1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 解析版

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系【考点梳理】考点一：空间中点、直线和平面的向量表示1.空间中点的位置向量如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量eq\o(OP,\s\up6(→))来表示．我们把向量eq\o(OP,\s\up6(→))称为点P的位置向量．2.空间中直线的向量表示式直线l的方向向量为a，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋ta，①把eq\o(AB,\s\up6(→))＝a代入①式得eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))，②①式和②式都称为空间直线的向量表示式．3.空间中平面的向量表示式平面ABC的向量表示式：空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→)).我们称为空间平面ABC的向量表示式．考点二：空间中平面的法向量平面的法向量如图，若直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称a为平面α的法向量；过点A且以a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·eq\o(AP,\s\up6(→))＝0}．考点三：空间中直线、平面的平行1.线线平行的向量表示设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2.2.线面平行的向量表示设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0.面面平行的向量表示设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2.考点四：空间中直线、平面的垂直1.线线垂直的向量表示设u1，u2分别是直线l1,l2的方向向量，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.2.线面垂直的向量表示设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn.知识点三面面垂直的向量表示设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0.【题型归纳】题型一：平面的法向量的求法1．（2023春·江西赣州·高二校考）已如点，，者在平面内，则平面的一个法向量的坐标可以是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设出法向量，利用向量垂直得到方程组，取求出，与共线的向量也是法向量，得到答案.【详解】由，，，得，，设是平面的一个法向量，则即,取，则，故，则与共线的向量也是法向量，经验证，只有C正确..故选：C．2．（2023春·江苏镇江·高二江苏省镇江中学校考期末）已知向量，则平面的一个法向量（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据法向量的定义逐项分析判断.【详解】对于选项A：若，则，可得，所以可以是平面的一个法向量，故A正确；对于选项B：若，则，可得与不垂直，所以不是平面的一个法向量，故B错误；对于选项C：若，则，可得与不垂直，所以不是平面的一个法向量，故C错误；对于选项D：若，则，可得与不垂直，所以不是平面的一个法向量，故D错误；故选：A.3．（2023·全国·高二专题练习）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，.若建立如图所示的“空间直角坐标系，则平面的一个法向量为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，设，可得、、的坐标，由此可得向量、的坐标，由此可得关于、、的方程组，利用特殊值求出、、的值，即可得答案．【详解】根据题意，设，则，，，则，，设平面的一个法向量为，则有，令，可得，则.故选：B．题型二：空间中直线、平面的平行4．（2023秋·高二单元测试）已知直线平面，且的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则实数的值为（

）A．2或 B． C．3 D．或3【答案】A【分析】由直线平面，所以求解.【详解】因为直线平面，所以或，故选：A.5．（2023·全国·高二专题练习）如图，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，，若平面，则（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】如图所示，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，求得平面EFC的一个法向量为，设，得，根据平面EFC，即可求解.【详解】如图所示，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，由题意可得,，则,所以，设平面EFC的法向量为，则，解得，令，则，所以平面EFC的一个法向量为.因为平面EFC，则，设，则，所以，解得，所以，即.故选：C6．（2023·全国·高二专题练习）在正方体中，点P为线段上的动点，M，N分别为棱的中点，若平面，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意建立空间直角坐标系，利用空间向量的运算，求解法向量即可由，解得的值，即可得解的值．或者，根据线面平行的性质可得线线平行，根据相似即可求解.【详解】方法1：如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体边长为2，可得，，，，，，设，，可得,,，可得,,，可得,,，,设平面法向量为，，，可得，可得，令，可得，由于平面，则，可得，解得，即．方法2：连接,交于点,则,连接,延长DP交B1D1于G,由于平面，平面,且平面平面,所以,设正方体的棱长为1，则,故直角三角形中，,所以，所以,由,所以四边形为平行四边形，所以根据,故故选：A题型三：空间中直线、平面的垂直7．（2023秋·高二单元测试）已知直线的方向向量，平面的法向量，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据空间向量平行的坐标关系即得.【详解】由题可得，所以可设，所以，所以.故选：C.8．（2023秋·全国·高二随堂练习）已知，，，若，且平面，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由可得出可求得的值，由平面，可得出，可得出关于实数、的方程组，进而可解得实数、的值，由此可得出向量的坐标.【详解】，，，则，解得，，平面，、平面，所以，，，则，解得，因此，.故选：D.【点睛】本题考查利用向量垂直、线面垂直求参数，考查计算能力，属于中等题.9．（2023春·高二课时练习）如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱，的中点，为面对角线上的一点，且,若平面，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立以为坐标原点，为轴，为轴，为轴的空间直角坐标系，则有，,由平面,可得,从而有,代入计算即可得答案.【详解】解：以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则,所以，由,可得，所以,平面,所以,所以,即，解得，当为线段上靠近的四等分点时，平面.故选:.题型四：空间向量研究直线、平面的位置综合问题10．（2023秋·高二课时练习）如图所示，在底面是矩形的四棱锥中，⊥底面，E，F分别是的中点，，.

