2.1.1直线的倾斜角与斜率 （解析版）

2.1.1直线的倾斜角与斜率【考点梳理】考点一：直线的倾斜角1．倾斜角的定义(1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.2．直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.考点二：直线的斜率1．直线的斜率把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα.2．斜率与倾斜角的对应关系图示倾斜角(范围)α＝0°0°<α<90°α＝90°90°<α<180°斜率(范围)k＝0k>0不存在k<0考点三：过两点的直线的斜率公式过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).【题型归纳】题型一：直线的倾斜角1．（2023秋·高二）如图，直线l的倾斜角为（）

A．60° B．120°C．30° D．150°【答案】D【分析】根据图形结合三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和可求得结果.【详解】由题图易知l的倾斜角为45°＋105°＝150°．故选：D2．（2022秋·浙江绍兴·高二校考期中）若，则直线的倾斜角的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据给定条件，结合余弦函数的值域求出直线斜率的范围，再利用斜率的定义求解作答.【详解】直线的斜率，显然此直线倾斜角，因此或，解得或，所以直线的倾斜角的取值范围为.故选：C3．（2022·全国·高二专题练习）直线经过第二、四象限，则直线的倾斜角范围是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据直线所过象限求得直线的倾斜角范围.【详解】直线倾斜角的取值范围是，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角范围是.故选：C题型二：直线的斜率4．（2023·全国·高二专题练习）在下列四个命题中，正确的是（

）A．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为B．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为C．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率D．直线的倾斜角的取值范围是【答案】D【分析】利用直线倾斜角和斜率的定义，逐项判断作答.【详解】对于A，直线的斜率为1，而，显然不是直线的倾斜角，A错误；对于B，直线的倾斜角为，而直线的斜率不存在，B错误；对于C，坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角，而垂直于x轴的直线没有斜率，C错误；对于D，直线的倾斜角的取值范围是，D正确.故选：D5．（2023·全国·高二专题练习）对于下列命题：①若是直线l的倾斜角，则；②若直线倾斜角为，则它斜率；③任一直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】通过直线的倾斜角的范围判断①的正误；直线的斜率的定义，判断②的正误；直线的斜率与倾斜角的关系判断③和④的正误.【详解】对于①：若是直线的倾斜角，则；满足直线倾斜角的定义，则①正确；对于②：直线倾斜角为且，它的斜率；倾斜角为时没有斜率，所以②错误；对于③和④：可知直线都有倾斜角，但不一定有斜率；因为倾斜角为时没有斜率，所以③正确；④错误；其中正确说法的个数为2.故选：B.6．（2023秋·全国·高二随堂练习）下列说法正确的是（

）A．直线的倾斜角越大，它的斜率越大； B．两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等；C．任何一条直线都有唯一的斜率； D．任何一条直线都有唯一的倾斜角．【答案】D【分析】根据直线的倾斜角和斜率概念分别判断即可.【详解】对于:直线的倾斜角,,所以错误；对于:两直线的倾斜角相等为,斜率不存在,所以错误；对于:当直线的倾斜角为时直线斜率不存在，所以错误；对于:任何一条直线都有唯一的倾斜角．所以正确.故选：.题型三：倾斜角和斜率的变化关系7．（2023秋·河北保定·高二河北省唐县第一中学校考阶段练习）直线的倾斜角的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】设直线的倾斜角为.由已知，可推得.分两种情况时以及时，结合正切函数的性质求解即可得到结果.【详解】设直线的倾斜角为.因为，，，所以，.又，则.当时，单调递增，解，可得；当时，单调递增，解，可得.综上所述，.故选：B.8．（2023秋·高二课时练习）直线l经过两点，那么直线l的倾斜角的取值范围为（

）A． B．∪C． D．【答案】D【分析】根据题意先求出直线的斜率，再由斜率与倾斜角可求得答案.【详解】直线l的斜率，因为，所以，设直线l的倾斜角为，则，因为，所以或，所以直线l的倾斜角的取值范围是故选：D.9．（2023·全国·高二专题练习）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】设直线的倾斜角为，则有，，作出()的图象，由图可得的范围，即可得答案.【详解】设直线的倾斜角为，则有，，作出()的图象，如图所示：由此可得.故选：A.题型四：与斜率公式有关的问题10．（2023·全国·高二专题练习）已知一直线经过两，，且倾斜角为，则的值为（）A．－6 B．－4C．0 D．6【答案】C【分析】由两点坐标求出直线的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值列式求得的值．【详解】直线经过两，，．又直线的倾斜角为，斜率一定存在，则直线的斜率为，即．故选：C．11．（2023秋·河北邯郸·高二武安市第三中学校考开学考试）已知直线的倾斜角为，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据斜率公式以及斜率的定义可得出关于的等式，解之即可.【详解】由题意可知，直线的斜率为，解得.故选：A.12．（2023·全国·高二专题练习）若直线经过两点，，且其倾斜角为135°，则m的值为（

