1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 原卷版

1．4.2用空间向量研究距离、夹角问题【考点梳理】考点一：空间向量中的距离问题1.点P到直线l的距离已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量eq\o(AP,\s\up6(→))在直线l上的投影向量为eq\o(AQ,\s\up6(→))＝a，则点P到直线l的距离为eq\r(a2－a·u2)2.点P到平面α的距离设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|)．考点二：空间向量中的夹角问题角的分类向量求法范围两条异面直线所成的角设两异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cosθ＝|cos〈u，v〉|＝eq\f(|u·v|,|u||v|)eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))直线与平面所成的角设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos〈u，n〉|＝eq\f(|u·n|,|u||n|)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))两个平面的夹角设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))【题型归纳】题型一：点到直线平面的距离的向量求法1．（2023春·江苏徐州·高二徐州高级中学）空间中有三点，则点到直线的距离为（

）A． B． C． D．2．（2023秋·全国·高二随堂练习）在三棱锥中，底面，则点到平面的距离是（

）A． B． C． D．3．（2023春·高二单元测试）如图，在三棱锥中，PA⊥平面ABC，，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，.

(1)求直线PA与平面DEF所成角的正弦值；(2)求点P到平面DEF的距离；(3)求点P到直线EF的距离．题型二：平行平面的距离的向量求法4．（2023·全国·高二专题练习）在边长为1的正方体中．平面与平面之间的距离为（

）A． B．1 C． D．5．（2023秋·全国·高二随堂练习）正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为.6．（2022·高二单元测试）如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，点M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，（1）证明：平面AMN∥平面EFBD；（2）求平面AMN与平面EFBD间的距离．题型三：异面直线夹角的向量求法7．（2023春·广东深圳·高二深圳外国语学校校考阶段练习）在正方体中，分别为的中点，为侧面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．8．（2023春·河北石家庄·高二正定中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为正方形，，E为AP的中点，则异面直线PC与DE所成的角的余弦值为（

）

A． B． C． D．9．（2023春·云南保山·高二校联考阶）如图，设在直三棱柱中，，，E，F依次为的中点．

(1)求异面直线、EF所成角的余弦值；(2)求点到平面AEF的距离．题型四：线面角的向量求法10．（2023·浙江温州·高二统考学业考试）如图，在三棱锥中，平面平面，，为中点且．

(1)求证：；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．11．（2023春·黑龙江双鸭山·高二校考阶段练习）如图，在三棱锥中，底面，.点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，.

(1)求证：∥平面；(2)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的值，若不存在，说明理由.12．（2023秋·河南·高二长葛市第二高级中学校联考开学考试）如图，在四棱锥中，平面平面，，，点M，N分别在线段，上．

(1)当M，N分别是，的中点时，证明：．(2)当的长度最小时，求直线与平面所成角的大小．题型五：面面角的向量求法13．（2023秋·全国·高二专题练习）如图，在直三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为1，则平面与平面所成的角为（）

A． B． C． D．14．（2023春·江苏盐城·高二校联）如图，在五面体中，平面，，，．

(1)求证：平面平面；(2)若，五面体的体积为，求平面与面所成角的正弦值．15．（2023秋·黑龙江双鸭山·高二双鸭山一中校考开学考试）如图，四边形与四边形是全等的矩形，.

(1)若P是棱的中点，求证：平面平面；(2)若P是棱上的点，直线BP与平面所成角的正切值为，求二面角的正弦值.题型六：空间向量的存在性问题16．（2023秋·广东·高二统考期末）在棱长为1的正方体中，分别是的中点，动点在底面正方形内(包括边界)，若平面，则长度的最大值为.17．（2023秋·江西新余·高二校考开学考试）如图，在三棱台中，若平面，，，，为中点，为棱上一动点（不包含端点）．

(1)若为的中点，求证：平面；(2)是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出长度；若不存在，请说明理由．18．（2023春·江苏连云港·高二连云港高中校考期中）如图在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，，，为的中点．

(1)求二面角的正弦值；(2)线段上是否存在，使得它到平面的距离为?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【双基达标】单选题19．（2023秋·高二）已知直线过点，直线的一个方向向量为，则到直线的距离等于（

）A． B．C． D．520．（2023秋·高二课时练习）如图所示，在长方体中，，则直线到平面的距离是（

）A．5 B．8 C． D．21．（2023春·江西萍乡·高二萍乡市安源中学校考期末）如图，直四棱柱的底面为菱形，且，，E，F分别为BC，的中点．

(1)证明：平面平面．(2)求平面和平面的夹角的余弦值．22．（2023秋·浙江嘉兴·高二浙江省海盐高级中学校考开学考试）如图，在多面体中，平面，平面平面，是边长为的等边三角形，，．

(1)求点B到平面ECD的距离；(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值．23．（2023秋·广西南宁·高二校考开学考试）如图，在三棱锥中，侧棱底面，且，过棱的中点，作交于点，连接.

