φₐ=4V。Uₐc=φₐφ_c=4V(4V)=8V，A错误；B.粒子从A到B，由动能定理Wₐb=EₖᵦEₖₐ=4eV，故Uₐb=Wₐb/q=4V，φᵦ=φₐUₐb=0V。U_bc=φᵦφ_c=0V(4V)=4V，B错误；C.OB为等势线（φᵦ=φ₀=0），过A作OB的垂线AD，AD为电场线方向。由几何关系∠AOB=53°，AD=Rsin53°=0.04m，E=Uₐb/AD=4V/0.04m=100V/m，C错误；D.粒子在A点的总能量E=Eₖₐ+Eₚₐ=8eV+4eV=12eV。圆周上电势最大值为5V，电势能最大值为5eV，故当电势能为5eV时，动能为12eV5eV=7eV，D正确。故选：D。2．如图所示，空间中存在与菱形ABCD所在平面平行的匀强电场，一带电粒子的电荷量为q（q＞0），沿AB方向从A点入射，其初动能为Eₖ，经过C点时动能也为Eₖ。不计粒子重力，下列说法正确的是（）A．电场方向由B指向CB．电场方向垂直BCC．粒子经过C点时速度方向由B指向CD．粒子可能经过B点【答案】C【解答】解：AB.粒子在A、C两点动能相等，电场力做功为零，故A、C两点电势相等，AC为等势线。匀强电场中电场线与等势线垂直，粒子带正电，轨迹向上偏转，故电场力向上，电场方向垂直AC由B指向D，AB错误；CD.粒子运动轨迹类似斜上抛运动，A、C两点动能相等则速度大小相等，由对称性可知，粒子经过C点时速度方向由B指向C，且轨迹不会经过B点，C正确，D错误。故选：C。3．如图所示的直角梯形ABCD，其中AB＝BC＝√3cm，∠A＝60°，整个空间存在平行于梯形平面的匀强电场，A、B、D三点的电势分别为φₐ＝18V、φᵦ＝6V、φ_D＝0V。下列说法正确的是（）B.....C](B.....CA·..D的)A．电场方向由A指向DB．C点的电势为﹣6VC．B、C中点的电势为﹣6VD．电场强度的大小为400√3V/m【答案】B【解答】解：A.将AD三等分，等分点F、G，G点电势为6V（与B点相等），故BG为等势线。由几何关系，AC垂直BG，电场方向平行于AC指向C，A错误；B.A、B与B、C沿场强方向距离相等，故Uₐb=U_bc，即φₐφᵦ=φᵦφ_c，解得φ_c=2×6V18V=6V，B正确；C.B、C中点H的电势φ_H=(φᵦ+φ_c)/2=(6V6V)/2=0V，C错误；D.电场强度E=Uₐb/(AB·cos30°)=(18V6V)/(√3×10⁻²m×√3/2)=12V/(1.5×10⁻²m)=800V/m，D错误。故选：B。4．在与纸面平行的匀强电场中，建立如图甲所示的直角坐标系，a、b、c、d是该坐标系中的4个点，已知φₐ＝6V、φᵦ＝4V、φ_D＝2V；现有一电子以某一初速度从O点沿Od方向射入，则图乙中abcd区域内，能大致反映电子运动轨迹的是（）A．①B．②C．③D．④【答案】B【解答】解：连接ad，与y轴交于m点，由Uₐₘ=UₘD得φₘ=(φₐ+φ_D)/2=4V，与φᵦ相等，故bm为等势线。过O作bm的垂线，电场方向沿aO方向（由高电势指向低电势）。电子带负电，所受电场力沿Oa方向，轨迹应在合力与速度之间，故轨迹②符合题意，B正确，ACD错误。故选：B。5．如图是天空中的云层经过避雷针正上方时，避雷针尖端附近形成的电场，a、b、c、d是电场中的四个点，实线为电场线，虚线是等势面。下列说法正确的是（）A．云层带正电B．