）A．0 B． C． D．【答案】D【分析】根据两点斜率公式求解即可.【详解】经过两点，的直线的斜率为，又直线的倾斜角为135°，∴，解得．故选：D题型五：斜率公式的应用13．（2023·全国·高二专题练习）已知三点在同一条直线上，则实数的值为（

）A．2 B．4 C．8 D．12【答案】D【分析】由三点中任意两点的直线斜率相等列式求解即可．【详解】由题意，三点中任意两点的直线斜率相等，得，解得．故答案为：D.14．（2023·全国·高二专题练习）已知两点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（

）A． B．或C． D．【答案】A【分析】由题意，作图，利用已知两点坐标计算斜率，可得答案.【详解】

由，则直线的斜率，由，则直线的斜率，由图可知，，解得.故选：A.15．（2023·全国·高二假期作业）已知点，，，若点是线段上的一点，则直线的斜率的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用图像结合直线的斜率范围求解即可.【详解】由斜率公式可得，得，由图像可知，当介于之间时，直线斜率的取值范围为，当介于之间时，直线斜率的取值范围为，所以直线的斜率的取值范围为，故选：D．题型六：直线和线段相交问题求斜率范围16．（2022秋·浙江·高二浙江省余姚市第五中学校联考期中）已知点，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是（

）A． B．C．或 D．【答案】C【分析】由直线的方程得直线所过定点坐标，求k的临界值，得k的取值范围.【详解】直线l：经过定点，，．又直线l：与线段相交，所以或，故选：C．17．（2023·全国·高二专题练习）经过点作直线，且直线与连接点，的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】画出坐标系，连接，，，结合斜率变化可知，，联立斜率与倾斜角关系即可求解.【详解】由题知，直线的倾斜角为，则，，，且直线与连接点，的线段总有公共点，如下图所示，则，即，.故选：B18．（2022秋·广东梅州·高二校联考期中）已知点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据两点斜率公式，结合图形以及倾斜角与斜率的关系即可求解.【详解】直线的斜率分别为,结合图形可知：直线过点且与线段相交时，，故选：B【双基达标】一、单选题19．（2023秋·山西·高二校联考）已知直线经过，两点，则该直线的倾斜角为（

）A．30° B．45° C．135° D．150°【答案】C【分析】利用两点间的斜率公式可求出其斜率为，再由倾斜角与斜率的关即可得出结果.【详解】易知两点间的斜率，设直线倾斜角为，由斜率与倾斜角之间的关系可得，故该直线的倾斜角为135°.故选：C.20．（2023秋·山西·高二校联考开学考试）直线，，，的图象如图所示，则斜率最小的直线是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由题图确定直线斜率的大小关系即可.【详解】由图知：，故斜率最小的直线是.故选：B21．（2023·全国·高二专题练习）已知直线的倾斜角为，则实数（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意可得直线的斜率为，解方程即可得出答案.【详解】已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为，则.故选：B.22．（2023·全国·高二专题练习）直线的倾斜角的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据倾斜角与斜率的关系求解即可.【详解】由题意知,若a=0

