第06讲 整式的除法-北师大版七年级《数学》寒假预习讲义

PAGE1第06讲整式的除法内容导航——预习三步曲第一步：学析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习练题型·强知识：核心题型举一反三精准练第二步：记串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1：单项式除以单项式单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.注意：首先确定结果的系数(即系数相除)，然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.根据法则可知，单项式相除与单项式相乘计算方法类似，也是分成系数、相同字母与不相同字母三部分分别进行考虑.知识点2：多项式除以单项式多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即（a+b+c）÷m=a÷m+b÷m+c÷m多项式除以单项式其特点是把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式，另外还要特别注意符号.多项式除以单项式，注意多项式各项都包括前面的符号.【题型1单项式除以单项式】例1．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了单项式除以单项式法则，单项式除以单项式法则：把系数、相同底数的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除数里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式．（1）利用单项式除以单项式法则进行计算即可；（2）利用单项式除以单项式法则进行计算即可；【详解】（1）解：.（2）解：.例2．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了单项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题关键．（1）根据单项式除以单项式法则计算即可得；（2）先计算括号内的单项式除以单项式，再计算单项式除以单项式即可得．【详解】（1）解：原式．（2）解：原式．变式1．（25-26八年级上·全国·随堂练习）计算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查了单项式除以单项式和积的乘方的知识，掌握以上知识是解答本题的关键；（1）先计算积的乘方，再根据单项式除以单项式的知识，进行作答，即可求解；（2）先计算积的乘方，再根据单项式除以单项式的知识，进行作答，即可求解；（3）先计算积的乘方，再根据单项式除以单项式的知识，进行作答，即可求解；【详解】（1）解：．（2）解：．（3）解：变式2．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方、单项式乘以单项式、单项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题关键．（1）根据单项式除以单项式法则计算即可得；（2）先计算括号内的单项式除以单项式，再计算单项式除以单项式即可得；（3）先计算积的乘方与幂的乘方、单项式乘以单项式，再计算单项式除以单项式即可得．【详解】（1）解：原式．（2）解：原式．（3）解：原式．【题型2多项式除以单项式】例3．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】此题主要考查了多项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题关键．（1）用多项式除以单项式法则计算；（2）用多项式除以单项式法则计算．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式．例4．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了多项式除以单项式，掌握相关运算法则是解题关键．（1）根据多项式除以单项式法则计算即可；（2）根据多项式除以单项式法则计算即可．【详解】（1）解：；（2）解：．变式1．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查了多项式除以单项式的运算，解决本题的关键是认真计算．（1）用多项式的每一项分别除以单项式，再进行加法运算即可；（2）用多项式的每一项分别除以单项式，再进行减法运算即可；（3）用多项式的每一项分别除以单项式，再进行加减法运算即可．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．变式2．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握多项式乘多项式、多项式除以单项式的运算法则是解题关键．（1）用多项式除以单项式法则计算；（2）先计算括号内式子，再合并同类项，最后用多项式除以单项式法则计算；（3）先计算括号内式子，再合并同类项，最后用多项式除以单项式法则计算．