河北省NT名校联合体2025-2026学年高三上学期1月月考数学（含答案）

2025—2026学年第一学期高三年级数学检测题考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x²>1},,则下列结论正确的是A.A∩B={x|x<-1}B.A∩BC.AUB={x|x<-1}D.AUB={x|x<1}A.-2iB.-23.已知向量a=(x+1,x),b=(x,2),A.“a⊥b”的必要条件是“x=-3”B.“a//b”的必要条件是“x=1—√3”A.2√3B.163eC.√3e径r的取值范围是ABCABC第1页(升1页)第2页(共4页)7.已知函数f(x)=sinx,将f(x)图象上点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),再将所一实数β∈[0,m],使得g(a)+g(β)=0,则实数m的取值范围为ABUD8.对于任意的x>0,不等式(eˣ-3x)(lnx-x+a)≤0A.eB.1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.下列说法正确的是A.若样本数据x₁,x₂,…,x。的方差s²=0,则所有的x;(i=1,2,3,…,n)都相等B.在做回归分析时，残差图中残差点均匀分表示回归效果越好C.以模型y=ce去拟合一组数据时，为了求为z=0.3x+4,则c,k的值分别是4和0.3D.样本数据x₁,x₂,…,xn的平均数x=4,则样本数据2-3x₁,2—3x₂,…,2-3xn的平均数为一1010.已知抛物线x²=4y的焦点为F,A,B是抛物线上两动点，下列说法正确的有A.抛物线的焦点坐标为F(0,-1)B.若|AF|+|BF|=8,则线段AB的中点到x轴的距离为6C.以线段AF为直径的圆与x轴相切D.以点A为圆心，线段AF的长为半径的圆与准线相切11.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E在正方形BB₁C₁C内运动(含边界)且AE⊥B₁C,则下列结论正确的有B.三棱锥A-CD₁E的体积随着E的位置变化而变化D.F为直线B₁D₁上一点，则EF的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。13.已知双曲线的左焦点为F,过原点O的直线与双曲线C交于A,B两点(点A位于第二象限),M为BF的中点，直线OM为双曲线C的一条渐近线，且|BF|=4|AF|,则双曲线C的离心率为14.数列{an}的前n项和为2n+¹-2,数列{bn}满足数列{cn}的最小项为四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)设函数的图象在x=1处的切线平行于直线2x-y=0,记g(x)的导函数为f(x),数列{an}满足,an+1=f(an).(1)试判断数列{a,}的单调性，并给出证明；16.(15分)人工智能，是引领新一轮科技革命与产业变革的战略技术，其研发过程融合了算法创新与工程实践的深度智慧.某科技公司计划开发三款不同的大语言模型A,B,C.每款模型的研发分为两个主要阶段：算法设计评审和工程部署验收.只有算法设计评审通过后，才能进入工程部署验收，两个阶段相互独立.只有同时通过这两个阶段，模型才能正式上线发布.已知A,B,C三款模型通过算法设计评审的概率依次为·,通过工程部署验收的概率依次为(1)求A,B,C三款中恰有两款通过算法设计评审的概率；(2)若已知A,B,C三款中恰有一款通过算法设计评审，求通过的模型为A的概率；(3)经过算法设计评审和工程部署验收两个阶段后，A,B,C三款模型能成功上线的数量为随机变量X,求X的分布列及数学期望E(X).第3页(共4页)BC=1,AD=2,M是PD的中点.(2)若AB⊥AD.①求平面PAB与平面PCD夹角的正弦值；②在线段BD上是否存在点Q,使得点D到平面PAQ的距离为1?若存在，求出的18.(17分)已知椭圆C与双曲线有相同的焦点，椭圆C的离心率为(1)求椭圆C的方程；(2)设A为椭圆C的上顶点，F₁为左焦点，M,N为椭圆C上的两点，点N关于y轴的19.(17分)已知函数(1)求f(x)的最值；(2)若不等式e“≥sinx-cosx+2≥-x²+ax+1对任意的x≥0恒成立，求实数a的值.第4页(共4页)2025—2026学年第一学期高三年级数学检测题参考答案及评分意见所以A∩B=xlx<-1},AUB={x|x<-1或x>1).故3.D【解析】a=(x+1.r).b=(x,2),所以16“·8=2·2=2+马≥2=√1a·=2√=2=16,当且仅当4a=3b,即时等号成立.所以16°·8ᵇ的最小值为16.故选B.5.C【解析】由题意，圆心为(0.1),则圆心(0,1)到直线的距离要使圆x²+(y-1)²=r²(r>0)上到直线的距离为√5的点有且仅有2个.则Ir-d|<√5<r+d.则半径r的取值范围是.故选C.如图，取AD的中点E.连接BE.因为△ABD是边长为4的正三角形，所以BE⊥AD,且BE=√AB²-AE²=√4:-2²=2√3.设以B为球心的球的半径为R,则该球的表面积为4πR²=112π,解得R=2√7.因为AA,⊥平面ABCD.BEC平面ABCD,所以BE⊥AA₁.