辽宁省沈阳市2025-2026学年高三教学质量监测（一）数学试题

2026年沈阳市高中三年级教学质量监测(一)

数学

命题：沈阳市第一二○中学潘戈

沈阳市第四中学张大海

东北育才学校徐滨滨

主审：沈阳市教育研究院王孝宇

本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。考生作答时，将答案写在答题卡上，在本

试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定的区域内。

2.第1卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，

再选涂其他答案标号。第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效。

3.考试结束后，考生将答题卡交回。

第I卷(选择题共58分)

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知集合U={x|1<x<6,x∈N},A={2,3},B={2,4,5},则(CuA)∩B=()

A.{4,5}B.{2,3,4,5}C.{2}D.{2,4,5}

2.若复数是纯虚数，则实数a=()

A.B.C.D.

3.不等式的解集()

A.[1,3]B.(1,3)C.[-∞,1]D.[1,3]U(3,+∞)

4.样本数据5,7,4,6,12,10,11,9的第70百分位数为()

A.7B.9C.9.5D.10

5.抛物线y²=2px(p>0)的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线准线方程为()

A.x=-10B.C.x=-5D.

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6.若函数y=f(x)是y=aˣ(a>0且a≠1)的反函数，则函数y=f(2x-1)+3图象必过定点()

B.(1,4)D.(1,3)

7.已知在圆x²+y²-4x+2y=0内，过点E(1,0)的最长弦和最短弦分别是AC和BD,则四边形ABCD的

面积为()

A.3√5B.6√5C.2√15D.4√15

8.如果方程F(x,y)=0能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数，隐函数的求导方法

如下：在方程F(x,y)=0中，把y看成x的函数y=y(x),则方程可看成关于x的恒等式F(x,y(x)=0,

在等式两边同时对x求导，然后解出y'(x)即可.例如，求由方程x²+y²=1所确定的隐函数的导数y′,将方

程x²+y²=1的两边同时对x求导，则2x+2y·y=0(y=y(x)是中间变量，需要用复合函数的求导法则),

得,那么曲线xy+Iny=2在点(2,1)处的切线方程为()

A.x-3y+1=0B.x+3y-5=0C.3x-y-5=0D.2x+3y-7=0

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.下列结论正确的是()

A.若x<1,则函数的最小值为3

B.若x+2y=3,则2*+4的最小值为4√2

C.函数的最小值为3+2√2

D.若x>0,y>0,且x+2y=2,则xy的最大值为

10.已知事件A,B满足P(A)=0.5,P(B)=0.2,则下列结论正确的是()

A.若B≤A,则P(AB)=0.5B.若A与B互斥，则P(A+B)=0.7

C.若P(AB)=0.1,则A与B相互独立D.若A与B相互独立，则P(AB)=0.9

11.已知数列{aₙ}的前n项和为S,若a₁=2,an+1-2an+ana₄+1=0,则下列结论正确的是()

B.数列为等比数列

C.an+1<aD.

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第Ⅱ卷(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sinA=sinBcosC且c=2√3,,则

13.已知a>0,二项式的展开式中所有项的系数和为64,则展开式中的常数项为

14.已知球0内切于正四棱台(即球与该正四棱台的上、下底面以及侧面均相切),且该正四棱台的上、下

底面棱长之比为1:2,则球0与该正四棱台的体积之比为

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(本题满分13分)已知数列{a}是公差为2的等差数列，其前8项和为64,数列{b}是公比大于0的等

比数列b₁=3,b₃-b₂=18.

(1)求数列{aₙ},{b}的通项公式；

,求数列{c,}的前n项和Sn.

16.(本题满分15分)a=(2√3cosx,-1),b=(sinx,cos2x)且f(x)=a·b

(1)求函数y=f(x)的最小正周期；

(2)将函数y=f(x)图象上所有的点向左平移个单位后得到函数y=g(x)的图象，当x∈[0,,求

函数y=g(x)的值域；

(3)说明函数y=sinx的图象经过怎样的变换能得到函数y=f(x)的图象，写出一个变换过程.

17.(本题满分15分)如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形，PD⊥平面ABCD,

PD=CD=BD=2,E为PC的中点.

(1)证明：PA|平面BDE;

(2)求三棱锥P-BDE的体积；

(3)在棱AP上是否存在一点F,使得二面角F-BD-E正弦值为?若存在，求出

AF的长；若不存在，请说明理由.

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18.(本题满分17分)已知椭圆(a>b>0)的左右焦点分别为F、F₂,离心率,且过点

(1,

(1)求椭圆的标准方程；

(2)直线l、l过右焦点F₂,且它们的斜率乘积为·,设l、L₂分别与椭圆

交于点C、D和E、F.若M、N分别是线段CD和EF的中点；

(i)直线MN是否过定点?若是，求出定点坐标；若不是，请给出理由.

(ii)求△OMN面积的最大值.

19.(本题满分17分)已知随机变量ξ的取值为非负整数，其分布列为：

ξ012…n

PPoP₁P₂…Pn

其中p₁∈[0,1],且由ξ生成的函数为

(1)若ξ生成的函数为设事件A:当ξ为奇数时，求P(A)的值；

(2)现有编号为一和二的两个盒子，在盒一中有1个红球，在盒二中有2个蓝球和4个绿球(球的颜色不

同，其他完全相同).若随机选两个盒中的一个盒，再取出一个球，选择盒一的概率为.设随机变量ξ生

成的函数为其中p₁(i=1,2,3)分别对应取到红球、蓝球、绿球的概率.

