1.2 空间向量基本定理（解析版）

1.2空间向量基本定理【考点梳理】考点一：空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．考点二：空间向量的正交分解1．单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．2．向量的正交分解由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk.像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．考点三：证明平行、共线、共面问题(1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.(2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.考点三：求夹角、证明垂直问题(1)θ为a，b的夹角，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).(2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0.知识点三：求距离(长度)问题eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\r(a·a)(eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\r(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))))．【题型归纳】题型一：空间向量基底概念1．（2023·全国·高二专题练习）若a,b,A．a+b,a−b,a 【答案】C【分析】根据空间基底的概念逐项判断，可得出合适的选项.【详解】对于A，a=12对于B，b=12对于C，假设向量a+b,即c=对于D，a+b+故选：C.2．（2023·全国·高二专题练习）已知a,b,c是空间的一个基底，若p=a+b，A．r=2b−3C．r=a+2【答案】A【分析】根据构成空间基底的条件对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A.设r=xp+y整理得，2b因为a,b,所以p，q与r构成一个基底.B.因为r=a−C.因为r=a+2D.设r=xp+y整理得，2a因为a,b,c是空间的一个基底，所以所以p，q与r不构成一个基底，排除D.故选：A3．（2023·全国·高二专题练习）若e1,e2,e3A．83 B．52 C．−1【答案】D【分析】由题意可知，向量OA、OB、OC共面，则存在实数x、y使得OC=xOA+yOB，根据空间向量的基本定理可得出关于x、y、【详解】因为向量OA=e1+e所以OA、OB、OC共面，故存在实数x、y使得OC=x即ke因为e1,e2,故选：D.题型二：空间基底表示向量4．（2022秋·北京·高二北京十五中校考期中）已知三棱锥O−ABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且OA=a，OB=b，OC=c，用a，b，

A．12b+C．12a−【答案】D【分析】运用向量的线性运算即可求得结果．【详解】因为OA=a，OB=所以MN=故选：D.5．（2023·全国·高二专题练习）在四面体O−ABC中，PA=2OP，Q是BC的中点，且M为PQ的中点，若OA=a，OB=b，A．16a+C．13a+【答案】A【分析】利用基底a,b,【详解】因为2OP→=

因为Q是BC的中点，所以OQ=因为M为PQ的中点，所以OM=12(OP+OQ故选：A.6．（2023秋·高二单元测试）如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且MN=12ON，AP=34AN，用向量OA，OB，OC表示A．14OA+C．14OA−【答案】A【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案.【详解】OP====1故选：A题型三：空间向量基本定理及其推论

7．（2023·全国·高二专题练习）在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，P是线段ACA．34 B．1 C．54 【答案】B【分析】取利用向量AB,AD,AA【详解】因为P是线段AC1上一点，且所以AP=2所以AP=又AC1=又因为AB所以AP=x所以x+z=23y+z=故选：B

8．（2023·江苏·高二专题练习）设O−ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG=3GG1，若OGA．1 B．43 C．34【答案】C【分析】取BC的中点E，连接AE，然后利用三角形法则以及三角形重心的性质和中线的性质即可求解．【详解】如图所示，取BC的中点E，连接AE，因为OG=3GG所以OG=3=34OA+1所以x+y+z=3×1故选：C．9．（2022秋·广东揭阳·高二普宁市第二中学校考期中）如图，在三棱锥O−ABC中，点G为底面△ABC的重心，点M是线段OG上靠近点G的三等分点，过点M的平面分别交棱OA，OB，OC于点D，E，F，若OD=kOA,OE=mA．29 B．23 C．32【答案】D【分析】由空间向量基本定理，用OA，OB，OC表示OM，由D，E，F，M四点共面，可得存在实数λ,μ，使【详解】由题意可知，OM=因为D，E，F，M四点共面，所以存在实数λ,μ，使DM=λOM−OM=(1−λ−μ)(1−λ−μ)k=29λm=故选：D题型四：空间向量基本定理的综合应用10．（2023秋·湖北·高二赤壁一中校联考开学考试）如图，正三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=2AC=2

