1.1.2 空间向量的数量积运算（解析版）

1.1.2空间向量的数量积运算【考点梳理】考点一：空间向量的夹角1．定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．2．范围：0≤〈a，b〉≤π.，当〈a，b〉＝eq\f(π,2)时，a⊥b.考点二：空间向量的数量积定义已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．规定：零向量与任何向量的数量积都为0.性质①a⊥b⇔a·b＝0②a·a＝a2＝|a|2运算律①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.②a·b＝b·a(交换律)．③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).考点三：向量a的投影1．如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉eq\f(b,|b|)，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))．2．如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到eq\o(A′B′,\s\up6(→))，向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，eq\o(A′B′,\s\up6(→))的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．【题型归纳】题型一：空间向量的数量积的运算1．（2022秋·高二课时练习）设a、b为空间中的任意两个非零向量，有下列各式：①a2=a2；②a⋅其中正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用空间向量数量积的定义可判断①、②、③；利用空间向量数量积的运算律可判断④.【详解】对于①，a2对于②，向量不能作比值，即ba对于③，设a、b的夹角为θ，则a⋅对于④，由空间向量数量积的运算性质可得a−故选：B.【点睛】本题考查利用空间向量数量积的定义与运算性质判断等式的正误，属于基础题.2．（2022秋·全国·高二专题练习）已知在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°，则此平行六面体的对角线AC1的长为（

）．A．6 B．6 C．3 D．3【答案】B【分析】由题意画出平行六面体的图形，利用向量加法的三角形法则和空间向量的数量积运算即可求解.【详解】∵AC∴A==1+1+1+2(∴AC1=6，即AC故选：B3．（2022秋·河北石家庄·高二石家庄市第四十一中学校考阶段练习）已知a=4，空间向量e为单位向量，a,e=2π3，则空间向量A．2 B．−2 C．−12 【答案】B【分析】由空间向量a在向量e方向上的投影为a⋅【详解】由题意，|a|=4，|e则空间向量a在向量e方向上的投影为a⋅故选：B.题型二：求空间向量的数量积4．（2023·全国·高二专题练习）在三棱锥O−ABC中，∠AOB=∠AOC=∠BOC=60∘,OB=OC=2OA=2,E为OC的中点，则AEA．-1 B．0 C．1 D．3【答案】C【分析】由题意可得AE=【详解】因为∠AOB=∠AOC=∠BOC=60所以OC⋅OA⋅OA⋅因为AE=AE=1故选：C.

5．（2023·全国·高二专题练习）已知a，b，c均为空间单位向量，它们之间的夹角均为90∘，那么a−2bA．2 B．13C．14 D．6【答案】C【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律、垂直关系的向量表示求解作答.【详解】因为a，b，c均为空间单位向量，它们之间的夹角均为90∘，a所以|=|故选：C6．（2023·全国·高二专题练习）如图所示，平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，以顶点A．−1 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】选定基底，根据空间向量的加减运算表示出BD【详解】由题意得BD1=则B=1−1+1×1×cos故选：B题型三：空间向量的数量积的应用（夹角和模）7．（2023秋·全国·高二期中）如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，其中AB=2，AD=4，