a点电场强度大小大于c点电场强度大小C．电子仅在电场力作用下从a点运动至d点，动能增加4keVD．电子从b点移动至c点，电势能增加【答案】C【解答】解：A.越靠近云层电势越低，故云层带负电，A错误；B.电场线越密场强越大，a点电场线比c点稀疏，故a点场强小于c点场强，B错误；C.电子从a到d，电场力做功Wₐd=e(φₐφ_D)=4keV，电场力做正功，动能增加4keV，C正确；D.b、c两点在同一等势线上，电子移动时电势能不变，D错误。故选：C。6．如图所示，虚线为匀强电场中的一组等势线，相邻两等势线间的距离相等，电势差也相等，实线AB为一电子在电场中的运动轨迹。已知电子在等势线φ₀上具有动能8eV，它运动到等势线φ₃上时动能为2eV。令φ₀＝0，电子重力不计，下列说法正确的是（）[图片失败]A．电场方向水平向左B．该电子刚好能经过等势线φ₄C．电子在B点的电势能为﹣6eVD．当该电子的电势能为4eV时，其动能大小为4eV【答案】D【解答】解：A.电子从φ₀到φ₃动能减小，电势能增大，电子带负电，故φ₀＞φ₃，电场方向水平向右，A错误；B.由动能定理，e(φ₀φ₃)=6eV，得U₀₃=6V，相邻等势线电势差为2V。若电子到达φ₄，动能需减为0，但电子做曲线运动，速度无法减为0，故不能到达φ₄，B错误；C.φ₃=6V，电子在B点（φ₃）的电势能Eₚ=e×(6V)=6eV，C错误；D.电子总能量E=8eV+0=8eV，电势能为4eV时，动能为8eV4eV=4eV，D正确。故选：D。7．如图所示，实线为三条电场线，从电场中M点以相同的速度方向射出a、b两个带电粒子，其仅在电场力作用下的运动轨迹如图中虚线所示。则（）A．a的加速度将减小，b的加速度将增加B．a一定带正电，b一定带负电C．a的速度将减小，b的速度将增加D．该电场的等差等势面为曲线且从左往右越来越稀疏【答案】A【解答】解：A.电场线越密场强越大，a向电场线稀疏处运动，加速度减小；b向电场线密集处运动，加速度增加，A正确；B.两粒子带异种电荷，但电场强度方向未知，无法判断具体电性，B错误；C.a、b所受电场力均与速度方向成锐角，电场力做正功，速度均增加，C错误；D.等势面与电场线垂直，电场线从左往右越来越密，故等势面从左往右越来越密，D错误。故选：A。8．在研究心脏电性质时，当兴奋在心肌传播，在人体的体表可以测出与之对应的电势变化，可等效为两等量电荷产生的电场。如图是人体表面的瞬时电势分布图，图中实线为等差等势面，标在等势面上的数值分别表示该等势面的电势，a，b，c，d为等势面上的点，a，b为两电荷连线上对称的两点，c，d为两电荷连线中垂线上对称的两点。则下列说法正确的是（）[图片失败]A．负电荷从b点移到d点，电势能增大B．d、a两点的电势差U_Dₐ＝1.5mVC．a、b两点的电场强度等大反向D．c、d两点的电场强度相同，从c到d的直线上电场强度先变大后变小【答案】D【解答】解：A.b点电势为1.5mV，d点电势为0，负电荷从b到d，电势升高，电势能减小，A错误；B.U_Dₐ=φ_Dφₐ=01.5mV=1.5mV，B错误；C.该电场等效于等量异种电荷电场，a、b两点场强等大同向，C错误；D.c、d两点场强大小相等、方向相同；从c到d的直线上，等差等势面先密集后稀疏，故场强先变大后变小，D正确。故选：D。（二）多选题（共3小题）9．两个固定的点电荷P、Q形成的电场的等势线如图中的虚线所示，一带