(1)试用a，b，c表示BM；(2)求异面直线BM与A1【答案】(1)BM=(2)11【分析】（1）根据题意结合空间向量的线性运算求解；（2）根据空间向量的线性运算可得A1C=b+c，再结合数量积的运算律可得【详解】（1）因为B1所以BM=BB（2）因为A1且a=b=1，c=2，可得A1BM=A1则cosA所以异面直线BM与A1C角的余弦值为11．（2023春·甘肃白银·高二校考期中）如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，M，N分别是A1B,B(1)试用a，b，c表示向量MN；(2)若∠BAC=90°,∠BAA1=∠CA【答案】(1)MN(2)5【分析】（1）利用空间向量的线性运算即可求解.（2）根据空间向量的数量积以及向量模的求法即可求解.【详解】（1）解：MN==−=1∴MN=（2）解：∵AB=AC=AA∵∠BAC=90°,∴a∴a∴|MN|2∴|MN即MN的长为5312．（2022秋·广东佛山·高二校联考期中）如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，点M是线段A1

(1)求满足MN=xAB+yAD+zAA(2)求MN的长．【答案】(1)x=(2)37【分析】（1）利用空间向量的线性运算求出MN=（2）化简MN2【详解】（1）MN=所以x=1（2）MN所以MN2所以|MN|=376，即【双基达标】一、单选题13．（2023秋·全国·高二）已知a,b,A．a+b,C．2a+b【答案】B【分析】根据空间基底的概念，结合选项，判断每组向量是否共面，即可求解.【详解】对于A中，由a−c=对于B中，假设a+2b,b,即a+2b=μa+λb−μ对于C中，由a+b+对于D中，由a+c=故选：B.14．（2023·全国·高二专题练习）已知正方体ABCD−A'B'C'D'，点E是A'C'A．AA'+C．12AA【答案】D【分析】根据空间向量的线性运算直接求解即可.【详解】如图所示，

∵AF=1∴AF=1故选：D.15．（2023·全国·高二专题练习）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥P−ABCD为阳马，PA⊥平面ABCD，且EC=2PE，若DE=xAB+yAC+zA．1 B．2C．13 D．【答案】A【分析】根据向量线性运算，以AB,AC,AP为基底表示出【详解】∵EC=2PE，∴PE∴==2∴x=1，y=−23，z=2故选：A.16．（2023秋·全国·高二期中）如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，P是CA1的中点，点Q在CA

A．QP=310C．QP=310【答案】C【分析】利用空间向量的线性运算即可求解.【详解】因为P是CA所以AP=又因为点Q在CA1上，且所以AQ=1所以QP=故选：C.17．（2023春·云南楚雄·高二校考阶段练习）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，BC1与B1C相交于点O，∠A1AB=∠A．472 B．C．382 D．【答案】A【分析】利用空间向量的数量积求模即可.【详解】由图形易得AO=所以AO2=即AO=47故选：A18．（2024秋·高二课前预习）下列说法正确的是（

）A．若向量a、b共线，则向量a、b所在的直线平行．B．若a、b、c是空间三个向量，则对空间任一向量p，总存在唯一的有序实数组x,y,z，使p=xC．若向量a、b所在的直线是异面直线，则向量a、b一定不共线．D．若三个向量a、b、c两两共面，则三个向量a、b、c一定共面．【答案】C【分析】根据空间向量的相关概念以及空间向量基本定理分析判断.【详解】对于A：若向量a、b共线，则向量a、b所在的直线平行或重合，故A错误；对于B：根据空间向量基本定理可知，此时a、b、c应是空间三个不共面的向量，故B错误；对于C：反证：若向量a、b共线，则向量a、b所在的直线平行或重合，这与向量a、b所在的直线是异面直线相矛盾，故C正确；对于D：若三个向量a、b、c两两共面，则三个向量a、b、c不一定共面，例如a、b、c所在的直线为三棱锥的三条侧棱，故D错误；故选：C.19．（2023·全国·高二假期作业）平面α内有五点A，B，C，D，E，其中无三点共线，O为空间一点，满足OA=12OB+xOC+yOD，A．56 B．76 C．53【答案】B【分析】根据四点共面的条件逐项判断即可求得结论．【详解】空间向量共面定理，OM=xOA+yOB+zOC，若A，B，由点A，B，C，D共面得x+y=1又由点B，C，D，E共面得2x+y=2联立①②，解得x=1所以x+3y=故选：B20．（2023·全国·高二专题练习）如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E,G分别是AB,CD的中点．设AB=a,