A．9 B．29 C．47 D．4【答案】C【分析】由AC1=【详解】由ACAC因为底面ABCD是矩形，AB=2，AD=4，AA所以AC2=AC因为∠A所以AB所以2ACA故选：C.8．（2023·全国·高二专题练习）已知单位向量a，b，c中，a⊥b，a,c=A．5 B．5 C．6 D．6【答案】D【分析】根据题意，由空间向量的模长公式，代入计算，即可得到结果.【详解】因为a⊥b，a,c=b,则a=1+1+4−0+4×1×1×故选：D9．（2023·全国·高二专题练习）如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，AD=2，AA1=2A．−36 B．36 C．−【答案】B【分析】根据空间向量的基本定理和向量的数量积的定义即可求解.【详解】设AB=a，AD=因为a,b,结合a=2，b=2，c=2，∠BA所以a⋅b=0，a⋅c=则BC1=可得BC1⋅C=0−2−4+4=−2，BC1=b+c2CA1=4+4+4+0−4−4=2所以cosB又因为异面直线所成角的范围是0,π所以BC1与CA故选：B.题型四：空间向量的数量积的综合10．（2023秋·全国·高二随堂练习）已知正四面体O−ABC的棱长为1，如图所示，求：(1)OA⋅(2)(OA(3)OA+【答案】(1)1(2)1(3)6【分析】根据向量的线性运算法则，以及向量的数量积的运算公式，逐问运算，即可求解.【详解】（1）解：在正四面体OABC中，OA=OB=可得OA⋅（2）解：由向量的运算法则，可得(=(=1（3）解：由OA+11．（2024秋·高二课时练习）如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，E，F，G，分别为A1B1，CC1(1)用a，b，c表示EF，EG；(2)若AB=AC=AA1=2，AB⊥AC【答案】(1)EF=−12(2)14.【分析】（1）用空间向量的加减运算分别表示EF，EG，EF=EA1+A1F=（2）先把EF+2EG用a，b，c表示，然后平方，把向量的模和数量积分别代入，计算出结果后再进行开方运算求得【详解】（1）连结A1F.在直三棱柱ABC−A1B1C则EF=EG=（2）如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥底面ABC所以AA1⋅AB=EF+2EF+2EG212．（2022秋·高二课时练习）如图，在平行六面体ABCD−A'B'C'D'中，AB=4，AD=3，AA'=5，∠BAD=90°，∠BAA'(1)求AC(2)将EF用基向量AB,AD,AA【答案】(1)85(2)x+y+z=0【分析】（1）先由空间向量的几何意义得到AC'=AB+（2）利用空间向量的线性运算可求得EF=13AB−【详解】（1）因为AC'=AB+所以AC'2=A故AC（2）因为侧面BCC'B'是平行四边形，所以F是所以EF=EC'+故x=1所以x+y+z=0.【双基达标】一、单选题13．（2023秋·高二）已知a，b是异面直线，a⊥b，e1，e2分别为取自直线a，b上的单位向量，且m=2e1+3eA．−6 B．6 C．3 D．−3【答案】B【分析】由m⊥n，可得m⋅n=0，再将m【详解】因为a，b是异面直线，a⊥b，e1，e2分别为取自直线所以e1⊥e因为m⊥n，所以m⋅所以2ke12−8e故选：B14．（2023·全国·高二专题练习）平行六面体ABCD−A1B1C1DA．322 B．6 C．3 【答案】B【分析】由ABCD−A1B1C【详解】A===故选：B15．（2023·全国·高二专题练习）在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，A．−2 B．−1 C．1 D．【答案】B【分析】根据空间向量的线性运算法则可得MA=MC【详解】由图形可得MA=所以MA⋅由正方体性质可得MC⊥B1所以MA⋅又CB=1,B1C1所以MA⋅故选：B.

16．（2023·全国·高二专题练习）如图，已知四棱锥P−ABCD的各棱长均为2，则AP⋅BC=A．23 B．3 C．1 【答案】D【分析】依题意可得底面四边形ABCD为正方形，△PBC为边长为2的正三角形，根据AP=【详解】因为四棱锥P−ABCD的各棱长均为2，则四棱锥P−ABCD为正四棱锥，所以底面四边形ABCD为正方形，△PBC为边长为2的正三角形，所以AB⋅BC=0，PB因为AP=所以AP⋅故选：D17．（2023·全国·高二专题练习）如图所示，已知正四面体OABC的棱长为1，点E，F分别是OA，OC的中点．求下列向量的数量积：(1)OA(2)EF(3)OA【答案】(1)1(2)−(3)1【分析】（1）正四面体的每个面均为等边三角形，夹角为60°，再结合空间向量数量积的运算法则，得解；（2）由EF=（3）取AB的中点D，连接DO，DC，可推出(OA+OB)⋅(CA【详解】（1）OA（2）EF⋅（3）取AB的中点D，连接DO，DC，则OA+OB=2在△OCD中，DO=DC=32，由余弦定理知，cos∠ODC=所以(OA18．（2023·全国·高二专题练习）如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长是(1)求CD(2)求AO与CB的夹角的余弦值(3)判断AO与CD【答案】(1)a(2)6(3)垂直【分析】（1）利用数量积的公式可得；（2）先用AB,AD,AA1表示AO，利用数量积运算律可得AO⋅（3）利用数量积运算律得AO⋅CD1=0【详解】（1）正方体ABCD−A1B故CD（2）由题意知，AB⋅AO=AO=故AO⋅故cosAO（3）由题意，AB⋅AO=1故AO与CD【高分突破】一：单选题19．（2023·全国·高二专题练习）已知点P在棱长为2的正方体表面上运动，AB是该正方体外接球的一条直径，则PA⋅PB的最大值为（A．−2 B．−3 C．−1 D．0【答案】D【分析】根据空间向量的加减法运算和数量积的运算律求解.【详解】由题可得，正方体外接球的直径AB=2设O为正方体外接球的球心，则O为AB的中点，则有OA=−OB,且PA=−OA由于OP≤AB2故选:D.20．（2023·全国·高二专题练习）已知空间向量a=13，b=5，且a与b夹角的余弦值为−91365，则A．−91313b B．91313【答案】D【分析】根据题意和投影向量的概念计算即可求解.【详解】∵a=13，b=5，a与b∴a在b上的投影向量为a⋅故选：D．21．（2024秋·高二课时练习）空间有一四面体A-BCD，满足AD⊥AB，AD⊥AC，则所有正确的选项为（