(1)证明：平面；(2)若，三棱锥的体积是，求直线与平面所成角的大小.【高分突破】一、单选题24．（2023秋·浙江嘉兴·高二浙江省海盐高级中学校考开学考试）在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，且AB＝3，AD＝4，PA＝，则锐二面角的大小为（

）A．30° B．45°C．60° D．75°25．（2023秋·新疆·高二校联考期末）如图，在直三棱柱中，，，，取的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则异面直线与所成角的余弦值为（

）

A． B． C． D．26．（2023春·江苏盐城·高二校联考期中）在三棱锥中，平面平面是的中点.，则二面角的余弦值为（

）

A． B． C． D．27．（2023秋·高二单元测试）已知平面与平面的法向量分别为与，平面与平面相交，形成四个二面角，约定：在这四个二面角中不大于的二面角称为两个平面的夹角，用表示这两个平面的夹角，且，如图，在棱长为2的正方体中，点为棱的中点，为棱的中点，则平面与平面的夹角的余弦值为（

）

A． B． C． D．二、多选题28．（2023秋·浙江杭州·高二浙江省临安中学校考开学考试）在空间直角坐标系中，，，，则（

）A． B．C．异面直线与所成角的余弦值为 D．点到直线的距离是29．（2023春·江苏盐城·高二校联考阶段练习）若将正方形沿对角线折成直二面角，则下列结论中正确的有（

）A．与所成的角为B．与所成的角为C．与平面所成角的正弦值为D．平面与平面的夹角的正切值是30．（2023·全国·高二专题练习）如图，在正四棱柱中，分别是，的中点，则（

）

A．//平面B．C．直线与平面所成角的正弦值为D．直线与平面所成角的正弦值为31．（2023春·云南临沧·高二校考期中）如图，在正方体中，点在线段运动，则（

）

A．三棱锥的体积为定值B．异面直线与所成的角的取值范围为C．直线与平面所成角的正弦值的最大值为D．过作直线，则32．（2023春·甘肃白银·高二校考期末）如图，正方体的棱长为2，是的中点，是侧面内的一个动点（含边界），且平面，则下列结论正确的是（

）

A．平面截正方体所得截面的面积为B．动点的轨迹长度为C．的最小值为D．与平面所成角的正弦值的最大值为三、填空题33．（2023秋·高二课时练习）已知直三棱柱中，，，则点B到直线的距离为．34．（2023秋·高二单元测试）如图，四棱锥中，底面是矩形，平面，且，点是线段上一点，当二面角的平面角的大小为时，．

35．（2023春·福建漳州·高二统考期末）古代城池中的“瓮城”，又叫“曲池”，是加装在城门前面或里面的又一层门，若敌人攻入瓮城中，可形成“瓮中捉鳖”之势.如下图的“曲池”是上､下底面均为半圆形的柱体，平面为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为.

36．（2023·全国·高二专题）三棱锥中，，，记二面角的大小为，当时，直线与所成角的余弦值的取值范围是.四、解答题37．（2023秋·浙江杭州·高二浙江省临安中学校考开学考试）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，四边形为梯形，，.(1)若为的中点，求证：平面；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.38．（2023秋·高二单元测试）在直角梯形ABCD中，，，，如图①把沿BD翻折，使得平面平面（如图②）.

(1)求证：；(2)若点M为线段BC的中点，求点M到平面ACD的距离；(3)在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成的角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．39．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二黑龙江实验中学校）如图，在三棱柱中，分别为的中点，且平面.

(1)求证：面；(2)求棱的长度；(3)若，且的面积，求二面角的正弦值.40．（2023春·广东东莞·高二东莞实验中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，，，，，E为的中点，F在上，满足．

(1)求证：平面；(2)求平面BAF与平面CAF的夹角的余弦值．41．（2023秋·新疆乌鲁