求证：(1)平面；(2)平面⊥平面.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,利用，得到，根据线面平行的判定定理即可证明；（2）利用向量的坐标运算得到，从而得到平面，再根据面面垂直的判定定理即可证明.【详解】（1）以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，,，，，∴，，，，，，.，，即，又⊂平面，平面，∴平面.（2），，∴，即又平面，平面，∴平面.∵平面，∴平面⊥平面.11．（2023秋·高二单元测试）如图，在直三棱柱中，，点D是AB的中点．求证：

(1)；(2)平面.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据空间向量法证明两个向量垂直.（2）利用空间向量法结合线面平行的判定定理得出结果.【详解】（1）∵直三棱柱ABC­A1B1C1，，因为，所以.

∴两两垂直．如图，以C为坐标原点，直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则，，，.（2）设与的交点为E，则.，，.平面.平面，∴平面.12．（2023秋·高二单元测试）如图，在多面体中，四边形是正方形，，且，二面角是直二面角．

(1)求证：平面；(2)求证：平面.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）证明两两垂直，建立空间直角坐标系，确定平面的法向量，根据空间位置关系的向量证法，即可证明结论；（2）求出平面的法向量，根据空间位置关系的向量证法，即可证明结论；【详解】（1）证明：由二面角是直二面角，四边形为正方形，则，平面，平面平面,可得平面ABC.又因为，所以，所以，即，所以两两垂直，以A为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则知点，，，，由于两两垂直，平面，即平面，故平面的一个法向量可取为，而，即，所以平面.（2）证明：由（1）知，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，即，所以，所以，又因为平面，所以平面.【双基达标】一、单选题13．（2023秋·高二课时练习）若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，则的值是（

）A．－3 B．－4C．3 D．4【答案】A【分析】根据两平面平行得到两法向量平行，进而得到方程组，求出，得到答案.【详解】∵，∴，故存在实数，使得，即，故，解得，∴.故选：A14．（2023秋·高二课时练习）已知平面内的两个向量，，则该平面的一个法向量为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用法向量的定义、求法进行计算.【详解】显然与不平行，设该平面的一个法向量为，则有，即，令，得，所以，故A,B错误，令，得，则此时法向量为，故D错误.故选：C.15．（2023秋·吉林通化·高二校考阶段练习）已知空间中三点，，，则（

）A．与是共线向量B．的单位向量是C．与夹角的余弦值是D．平面的一个法向量是【答案】D【分析】根据共线向量、单位向量、空间向量夹角公式、法向量的性质逐一判断即可.【详解】对于A，由，，，所以与不共线，所以A错误；对于B，的单位向量为，所以B错误；对于C，，所以，所以C错误；对于D，设平面的法向量是，则，将，，代入验证满足方程组，所以D正确．故选：D16．（2023秋·高二课时练习）如图，在正三棱柱中，是的中点，求证：平面．【答案】证明见解析【分析】构建空间直角坐标系，设正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，写出相关点坐标，求面的法向量、的坐标，判断、的位置关系，即可证结论.【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，则，，所以．设面法向量为，则，令，则．由于，因此，平面，所以．17．（2023秋·高二课时练习）如图，在矩形ABCD中，，P，Q分别为线段AB，CD的中点，平面ABCD.