【答案】证明见解析【分析】先EG将用−12a【详解】证明：

因为空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，所以△ABC,△ABD都为等边三角形，所以∠BAC=∠BAD=πEG=AB=−=−=−=0故EG⊥AB.21．（2023·全国·高二专题练习）如图，四棱锥P−OABC的底面OABC是矩形，PO⊥平面OABC，设OA=a，OC=b，OP=c，E，F分别是PC，PB的中点，试用{a

【答案】BF=−12a−12【分析】连接BO，根据向量的加法、减法、数乘运算求解即可.【详解】连接BO，则BF=BE=BCAE=

【高分突破】22．（2023·全国·高二专题练习）在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=1A．1 B．2 C．3 D．2【答案】C【分析】根据图形，利用向量的加法法则得到BD【详解】以AB,AD,则B=1+2+2−2×=5−4×1∴BD故选：C.23．（2023春·广东佛山·高二南海中学校考阶段练习）在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，已知AB=4，AD=3，AAA．10.5 B．12.5C．22.5 D．42.5【答案】A【分析】将AB,AD,【详解】由题意得AC=AB+因为AB=4，AD=3，AA1=5，∠BAD=90°所以AC=−=−=−16+4×5=−16+10+9+7.5=10.5，故选：A24．（2023·江苏·高二专题练习）如图所示，在平行六面体ABCD−A'B'C'D'中，AB=1，AD=2，AAA．5 B．23 C．5 D．13【答案】B【分析】由向量AC'=【详解】解：∵A∴A∵AB=1，AD=2，AA'=3，∴A∴AC'=23，即故选：B.25．（2023秋·山东枣庄·高二统考期末）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为1，且PA与AB，AD的夹角都等于60°.若M是PC的中点，则BM=（

A．34 B．34 C．33【答案】D【分析】根据空间向量基本定理得到BM=12【详解】因为M是PC的中点，所以BM=所以BM=因为PA的长为1，且PA与AB，AD的夹角都等于60°．所以BM=3所以BM=故选：D26．（2023·全国·高二专题练习）如图，在三棱锥O−ABC中，点G为底面△ABC的重心，点M是线段OG上靠近点G的三等分点，过点M的平面分别交棱OA，OB，OC于点D，E，F，若OD=kOA，OE=mOB，OF=nA．133 B．23 C．32【答案】D【分析】由空间向量基本定理，用OA，OB，OC表示OM，由D，E，F，M四点共面，可得存在实数λ,μ，使【详解】由题意可知，OM=因为D，E，F，M四点共面，所以存在实数λ,μ，使DM=λ所以OM−所以OM=(1−λ−μ)所以(1−λ−μ)k=2所以1k故选：D二、多选题27．（2023·全国·高二专题练习）设a,b,A．a，b，c两两不共线，但两两共面B．对空间任一向量p，总存在有序实数组x,y,z，使得pC．a，a−c，D．若xa+yb+zc=0【答案】ABD【分析】根据空间向量基本定理一一判断即可.【详解】因为a,b,c构成空间的一个基底，所以a，对空间任一向量p，总存在有序实数组x,y,z，使得p=x因为a−c+a+c=2根据空间向量基本定理可知，若xa+yb+zc=0故选：ABD28．（2024秋·高二课时练习）如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AC与BD交于O点，且A．AC1⊥BDC．BD1=【答案】AB【分析】由向量的分解和向量数量积公式、向量的求模公式即可判断.【详解】如图，由题意得，AB2=AB⋅AB⋅AD⋅对于选项A，A===−所以AC1⊥故选项A正确.对于选项B，B==AD⋅故选项B正确.对于选项C，B==16+25+16+20−16−20=41所以BD1故选项C错误.对于选项D，O故选项D错误.故选：AB29．（2023秋·江苏常州·高二常州市第一中学校考期末）下列命题中，正确的命题有（