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式（3）解：原式【题型3含整式除法的整式四则混合运算】例5．（2025八年级上·新疆乌鲁木齐·专题练习）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查整式的混合运算，掌握幂的乘方运算、同底数幂的乘法运算是解题关键．（1）先根据“幂的乘方，底数不变，指数相乘”化简幂的乘方，再根据“同底数幂相乘，底数不变、指数相加”计算乘法，最后合并同类项．（2）先利用乘法分配律计算“单项式乘多项式”，再根据“整式除法”化简．【详解】（1）解：原式．（2）解：原式．例6．（25-26九年级上·重庆开州·月考）计算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握完全平方公式、平方差公式的展开形式是解题关键．（1）先展开完全平方、多项式乘法，再算多项式除以单项式，最后去括号，合并同类项；（2）先算单项式乘多项式，用平方差公式展开多项式乘法，再展开完全平方，最后去括号，合并同类项．【详解】（1）解：原式．（2）解：原式．变式1．（25-26八年级上·山东德州·月考）计算：(1)(2)(3)【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．（1）先计算幂的乘方、积的乘方，然后计算单项式乘以单项式，再合并同类项；（2）先计算多项式乘以多项式以及多项式除以单项式，再合并同类项；（3）先由平方差公式、单项式乘以多项式法则以及完全平方公式计算，再合并同类项．【详解】（1）解：；（2）解：（3）解：变式2．（25-26八年级上·全国·随堂练习）计算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，整式的四则混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．（）根据完全平方公式，平方差公式，整式的除法解答即可；（）根据完全平方公式，平方差公式，整式的加减解答即可；（）连续利用平方差公式解答即可．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式．【题型4整式的混合运算之化简求值】例7．（25-26八年级上·海南海口·期中）先化简，再求值：，其中，．【答案】，【分析】本题考查整式的混合运算与代数式求值，解题的关键是先利用完全平方公式、单项式乘多项式、平方差公式化简括号内的式子，再进行除法运算，最后代入求值．先计算括号内的完全平方、单项式乘多项式、平方差公式，合并同类项后除以，再代入的值计算．【详解】解：将代入化简结果：原式．例8．（25-26八年级上·云南昆明·期中）先化简，再求值：，其中a，b满足：，．【答案】，0【分析】本题考查了整式的化简求值．先利用完全平方公式和平方差公式化简表达式，然后合并同类项，再除以b得到最简形式，最后代入a和b的值计算．【详解】解：原式；当，时，原式．变式1．（25-26八年级上·福建泉州·期中）先化简，再求值：，其中，．【答案】【分析】本题主要考查了整式的化简求值．根据完全平方公式、平方差公式、合并同类项法则和多项式除以单项式法则进行化简，再把，的值代入进行计算即可．【详解】解：，当，时，原式．变式2．（25-26八年级上·重庆璧山·期中）先化简，再求值：．其中满足【答案】，【分析】本题考查了整式的化简求值．先利用完全平方公式和平方差公式展开并化简表达式，然后根据非负数的性质求出和的值，最后代入求值．【详解】解：，∵，∴且，∴，，∴，，当，时，原式．【题型5含整式除法的新定义型问题】例9．（24-25七年级下·山东枣庄·期末）对于任意有理数、、、，定义一种新运算：．(1)；(2)对于有理数、，若是一个完全平方式，则；(3)对于有理数、，若，．求的值．【答案】(1)(2)2或(3)56【分析】本题考查的是整式的混合运算，完全平方公式，求代数式的值，熟练掌握其运算法则是解题的关键．（1）根据新运算的规则计算即可；（2）根据新运算的规则可得，再根据是一个完全平方式可得结论；（3）据新运算的规则化简，然后整体代入计算解题．【详解】（1）解：原式．故答案为：；（2）解：原式，是完全平方公式，或．故答案为：2或；（3）解：原式，，，，，．例10．（24-25八年级下·四川达州·期中）定义：任意两个数a，b，按规则扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“如意数”．(1)若，直接写出a，b的“如意数”c；(2)如果，求a，b的“如意数”c，并证明“如意数”(3)已知，且a，b的“如意数”，则_____（用含x的式子表示）【答案】(1)5(2)，证明见解析(3)【分析】本题考查代数式求值，整式的运算，熟练掌握新定义，是解题的关键：（1）把代入代数式进行求解即可；（2）根据新定义，结合整式的运算法则进行计算，利用完全平方公式的非负性进行证明即可；（3）根据新定义，列式计算即可．【详解】（1）解：当时，；（2）当时，；∵，∵，∴．（3）∵，，∴，∴，∴．变式1．（24-25七年级上·四川成都·期末）定义一种新运算，对任意数，，，例如：，．(1)设（为常数）已知关于的方程为一元一次方程，求：的值及方程的解．已知与为关于x的多项式，，的值满足，若中不含一次项，求：的值．