(1)求证：∥平面CEP；(2)求证：平面平面DEP.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）建系，利用空间向量可得∥，进而结合线面垂直的判定定理分析证明；（2）利用空间向量可得，进而结合线面垂直、面面垂直的判定定理分析证明.【详解】（1）因为P，Q均为AB，DC的中点，则∥，所以，且平面ABCD，故以P为坐标原点，以PA、PQ、PE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图．

设，，则，因为，则，所以∥，即∥，且平面EPC，平面EPC，所以∥平面EPC.（2）因为，则，则，，可得，且，平面EPD，所以平面EPD.又因为平面AEQ，所以平面平面DEP.【高分突破】一、单选题18．（2023秋·高二课时练习）如图所示，在正方体中，E是棱DD1的中点，点F在棱C1D1上，且，若∥平面，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求平面的法向量，根据线面平行可得，运算求解即可.【详解】如图所示，以A为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则，可得，设是平面的法向量，则，令，则，即，由，且，可得，又因为，则，由∥平面，可得，解得.故选：C.19．（2023秋·新疆·高二校联考期末）《九章算术》是我国古代数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马中，平面，底面是矩形，分别为的中点，，，若平面，则（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，根据法向量的求法可求得平面的法向量，由可求得结果.【详解】以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

设，则，，，，，，，，，设平面的法向量，则，令，解得：，，；，又平面，，，解得：.故选：C.20．（2023·全国·高二专题练习）如图，在正三棱锥D-ABC中，，，O为底面ABC的中心，点P在线段DO上，且，若平面PBC，则实数（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由正棱锥的结构特征构建空间直角坐标系，根据已知条件确定相关点坐标并求出面PBC的法向量，结合线面平行及向量共线定理求参数即可.【详解】由题设，△为边长为的等边三角形，且，等边△的高为，在正棱锥中，以为原点，平行为x轴，垂直为y轴，为z轴，如上图示，则，且，所以，，，若为面PBC的法向量，则，令，则，又平面PBC，则且k为实数，，故.故选：D21．（2023·全国·高二专题练习）如图，在正方体中，分别为所在棱的中点，为下底面的中心，则下列结论中正确的是（

）①平面平面

②

③

④平面A．①② B．①②④ C．②③④ D．①④【答案】B【分析】对于①，根据题意得，，平面，得，得平面，又由，对于②③，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，根据空间向量法即可解决；对于④，由①中得，，，得，即可解决.【详解】由题知，在正方体中，分别为所在棱的中点，为下底面的中心，如图，连接，所以，，平面，所以，因为平面，所以平面，因为在中，分别为中点，所以，所以平面，因为平面所以平面平面，故①正确，由题知，两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，因为分别为所在棱的中点，为下底面的中心，所以，所以，因为，所以成立，不成立；故②正确，③错误；又由①中得，，，所以，因为平面，平面，所以平面，故④正确，故选：B22．（2023春·江西宜春·高二上高二中校考阶段练习）如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且四个顶点在同一平面内，下列结论：①平面；②平面平面；③；④平面平面，正确命题的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根据题意，以正八面体的中心为原点，分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系，由空间向量的坐标运算以及法向量，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】以正八面体的中心为原点，分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系，设正八面体的边长为,则所以，,设面的法向量为，则，解得，取，即又，所以，面，即面，①正确；因为，所以，又，面，面，则面，由，平面，所以平面平面，②正确；因为，则，所以，③正确；易知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，因为，所以平面平面，④正确；故选：D23．（2023·全国·高二专题练习）在长方体中，，，，，分别是棱，，上的点，且，，，是平面内一动点，若直线与平面平行，则的最小值为（

）A． B．17 C． D．【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面MPN的法向量，设出，根据求出，计算出，得到最小值.【详解】以D作坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则，设平面MPN的法向量为，则，令，则，故，设，则，因为直线与平面平行，所以，，因为，所以，故，故当时，取得最小值，最小值为.故选：A二、多选题24．（2023秋·全国·高二随堂练习）（多选）已知平面内两向量，且，若为平面的一个法向量，则（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】利用空间向量的线性运算、数量积运算的坐标形式以及法向量的性质计算求解.【详解】，由为平面的一个法向量，得得解得故B，D错误.故选：AC.25．（2023秋·高二课时练习）（多选）已知平面内两向量，且，若为平面的一个法向量，则（）A． B．C． D．【答案】AC【分析】先根据空间向量的坐标运算求出，再根据数量积的坐标表示即可得解.【详解】，由为平面的一个法向量，得，解得.故选：AC.26．（2023秋·高二课时练习）如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，得出如下四个结论，其中正确的是（

）

A．B．C．D．平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直【答案】ABC【分析】根据面面垂直的性质定理可得平面，建系，利用空间向量的坐标运算逐项分析判断.【详解】因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，建立以D为坐标原点，以DB、DC、DA所在直线为x、y、z轴的空间直角坐标系，设斜边，则，