,则倾斜角为,若,则,①当时，(当且仅当时，取“”)，②当时，(当且仅当时，取“”)，，故，综上，，故选：C.23．（2023·全国·高二专题练习）已知坐标平面内三点，为的边上一动点，则直线斜率的变化范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】作出图象，求出的斜率，再结合图象即可得解.【详解】如图所示，，因为为的边上一动点，所以直线斜率的变化范围是.故选：D.24．（2023秋·福建莆田·高二莆田二中校考开学考试）设直线l的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分、两种情况讨论，求出对应的的取值范围，综合可得结果.【详解】由题意可知，，当时，则为钝角，且；当时，此时，.综上所述，直线的倾斜角的取值范围为.故选：D.25．（2023秋·高二课时练习）（1）设坐标平面内三点，若直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，求实数m的值；（2）已知直线l1的方向向量为，直线l2的倾斜角是直线l1倾斜角的2倍，求直线l2的斜率.【答案】（1）1或2；（2）【分析】（1）由，结合两点式求斜率，列方程求参数，注意验证结果；（2）设直线l1倾斜角α，则直线l2的倾斜角为2α，根据方向向量得，应用二倍角正切公式求直线l2的斜率.【详解】（1）由得：，解得或，经验证均符合题意，故m的值是1或2.（2）设直线l1的倾斜角为α，则直线l2的倾斜角为2α，由直线l1的方向向量为，得直线l1的斜率为，因此直线l2的斜率为.26．（2023秋·高二课时练习）已知两条直线，，其中，当这两条直线的夹角在内变化时，求的取值范围．【答案】【分析】首先求得直线的倾斜角，进而判断出两条直线的夹角在内变动时的倾斜角的取值范围，进而即可求得a的取值范围.【详解】由题知直线的倾斜角为，设直线的倾斜角为，则，且，所以过原点的直线，的夹角在内变化时，则，即，解得且，故且，故a的取值范围是.【高分突破】一、单选题27．（2023·全国·高二专题练习）已知、，若直线经过点，且与线段有交点，则的斜率的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】作出图形，数形结合可得出直线的斜率的取值范围.【详解】过点作，垂足为点，如图所示：设直线交线段于点，设直线的斜率为，且，，当点在从点运动到点（不包括点）时，直线的倾斜角逐渐增大，此时；当点在从点运动到点时，直线的倾斜角逐渐增大，此时.综上所述，直线的斜率的取值范围是.故选：D.28．（2023·全国·高二专题练习）经过两点，的直线的倾斜角是锐角，则实数m的范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意列出相应的不等式，即可得答案.【详解】由题意经过两点，的直线的倾斜角是锐角，可知，且，解得，即实数m的范围是，故选：C29．（2023秋·高二课时练习）已知、，直线过定点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（

）A． B． C． D．或【答案】A【分析】设直线与线段交于点，其中，利用斜率公式可求得的取值范围.【详解】设直线与线段交于点，其中，所以，.故选：A.30．（2023·全国·高二专题练习）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】当时，可得倾斜角为，当时，由直线方程可得斜率，然后由余弦函数和正切函数的性质求解即可.【详解】当时，方程变为，其倾斜角为，当时，由直线方程可得斜率，且，，即，又，，由上知，倾斜角的范围是．故选：C．二、多选题31．（2023·全国·高二专题练习）若直线与轴交于点，其倾斜角为，直线绕点顺时针旋转45°后得直线，则直线的倾斜角可能为（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】由倾斜角的定义，分类讨论作出图形，数形结合分析即可.【详解】解析：当时，直线的倾斜角为（如直线AC旋转至直线AD）；当时，直线的倾斜角为（如直线AD旋转至直线AB）.故选：BC.32．（2021秋·安徽合肥·高二合肥一六八中学校考阶段练习）下列命题中，是假命题的是（

）A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大B．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为C．若斜率的取值范围是，则直线倾斜角D．若直线的斜率为，则直线的倾斜角为【答案】ABCD【分析】根据倾斜角和斜率的定义，即可判断选项.【详解】A.若直线的倾斜角是锐角，则斜率大于零，若直线的倾斜角是钝角，则斜率小于零，所以该选项错误；B.若直线的倾斜角为直角，则直线没有斜率，所以该选项错误；C.若斜率的取值范围是，则直线倾斜角，所以该选项错误；D.若直线的斜率为，但是直线的倾斜角为不是，而是，所以该选项错误.故选：ABCD33．（2023秋·高二课时练习）在下列四个命题中，错误的有（）A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率B．直线的倾斜角的取值范围是C．若一条直线的斜率为1，则此直线的倾斜角为D．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为【答案】ACD【分析】根据倾斜角和斜率的定义即可判断【详解】对于A，倾斜角为的直线斜率不存在,所以A错误;对于B,直线的倾斜角的取值范围为,所以B正确;对于C,因为且，所以,所以C错误;对于D,倾斜角为的直线斜率不存在,所以D错误.故选：ACD34．（2022秋·福建泉州·高二校考阶段练习）若直线l经过点，在x轴上的截距的取值范围是，则直线l斜率的取值可能是（