(2)如果数对满足，我们称数对为“嘉幸数”，已知数对与均为“嘉幸数”，求代数式的值．【答案】(1)，；；(2)．【分析】（1）根据规定的新运算可知，又因为方程为一元一次方程，可得为一元一次方程，根据一元一次方程的定义可知、，从而求出的值，把的值代入方程中可得方程为，解方程即可；根据可以求出，根据中不含一次项可以求出的值，把、的值代入计算求值即可；（2）根据“嘉幸数”的定义列方程求出、的值，根据整式的运算法则把代数式化简，再把、的值代入化简后的代数式计算即可．【详解】（1）解：，又方程为一元一次方程，为一元一次方程，，解得：，方程为，解得：，，；解：的值满足，，，，解得：，，，，整理得：，不含一次项，，解得：，；（2）解：数对为“嘉幸数”，，整理得：，解得：，数对为“嘉幸数”，，整理得：，解得：，，当，时，原式．变式2．（23-24七年级下·山西长治·月考）定义：对于一组关于的多项式（是有理数），当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个有理数时（不含字母），称这样的四个多项式是一组黄金多项式，有理数的绝对值是这组黄金多项式的黄金因子．例如：对于多项式，因为，所以多项式是一组黄金多项式，其黄金因子为．(1)小贤发现多项式是一组黄金多项式，其列式为，请帮小贤求出这组黄金多项式的黄金因子．(2)若多项式（是有理数）是一组黄金多项式，求的值．(3)若多项式（为有理数），是一组黄金多项式，且黄金因子为4，请直接写出的值．【答案】(1)(2)的值为或11或1(3)的值为【分析】本题考查定义新概念，整式的四则混合运算，读懂题意，理解“黄金多项式”，“黄金因子”等定义是解题的关键．（1）根据整式的四则混合运算法则计算，根据“黄金因子”的定义即可解答；（2）分三种情况，分别计算①；②；③，根据“黄金多项式”的定义即可解答；（3）分三种情况，分别计算①，②，③，根据这是一组黄金多项式，且黄金因子为4，进行判断即可解答．【详解】（1）∵，∴这组黄金多项式的黄金因子是．（2）若多项式（是有理数）是一组黄金多项式，有三种情况，①．∵这是一组黄金多项式，∴，∴．②．∵这是一组黄金多项式，∴，∴．③．∵这是一组黄金多项式，∴，∴．综上所述，的值为或11或1．（3）①∵．∵这是一组黄金多项式，∴，∴，∴黄金因子为，不合题意，舍去；②∵．∵这是一组黄金多项式，∴，∴∴黄金因子为，不合题意，舍去；③∵．∵这是一组黄金多项式，∴，∴，∴黄金因子为，符合题意；综上所述，的值为．【题型6利用竖式的方法求整式中多项式除以多项式】例11．（24-25八年级上·全国·期中）两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如，仿照计算如图①所示．因此．(1)阅读上述材料后，试判断能否被整除，并说明理由；(2)若多项式能被整除，求的值；(3)有一个长为，宽为的长方形A，若将它的长增加6，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长方形B的周长是A周长的2倍（如图），另有一长方形C，它的一边长为，且长方形B的面积比C的面积大76，求长方形C已知边长的邻边长．【答案】(1)能，理由见解析(2)(3)【知识点】多项式除以单项式、多项式乘多项式与图形面积【分析】本题是阅读材料题，考查了，多项式的乘法运算，多项式除以多项式，关键是读懂材料提供的方法，并能灵活运用方法解决问题．（1）按照材料中的竖式方法进行即可；（2）按照材料中的竖式方法进行，根据题意余式要为0，则余式的各项系数均为0，从而可以求得a与b的值，最后求得结果．（3）由长方形B的周长是A周长的2倍可得，再分别求解长方形，的面积，结合多项式除以多项式可得答案．【详解】（1）解：能，理由如下：列竖式如下：（2）解：列竖式如下：由题意得：∴且∴，，∴．（3）解：∵长方形的周长为：，长方形的周长为：，而长方形B的周长是A周长的2倍，∴，∴，∴长方形的面积为：；∵长方形B的面积比C的面积大76，长方形的面积为：，∴，∴长方形C已知边长的邻边长为：．例12．（24-25八年级上·吉林长春·期末）我们学习过多项式乘多项式，根据法则可知，那么再根据除法是乘法的逆运算可得，这就是多项式除以多项式．两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如，可仿照用竖式计算（如图）：因此，多项式除以多项式可借助竖式进行计算．请用上述方法计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【知识点】整式的混合运算【分析】本题考查整式的混合运算，多项式除以多项式，用竖式形式计算，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键；（1）根据多项式除以多项式运算法则用竖式表示即可求解；（2）根据多项式除以多项式运算法则用竖式表示即可求解；【详解】（1）解：；（2）．．变式1．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）阅读与思考我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？请同学们阅读“刻苦小组”的项目实施过程，帮助他们解决项目实施过程中遇到的问题．项目主题：竖式的方法解决多项式除以多项式．项目实施：任务一