可得，对于选项A：，故A正确；对于选项B：，则，故B正确；对于选项C：，则，故C正确；对于选项D：因为平面ADC的一个法向量为向量，设平面ABC的法向量为，则，令，则，可得，则，平面ADC的法向量和平面ABC的法向量不是互相垂直，故D错误．故选：ABC.27．（2023春·江苏连云港·高二统考期末）在棱长为2的正方体中，为的中点，点在正方体的面内（含边界）移动，点为线段上的动点，设，则（

）A．当时，平面B．为定值C．的最小值为D．当直线平面时，点的轨迹被以为球心，为半径的球截得长度为1【答案】ABD【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和直线的方向向量可判断A；利用等体积法即可判断B；由两点间的距离公式求出，由二次函数的性质可判断C；根据面面平行的判定定理知点轨迹为线段，即可求出的轨迹被以为球心，为半径的球截得长度即可判断D.【详解】对于A，以为原点，以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，

因为正方体的棱长为2，所以，，，，，，则，，设平面的一个法向量为，则,取，则，因为，所以，所以，，因为平面，所以平面，故A正确；对于B，设点到平面的距离为，

则所以，因为点在正方体的面内（含边界）移动，又因为平面平面，所以点到平面的距离为定值，又因为为定值，所以三棱锥的体积为定值，故B正确；对于C，设，，所以，所以，所以，则，故C错误；对于D，连接，由正方体的性质知，，平面，平面，所以平面，，平面，平面，所以平面，，所以平面平面，因为点在正方体的面内（含边界）移动，当，则平面，则平面，则点轨迹为线段，取中点，连接，而△为等边三角形，则，以A为球心，为半径的球截的长度为，故D正确；

故选：ABD.【点睛】方法点睛：立体几何中的动态问题：①几何法：根据图形特征，寻找两点之间的距离的范围；②坐标法：建立空间直角坐标系，利用坐标求范围.三、填空题28．（2023秋·高二课时练习）若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则直线l与平面的位置关系是．【答案】或【分析】由，可得，即可得出直线l与平面的位置关系．【详解】因为，所以.所以或.故答案为：或．29．（2023秋·高二单元测试）在空间直角坐标系中，已知，若平面的一个法向量为，则直线的一个方向向量为．【答案】【分析】由已知求出，再由平面的一个法向量为，可得，求出，从而可求出直线的一个方向向量.【详解】，又平面的一个法向量为，，解得，∴直线的一个方向向量为．故答案为：30．（2023春·江苏常州·高二统考期中）如图，三棱柱的各条棱长均为是2，侧棱与底面ABC所成的角为60°，侧面底面ABC，点P在线段上，且平面平面，则．

【答案】【分析】取中点，连接，，由已知可得，，两两垂直，以为坐标原点，，，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，求得平面与平面的一个法向量，可求得结论．【详解】侧面底面，则点在平面上的射影在直线上，为直线与底面所成的角，，三棱柱的各条棱长均为2，是等边三角形，取中点，连接，，则，∵侧面底面，侧面底面，面，所以面，如图所示，以为坐标原点，建立的空间直角坐标系，则，故，设，则，设平面的一个法向量为，则，令，则，，平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则，令，则，，平面的一个法向量为，平面平面，∴，，，．故答案为：．【点睛】关键点点睛：取中点，证明，，两两垂直，是解决本题的关键.31．（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）如图，点在长方体内部运动，点在棱上，且，动点满足为棱的中点，为线段的中点，若，则动点到平面距离的最小值为.

【答案】/【分析】以点为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，，由可得点在正方体内部且以为球心，2为半径的球面上运动，动点到平面距离的最小值为动点到平面距离的最小值的，求解即可.【详解】以点为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，设，，解得，点在正方体内部且以为球心，2为半径的球面上运动，因为为线段的中点，则动点到平面距离的最小值即为动点到平面距离的最小值的，，，，，，所以，，即，，又，平面，所以平面，为线段的中点，则动点到平面距离的最小值为.故答案为：【点睛】关键点睛：本题的关键点在于求出点的轨迹，由题意可证得平面则可知动点到平面距离的最小值即为动点到平面距离的最小值的，求出，即可得解.四、解答题32．（2023春·福建漳州·高二统考期末）如图所示的几何体中，平面平