）①DB⋅②若∠BAC是直角，则∠BDC是锐角；③若∠BAC是钝角，则∠BDC是钝角；④若AB<DA且AC<A．② B．①③ C．②④ D．②③④【答案】C【分析】由题意知AD⋅AB=0，AD⋅AC=0，DB⋅DC=DA+AB⋅DA+AC=DA2【详解】对于①，因为AD⊥AB，AD⊥AC，所以AD⋅AB=0则DB⋅对于②，若∠BAC是直角，则AB⋅DB所以∠BDC是锐角，故②正确；对于③，若∠BAC是钝角，设∠BAC=120°，AB=AD=AC=1，在△ABC中，由余弦定理可得：BC而DB=DC=2，所以在△DBC中，cos所以∠BDC为锐角，所以③不正确；对于④，DB⋅若AB<DA且AC<因为∠BAC∈0,DB→⋅DC故选：C.22．（2023·全国·高二专题练习）已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面边长AB=1，A．−12,0 B．−34,0【答案】B【分析】取AC1中点O，将所求数量积转化为PO2【详解】取AC1中点则PA⋅∵当P为侧面ABB1A1中点时，POmin又OA=12即PA⋅PC故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中的向量数量积问题的求解，解题关键是通过转化法将问题转化为向量模长最值的求解问题，进而通过确定向量模长的最值来确定数量积的取值范围.23．（2023·全国·高二专题练习）如图已知矩形ABCD,AB=1,BC=3，沿对角线AC将△ABC折起，当二面角B−AC−D的余弦值为−13时，则B与DA．1 B．2 C．3 D．10【答案】C【分析】过B和D分别作BE⊥AC，DF⊥AC，根据向量垂直的性质，利用向量数量积进行转化求解即可．【详解】解：过B和D分别作BE⊥AC，DF⊥AC，∵在矩形ABCD,AB=1,BC=3，∴AC=2∵S△ABC=∴BE=DF=3则AE=CF=12，即∵平面ABC与平面ACD所成角的余弦值为−1∴cos<EB∵BD=∴BD2=(则|BD即B与D之间距离为3，故选：C．二、多选题24．（2023·江苏·高二专题练习）已知四面体ABCD中，AB，AC，AD两两垂直，则以下结论中一定成立的是（

）A．AB+AC+ADC．AB+AC+AD【答案】ACD【分析】利用AB，AC，AD两两垂直，可得(AB+AC)⋅AD=0，对于A选项，两边平方化简后相等可判断A选项；对于B选项，将BC=【详解】由题意可知，AB，AC，AD两两垂直，所以(AB对于A选项，((AB+(AB+AC对于B选项，AB+AC+当AC2=AB对于C选项，(2AC对于D选项，AB⋅CD=AB⋅(所以AB⋅故选：ACD25．（2023·全国·高二专题练习）已知平行六面体ABCD−A1B1C1D1如图所示，其中AB=BC=2，AA1=3，∠BAD=∠A1AD=∠BAAA．EO=−23C．|EO|=3 【答案】AD【分析】由向量的线性运算和数量积的定义，化简求值.【详解】依题意，AAAA1⋅EO=EC|==4+1+1−2则|EOE=1故选：AD.26．（2024秋·高二课时练习）如图，已知四面体ABCD的所有棱长都等于2，E,F,G分别是AB,AD,DC的中点，则（