）A． B． C．1 D．【答案】BC【分析】根据给定条件，结合图形求出直线l的斜率取值范围，即可作答.【详解】令点，依题意，直线l与x轴的交点在线段上（不含端点B，C），如图，直线斜率，直线斜率，因此直线l的斜率或，所以直线l斜率的取值可能是或1.故选：BC35．（2022·高二课时练习）下列结论中正确的有（

）A．两条相交直线所成的角的范围是B．若两条相交直线所成的角为，其法向量的夹角为，则或C．若两条直线相互垂直，则其斜率之积为D．若直线与直线的夹角为，则【答案】ABD【分析】根据两直线相交时其夹角，其斜率间的关系，逐一判断可得选项.【详解】解：对于A：两条相交直线时，其所成的角的范围是，故A正确；对于B：若两条相交直线所成的角为，其法向量的夹角为，则或，故B正确；对于C：若两条直线相互垂直，则这两直线中可能其中一条直线的斜率不存在，故C不正确；对于D：设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则，所以，故D正确，故答案为：ABD.36．（2022秋·山东淄博·高二山东省淄博第一中学校考阶段练习）下列说法中，表述正确的是(

)A．向量在直线l上，则直线l的倾斜角为B．若直线l与x轴交于点A，其倾斜角为，直线l绕点A顺时针旋转后得直线，则直线的倾斜角为C．若实数、满足，，则代数式的取值范围为D．若直线、的倾斜角分别为、，则是的充要条件【答案】AC【分析】A：根据向量求出直线斜率，根据直线斜率即可求其倾斜角；B：当＜时，＜0，但直线倾斜角为非负，据此即可判断；C：可看作(x，y)与(－2，－3)连线斜率，数形结合即可判断；D：两直线垂直，则，据此即可判断．【详解】①向量在直线l上，则直线l的斜率为，故直线倾斜角为，故A正确；②若直线l与x轴交于点A，其倾斜角为，直线l绕点A顺时针旋转后得直线，则≤θ＜π时，直线的倾斜角为；当0≤＜时，直线的倾斜角为π＋()＝；故B错误；③若实数、满足，，设A(－1，4)，B(1，2)，则代数式表示线段AB上任意一点(x，y)和点C(－2，－3)连线的斜率，由图可知，，故C正确；④若直线、的倾斜角分别为、，则，，，∴，则；当时，；故是充分不必要条件，故D错误﹒故选：AC﹒三、填空题37．（2023秋·广西南宁·高二南宁市邕宁高级中学校考开学考试）已知，，三点在同一条直线上，则实数m的值为．【答案】【分析】根据题意结合斜率公式运算求解.【详解】由题意易得A，B，C三点所在直线不可能垂直于x轴，因此其中任意两点所确定的直线斜率都存在，设直线AB，BC的斜率分别为，．由斜率公式可得，．因为A，B，C三点在同一条直线上，则，即，整理得，解得或．故答案为：.38．（2023秋·高二课时练习）如图，已知三点，，．

(1)求直线AB，BC，CA的斜率；(2)求直线BC，CA的倾斜角．【答案】(1)，，；(2)直线BC的倾斜角为，直线CA的倾斜角为.【分析】（1）利用两点式求直线斜率；（2）由所求的对应直线斜率，结合倾斜角范围及斜率、倾斜角关系求倾斜角大小.【详解】（1）直线AB的斜率；直线BC的斜率；直线CA的斜率．（2）设直线BC的倾斜角为，由，则倾斜角．设直线CA的倾斜角为，由，则倾斜角．39．（2023秋·高二课时练习）已知，若直线与直线的斜率分别为和，则点的坐标为．【答案】【分析】根据直线的斜率列方程，由此求得点的坐标.【详解】设，显然，则，解得，所以.故答案为：40．（2023·全国·高二专题练习）一束光线射到轴上并经轴反射．已知入射光线的倾斜角，则反射光线的倾斜角．【答案】【分析】根据光的反射的特征及倾斜角的概念求解.【详解】作出入射光线和反射光线，如图．

因为入射光线的倾斜角，所以入射角为．又反射角等于入射角，由图易知，反射光线的倾斜角为．故答案为：.41．（2023春·浙江·高二校联考阶段练习）点在曲线上移动，且在点处的切线的斜率的取值范围是，则切线倾斜角的取值范围是．【答案】【分析】根据切线斜率范围可得，结合的