又因为BE⊥AD.AD∩AA₁=A.AD.AA₁C平面AA,D₁D,所以BE⊥平面AA,D₁D.数学答案第1页(共8页)设在侧面AA,D₁D中，以E为圆心，4为半径的圆弧与棱AA₁.DD,的交点分别为M.N.MN即为所求的交线.因为AA:⊥AD.A.,所以,则,同理得,所以又因为EM=EN=4,所以MN的长度为,故选D.因为因为,总存在唯一实数β∈[0,m],使得g(a)+g(β)=0,即.总存在唯一实数β∈[0,m],所以实数m的取值范围为.故选B.g(x)=Inx-x+a,要使得任意的x>0,不等式(c³-3x)(lnx-x+a)≤0恒成立，必需f(x),g(x)有相同的零点x₁x₂,并且在零点分段对应的区间内，函数值异号.则所以x₁=x₂=…=xn=x,故A正确；数学答案第2页(共8页)数学答案第3页(共8页)对于D,样本数据x₁·x₂·…,x。的平均数x=4,则样本数据2-3x:,2-3x₂,….2—3x。的平均数为2-3x=2-3×4=-10,故D正确.故选ABD.10.CD【解析】对于A,抛物线x²=4y的准线方程为y=-1,焦点为F(0,1),故A错误.对于B,设点A(x₁·y₁),B(x₂,y₂),由抛物线的定义得|AF|+|BF|=y₁+y₂+2=8.即y₁+y₂=6.所以线段AB的中点到x轴的距离,故B错误.对于C,因为|AF|=y₁+1,线段AF的中点为,该点到x轴的距离所以点E的轨迹为线段BC₁,其长度大小为√2,故A正确.即三棱锥A-CD₁E的体积始终不变，故B错误.设异面直线AE与B₁D₁所成角为θ,则cosθ=|cos(AE,B₁D>I.设BE=λBC,则AE=AB+BE=AB+λBC₁=AB+λAD+λ又B₁D₁=BD=AD-AB,则AE·B₁D₁=(AB+aAD+λAA)·(AD-AB)12.33【解析】令x=0,则ao=(3×0-1)⁵=-1,令x=1,则ao+a₁+a₂+a₃+a:+a;=(3×1-1)⁵=2³,所以a₁+a₂+a₃+a.+as=2⁵-(一1)=33.【解析】设双曲线C的右焦点为F'(c,0),连接AF',BF',如图.数学答案第4页(共8页)所以双曲线C的离心率所以,由,得4n²-20n+17<0.所以数列(c,}的最小项为因为函数的图象在x=1处的切线平行于直线2x-y=0.直线2x-y=0的斜率为2,所以g'(1)=1+2a=2,解得,所以f(x)=g'(x)=x²+x.……………3分则an+1=f(an)=a²+a又,所以an+1>0,所以a>0,所以an+1-a。=a:>0.所以数列(a。}单调递增.…………………………6分……10分数学答案第5页(共8页)…………所以………………………所以12分13分16.解：(1)设A,B.C三款模型通过算法设计评审分别为事件M.N,T,A,B,C三款中恰有两款通过算法设计评审为事件D.…………2分……………4分所以A,B.C三款中恰有两款通过算法设计评审的概率为………………5分(2)设A.B,C三款中恰有一款通过算法设计评审为事件E,则P(E)=P(MNT)+P(MNT)+P(MNT)= …………7分由条件概率公式得……8分(3)设A,B.C三款模型能成功上线分别为事件Q.W.R.则.…………10分X的可能取值为0.1.2.3,所以X的分布列如下，X0123P……………………所以数学期望………………15分数学答案第6页(共8页)又∵BC=1.BC//AD∴BC//MN,且BC=MN.则A(0.0.0),B(1.0.0),C(1.1.0),D(∴AB=(1.0.0).AP=(0.0.2),PD=(0.2,-2).设平面PCD的法向量为n₂=(x,y,z),则令x=1,则n:=(1.1,1).…………7分∴平面PAB与平面PCD夹角的正弦值为………………9分②存在点Q满足题意.设平面PAQ的法向量为n₃=(a.b,c),∴点D到平面PAQ的距离化简得λ²+6λ-3=0,解得λ=2√3-3或λ=-2√3-3(舍去),即………15分因为,所以双曲线的焦点为(±1,0).…………………2分因为椭圆C的离心率为,即,c=1,则a=√2.数学答案第7页(共8页)所以椭圆C的方程………………5分所以a+β=90°,即a=90°—β,…………………7分又因为tanβ=—tan(180°-β),所以tan(180°-β)tana=-19分设直线AM.AN′的斜率分别为k;,k₂,则k₁k₂=-1.所以直线AM.AN′的方程分别为y=k₁x+1,y=kz.x+1,设M(x₁·y₁),由消去y,整理得(2k²+1)x²+4k₁.z=0,解得………………12分点.同理得.………13分故k₁,kz是方程(2n+2)x²-4mx+n-1=0的两个根，故k,解得,…………16分故直线MN′的方程为,直线MN’过定点.…………17分因为φ'(.x)=1—cosx≥0,所以f'(x)=x-sinx为增函数.………………4分又因为f'(0)=0,所以f(x)在(一∞,0)上单调递减，在(0,十∞)上单调递增.……………5分所以f(x)≥f(0)=1.所以f(x)有最小值1,没有最大值.………………………6分设,则g'(x)=e一x-1.g"(x)=当x≥0时，g”(x)=e-1≥0.所以g'(x)=eˣ一x-1在(0.+∞)上单调递增，所以g'(x)≥g'(0)=0,所以g(x)在(