）A．AB⋅AC=2C．BC⋅EF=1【答案】ACD【分析】利用空间数量积运算法则计算出ABC三个选项中的结果；作出辅助线，证明出EF⊥FG，得到GF⋅【详解】由题意得：四面体ABCD为正四面体，故∠BAC=∠CBD=60°，故AB⋅因为E,F,G分别是AB,AD,DC的中点，所以FG//AC，EF//BD，且FG=12AC=1故GF⋅BC⋅取BD的中点H，连接AH,CH，因为△ABD,△BCD均为等边三角形，所以AH⊥BD，且CH⊥BD，因为AH∩CH=H，且AH,CH⊂平面ACH，所以BD⊥平面ACH，因为AC⊂平面ACH，所以BD⊥AC，EF⊥FG，故GF⋅故选：ACD27．（2023·全国·高二专题练习）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，M,N分别是A1B,BA．MN=13C．A1B⊥【答案】BD【分析】根据空间向量基本定理、空间向量模的公式，结合空间向量数量积运算性质逐一判断即可.【详解】因为BM=2A1M所以A1M=所以MN=因为a=b=c=1所以MN2所以MN=因为A1所以A1因为AB1=所以A因为A1所以A1B=所以BC所以cosA故选：BD.28．（2023秋·高二单元测试）已知平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=AD=2AB=2，ACA．B1M=−C．B1M=【答案】AC【分析】根据空间向量基底法相关性质进行图形关系运算与模的运算.【详解】如下图所示，B1由B1B===1所以B1

故选：AC29．（2023·全国·高二专题练习）已知正四面体ABCD的棱长为2，E、F分别是AB和CD的中点，下列说法正确的是（

）A．直线BD与直线AC互相垂直B．线段EF的长为2C．直线AB与平面BCD所成角的正弦值为6D．正四面体ABCD内存在点到四个面的距离都为6【答案】ACD【分析】取BD的中点P，连接CP,AP，证明BD⊥平面PAC，即可判断A；根据空间向量基本定理及数量积的运算律计算即可判断B；连接BF交CP于点O，则点O为点A在平面BCD上的投影，则∠ABF即为直线AB与平面BCD所成角的平面角，求出sin∠ABF即可判断C；利用等体积法求出正四面体ABCD【详解】对于A，取BD的中点P，连接CP,AP，因为AB=AD=CB=CD，所以AP⊥BD,CP⊥BD，又AP∩CP=P,AP,CP⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC，又AC⊂平面PAC，所以BD⊥AC，故A正确；对于B，∠BAC=∠BAD=∠CAD=πEF=−1则EF==1对于C，连接BF交CP于点O，连接OP，则O为△BCD的中心，则点O为点A在平面BCD上的投影，即OA⊥平面BCD，则∠ABF即为直线AB与平面BCD所成角的平面角，在Rt△AOB中，OB=23则sin∠ABO=即直线AB与平面BCD所成角的正弦值为63对于D，设正四面体ABCD的内切球的半径为r，则VA−BCD所以r=6所以正四面体ABCD内存在点到四个面的距离都为66故选：ACD.三、填空题30．（2023春·江苏淮安·高二江苏省郑梁梅高级中学校考阶段练习）四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面【答案】2【分析】根据空间向量基本定理，结合空间向量数量积的运算性质进行求解即可.【详解】如图所示：

因为AC所以AC1=故答案为：231．（2022秋·广东佛山·高二佛山市高明区第一中学校考阶段练习）如图所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC=120°，PA=AB=BC=6，则向量PB在向量BC上的投影向量是

.

【答案】1【分析】由余弦定理先求∠PBC，再由投影向量的概念求解【详解】在△ABC中，由余弦定理得AC2=A而PA⊥平面ABC，PA=AB=6，故PB=62，PC=12在△PBC中，PC即144=72+36−2×62×6×故向量PB在向量BC上的投影向量是6故答案为：132．（2023秋·高二课时练习）已知向量a，b满足a+b=a−2b，其中b是单位向量，则【答案】1【分析】由a+b=a−2b，求得【详解】∵b是单位向量，∴b=1∵a+b=化