）A．a+b=a−B．对空间中任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OP=2OA−4OB+3OC，则P，C．若a∥b，则存在唯一的实数λD．若a,b,【答案】BD【分析】对于选项A：根据向量的模相等关系，结合充要条件判断；对于选项B：利用共面向量定理判断；对于选项C：利用平面向量的基本定理判断；对于选项D：根据空间向量的基底判断.【详解】对于选项A：当a+b=a−b时，a，b共线，但当a，b同向共线，a+对于选项B：若OP=2OA−4OB+3OC，而2−4+3=1，根据共面向量定理得P，对于选项C：当b=0时，a∥b，不存在唯一的实数对于选项D：若a,b,c为空间的一个基底，则a,故选：BD.30．（2023·全国·高二专题练习）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM=2A1M，C1A．MN=13C．AB1⊥【答案】BD【分析】利用向量的线性运算的几何表示，向量数量积的定义及运算律逐项分析即得.【详解】因为BM=2A1M所以A1M=所以MN=故A错误；因为a=b=c=1所以MN2所以MN=因为AB1=所以AB因为AB12因为BC所以BC所以cosA故选：BD.31．（2023秋·全国·高二阶段练习）下列命题不正确的是（

）A．若A，B，C，D是空间任意四点，则有AB+BCB．“a−b=C．若a,b共线，则a与D．对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若OP=xOA+yOB+zOC(其中x、y、z∈R)，则P、【答案】BCD【分析】根据向量的多边形法则可知A正确；根据向量的三角不等式等号成立条件可知，B错误；根据共线向量的定义可知，C错误；根据空间向量基本定理的推论可知，D错误．【详解】对A，四点恰好围成一封闭图形，根据向量的多边形法则可知，正确；对B，根据向量的三角不等式等号成立条件可知，a,b同向时，应有对C，根据共线向量的定义可知，a,对D，根据空间向量基本定理的推论可知，需满足x+y+z=1，才有P、A、B、C四点共面，错误．故选：BCD．32．（2023春·高二课时练习）如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为A1C1A．AC1=C．AA1⋅【答案】AC【分析】根据空间向量的线性运算计算即可判断AB；根据向量数量积的运算律计算即可判断C；根据向量的模及数量积的运算律即可判断D.【详解】解：由AC由M为A1所以BM=由BD=所以AA由AC故选：AC.三、填空题33．（2023秋·高二课时练习）设a，b，c是三个不共面的向量，现在从①a+b；②a−b；③a+c；④b+c；⑤【答案】③④⑤【分析】利用空间向量基本定理即可求出结果.【详解】根据空间向量基本定理知，构成基底只要三个向量不共面即可，故①②不合题意，又a，b，c是三个不共面的向量，故只要含有向量c即可，故③④⑤都可以.故答案为：③④⑤.34．（2023秋·全国·高二随堂练习）在如图所示的平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，已知AB=AA1=AD，∠BAD=∠DAA1=60°，

【答案】3−1/【分析】设AB=a，AD=b，AA1=c，以a,【详解】设AB=a，AD=则a,设AB=1，因为BD⊥AN，所以BD⋅因为BD=AD−所以b−a⋅即12+λ−3故答案为：3−135．（2023春·江苏扬州·高二统考期中）如图，已知平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=4

【答案】11【分析】用AB,AD,AA1表示出【详解】AB=AD=1，AA1∴AB2=AD2AB⋅AM=∴A∴AM=11故答案为：1136．（2023春·四川德阳·高二统考期末）已知点P为棱长等于1的正方体ABCD−A1B1C1D1内部一动点，且PA=1【答案】90∘/【分析】取线段C1D1的中点E，可得出PC1⋅PD1=PE2−【详解】取线段C1D1的中点E，则P因为PA=1，所以P在以A

所以，PC当A、P、E三点共线时，PC此时PEmin此时PC所以PD1⊥PC1，所以P故答案为：90∘37．（2023·全国·高二专题练习）如图，E、F、G分别是正方体ABCD−A1B1C1D1的棱AD、AB、CD的中点，H是AC1【答案】1【分析】设AH=λAC1，其中0≤λ≤1，将EF、EH、GC1用基底AB,AD,AA1表示，分析可知GC1、EF、EH共面，则存在m、【详解】设AH=λAC1，其中EH=GC因为GC1//平面EFH，则GC1、EF、EH所以，存在m、n∈R，使得EH=m即λ=1因为AB,AD,AA因此，AH=1故答案为：1.四、解答题38．（2023春·江苏连