搜集资料：我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数．（1）请把按的指数从大到小排列：________．任务二

竖式计算：如下边竖式中，13579除以112，商为121，余数为27，而如下边竖式中，多项式除以，商式为，余式为．（2）“刻苦小组”把小学的除法运算法则运用在多项式除法运算上，这里运用的数学思想是________．A．数形结合

B．类比

C．方程任务三

学以致用（3）请计算的商式与余式．【答案】（1）；（2）B；（3）商式是，余式是．【知识点】计算单项式除以单项式、多项式除以单项式、将多项式按某个字母升幂（降幂）排列【分析】本题考查多项式、单项式的次数及多项式的除法：（1）根据单项式的次数按照从大到小排列即可得到答案；（2）根据（1）中的图形归纳即可得到答案；（3）利用（1）的规律计算即可得到答案；【详解】解：（1）由题意可得，，∴按x的指数从大到小排列是：；（2）由题意可得，“刻苦小组”把小学的除法运算法则运用在多项式除法运算上，运用了类比的思想，故选B；（3）由题意可得，∴的商式是，余式是．一、单选题1．（25-26九年级上·陕西延安·月考）计算的结果是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了单项式的除法运算，解题的关键是掌握单项式除法的运算法则，分别对系数和同底数幂进行运算．根据单项式除法法则，将系数相除，同底数幂分别相除，再把结果相乘，计算得出结果后匹配选项．【详解】解：，对应选项A．故选：A．2．（25-26九年级上·黑龙江七台河·月考）下列计算正确的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查整式的乘除和加减运算，对每个选项进行计算判断结果的正误．【详解】解：A选项：∵，满足题意要求；B选项：∵，不满足题意要求；C选项：∵，不满足题意要求；D选项：∵，不满足题意要求；故选A．3．（25-26八年级上·全国·课后作业）如果，那么（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了多项式除以单项式．由题意可知，进而计算即可．【详解】解：∵，∴，故选：B．4．（24-25七年级下·河南郑州·期末）若长方形的面积是，它的一边长为，则它的周长为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．已知长方形的面积和一边长，先求出另一边长，再利用周长公式计算．【详解】解：已知一边长为，则另一边长为：因此，长方形的两边长分别为和．周长为故周长为，故选：D．5．（24-25七年级下·浙江台州·期末）如图，在边长为的正方形四周分别放置四个边长为的小正方形，构造了一个大正方形，并画出阴影部分图形．现将阴影部分图形面积记作，每一个边长为的小正方形面积记作，若，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了整式混合运算的应用，先求出，，由即可求解；能求出面积是解题的关键．【详解】解：由图得，，，，，；故选：A．二、填空题6．（25-26八年级上·广东惠州·期中）计算：．【答案】【分析】本题考查多项式除以单项式的运算，解决本题的关键是正确使用运算法则并计算．运用法则将多项式的每一项分别除以单项式，再结合同底数幂的除法法则进行计算即可．【详解】解：．故答案为．7．（2025八年级上·全国·专题练习）学习情境·墨迹污染

如图，乐乐的作业本不小心被墨水遮住了一部分，留下一道残缺不全的题目（），请你帮他推测出括号内被遮住的内容是．【答案】【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，根据题意计算即可得出答案．【详解】解：，故答案为：．8．（25-26七年级上·上海·期中）如图是一个运算程序，若输入的为，输出的为，则为．【答案】【分析】本题考查了多项式除以单项式，根据题意列出除法算式，利用多项式除以单项式的法则进行计算，即可得出答案，掌握多项式除以单项式的法则是解题的关键．【详解】解：由题意得，，故答案为：．9．（25-26七年级上·北京·开学考试）已知，则代数式的值为．【答案】【分析】本题考查整式的混合运算，根据完全平方公式，多项式除以单项式化简，再代入求值即可．【详解】，原式．故答案为：．10．（24-25七年级下·福建宁德·期中）若定义表示，表示，则运算的结果为．【答案】【分析】本题主要考查了整单项式除法运算，根据新定义列出整式是解答本题的关键．先根据定义列出代数式，然后再利用积的乘方、单项式除法解答即可．【详解】解：根据新定义，可得．故答案为：．三、解答题11．（25-26八年级上·新疆和田·月考）计算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查了整式的运算，掌握整式的运算法则是解题的关键．（）先进行乘方运算，再进行乘除运算即可；（）根据多项式除以单项式的运算法则计算即可；（）先进行乘方运算，再进行括号内的加减运算，最后进行除法运算即可；【详解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式．12．（25-26八年级上·山东临沂·月考）先化简，再求值：，其中．【答案】，【分析】本题主要考查了整式的混合运算、乘方的性质、