请判断D(ξ)与f(1)+f'(1)-[f'(1)]²的大小关系；(f"(x)=[f'(x)])

(3)已知方程x+y+z=9(x,y,z∈N),用ξ表示一组解中最小的数，此时由ξ生成的函数记为t(x),

令g(x)=t'(x),求g(x)的极小值点.

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2026年沈阳市高中三年级教学质量监测(一)

数学

参考答案及评分标准

第1卷(选择题共58分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.A2.A3.B4.D5.C6.D7.C8.B

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.BCD10.BC11.BCD

第Ⅱ卷(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.413.15

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.解：(1)数列{aₙ}是公差为2的等差数列，其前8项的和为64,微信搜《高三答案公众号》获取全科

∴8a₁+28d=8a₁+56=64,解得a₁=1,……2分

∴aₙ=2n-1;…………4分

数列{bₙ}是公比q大于0的等比数列，b₁=3,b₃-b₂=18,

∴3q²-3q=18,解得q=3,…………………6分

∴bₙ=3”.………………………………8分

(2)由(1)得aₙ=2n-1,bₙ=3”,!

……………………9分

,……………10分

∴由①-②………1分

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...............…………12分

.……………………………13分

,…………3分

所以f(x)的最小正周期…………5分

(2)由题意可得，,……6分

已知,则2x∈[0,π],那么.…………7分

当,即时，取得最大值1,此时g(x)取得最大值2×1=2.…8分

当,即时，取得最小值,此时g(x)取得最小值………9分

所以，当时，函数g(x)的值域为[-1,2].…………………10分

……12分

再向右平单位长度

…………14分

………………………15分

答案2:…………………12分

……………………14分

………….15分

17.解：

(1)如图，连接AC,交BD于点0,则0为AC的中点.连接OE,

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因为E是PC的中点，所以0E//PA.

又0Fc平面BDE,PA女平面BDE,所以PA//平面BDE.……………3分

…………………………6分

(3)存在点F,使得二面角F-BD-E的正弦值

因为底面ABCD是菱形，PD⊥底面ABCD,AC,BDC平面ABCD,

所以AC⊥BD,PD⊥AC,PD⊥BD,故以0为坐标原点，分别以0A,OB所在直线为x,y轴，以过点0且

平行于PD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标

系Oxyz.……………………………8分

则A(√3,0,0),B(0,1,0),c(-√3,0,0),D(0,-1,0),P(0,-1,2),1,故DB=(0,2,0),EB=

,AP=(-√3,-1,2).

设AF=λAP=(-√3λ,-λ,22),λ∈[0,1],

则F(-√3λ+√3,-a,22),BF=(-√3λ+√3,-λ-1,2λ).

设平面BDE的法向量为m=(x₁,y₁,Z₁),

则y₁=0,令x₁=√3,.……………1分

设平面BDF的法向量为n=(x₂,y2,Z₂),

,即

则y₂=0,令x₂=2√3λ得z₂=3λ-3,故n=(2√3A,0,3λ-3).

因为二面角F-BD-E的正弦值

所以二面角F-BD-E的余弦值的绝对值

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化简得63λ²-54λ+11=0,解得.经检验都符合λ∈[0,1…………14分

因为AP=√2²+2²=2√2,所以,或…………15分

18.解：因为椭圆的离心率，且过点

可得微信搜《高三答案公众号》获取全科

………………2分

且c²=a²-b²,解得a²=2,b²=1,

所以椭圆的标准方程为……………………4分

(2)(i)由(1)知，椭圆可得F₂(1,0),

设直线l的方程为y=k(x-1),l₂的方程为且C(x₁,y₁),D(x₂,y₂),

联立方程组整理得(1+2k²)x²-4k²x+2k²-2=0,

所以…........-...................………………6分

因为M为CD的中点，所以.

,………………7分

同理可得1.…...........…………………8分

直线MN的方程为即……10分

所以直线MN过的定点为…………………………1分

注意：此题也可参考下面做法评分：

设l₁:x=my+1,且C(x₁,y₁)D(x₂,y₂)

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联立方程组消去x得

(m²+2)y²+2my-1=0

由韦达定理得-...................-.….......…………………6分

∵M为CD中点

同理……………………8分

直线MN的方程为

令y=0得

故MN过定点………………………………11分

(ii)由MN过的定点为

所以……………………12分

……………………………13分

……………………………15分

当且仅当时，即时，等号成立，………………………16分

所以△OMN的面积最大值为……………………17分

19.解：(1)由ξ生成的函数为

所以,……………………2分

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设事件A:ξ为奇数时，……………3分

(2)相等；证明如下：p(i=1,2,3)分别是取到红球、蓝球、绿球对应的概率，

故

即p₁+P₂+P₃=1,故po=0,

所以ξ生成的函数为,………………7分

故………………8分

……………9分

因为E(ξ)=p₁+2p₂+3p₃,f'(x)=P₁+2P₂x+3p₃x²,

所以E(ξ)=f'(1),故