3.2.1双曲线及其标准方程原卷版

3.2.1双曲线及其标准方程【考点梳理】考点一：双曲线的定义1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹．2．定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}．3．焦点：两个定点F1，F2.4．焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|.考点二：双曲线标准方程焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)焦点(－c，0)，(c，0)(0，－c)，(0，c)a，b，c的关系c2＝a2＋b2重难点技巧：（1）,,表示双曲线；（2）,,表示两条射线；（3）,表示双曲线的一支；（4）,表示一条射线.【题型归纳】题型一：双曲线的定义1．（2023秋·高二）已知双曲线的下、上焦点分别为，，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（

）A． B．C． D．2．（2023秋·高二课）已知点，动点满足，则动点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．3．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高二海拉尔第一中学校考期末）设椭圆的离心率为，焦点在轴上且长轴长为26，若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线的标准方程为（

）A． B．C． D．题型二：利用双曲线的定义求轨迹方程4．（2023·全国·高二专题练习）动圆P过定点M(0，2)，且与圆N：相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是（

）A． B．C． D．5．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考期末）是一个动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第四象限，若四边形（为原点）的面积为4，则动点的轨迹方程是（

）A． B． C． D．6．（2023·全国·高二专题练习）已知圆，为圆心，为圆上任意一点，定点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．题型三：双曲线中的焦点三角形问题7．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线经过且与的右支相交于A，B两点，若，则的周长为（

）A．6 B．8 C．10 D．128．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线，直线l过其上焦点，交双曲线上支于A，B两点，且，为双曲线下焦点，的周长为18，则m值为（

）A．8 B． C．10 D．9．（2023·全国·高二专题练习）已知，分别为双曲线的左、右焦点，若点到该双曲线渐近线的距离为1，点在双曲线上，若，则的面积为（

）A． B． C． D．题型四：双曲线的参数问题10．（2023·全国·高二专题练习）若曲线表示双曲线，那么实数k的取值范围是（

）A． B．C． D．11．（2022秋·江苏徐州·高二校考期中）若方程所表示的曲线是双曲线，则它的焦点坐标是（

）A． B． C． D．12．（2022秋·广西河池·高二统考期末）若方程表示双曲线，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．题型五：双曲线的标准方程的求法13．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线为坐标原点，为双曲线的两个焦点，点为双曲线上一点，若，则双曲线的方程可以为（

）A． B．C． D．14．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线经过点，且与椭圆有相同的焦点，则双曲线的标准方程为（

）A． B． C． D．15．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，，P为C上一点，的中点为Q，为等边三角形，则双曲线C的方程为（

）．A． B．C． D．题型六：双曲线中的最值问题16．（2023秋·全国·高二期中）已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则的最小值为（

）A． B． C． D．17．（2023·全国·高二专题练习）已知点，是双曲线的左、右焦点，点P是双曲线C右支上一点，过点向的角平分线作垂线，垂足为点Q，则点和点Q距离的最大值为（

）A．2 B． C．3 D．418．（2023·全国·高二专题练习）已知点，双曲线的左焦点为，点在双曲线的右支上运动.当的周长最小时，（

）A． B． C． D．题型七：双曲线方程的综合问题19．（2023·全国·高二随堂练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)，焦点在x轴上，且过点；(2)，一个焦点的坐标是；(3)经过两点，．20．（2023·全国·高二随堂练习）如图，双曲线的左、右焦点分别为，，P为C的右支上一点，且，求的面积．

21．（2023·全国·高二专题练习）若双曲线C：上一点到左、右焦点的距离之差的绝对值为2.(1)求双曲线C的方程；(2)设、是双曲线的左、右焦点，点P是双曲线上的点，若，求的面积.【双基达标】单选题22．（2023春·四川遂宁·高二射洪中学校）已知方程表示的焦点在y轴的双曲线，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．23．（2023春·四川遂宁·高二射洪中学校考期中）设是双曲线左支上的动点，分别为左右焦点，则（

）A． B． C．4 D．24．（2023·江苏·高二假期作业）若椭圆与双曲线有相同的焦点，则m=（）A． B．1或2C．1或 D．125．（2023·全国·高二随堂练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)两焦点坐标为，，且；(2)两焦点坐标为，，且经过点；(3)焦点在y上，且经过点和．26．（2023·全国·高二课堂例题）已知方程．(1)若方程表示双曲线，求a的取值范围；(2)试说明（1）中的双曲线有共同的焦点．【高分突破】一、单选题27．（2023秋·高二单元测试）已知，分别为双曲线：的左、右焦点，左右顶点分别为，离心率为，点为双曲线C上一点，直线的斜率之和为，的面积为，则（

）A． B． C． D．28．（2023·全国·高二专题练习）设双曲线的左焦点为，点为双曲线右支上的一点，且与圆相切于点，为线段的中点，为坐标原点，则（

）A． B．-1 C． D．229．（2023·全国·高二专题练习）设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且，则的面积等于（

）A．24 B．15 C．12 D．3030．（2023·全国·高二专题练习）已知，是双曲线的左、右焦点，点M在双曲线的右支上，设M到直线的距离为d，则的最小值为（

）A．7 B． C．8 D．31．（2023·全国·高二专题练习）设，分别是双曲线的左右焦点，过作轴的垂线与交于，两点，若为正三角形，则的面积为（

）A． B．4 C． D．332．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线的焦点为，，过的直线与的左支相交于两点，过的直线与的右支相交于，两点，若四边形为平行四边形，以为直径的圆过，，则的方程为（

）A． B．C． D．二、多选题33．（2023秋·高二课时练习）已知是双曲线的两个焦点．若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，则点M到另一个焦点的距离为（

）A．8 B．10C．22 D．3234．（2023秋·高二单元测试）若方程所表示的曲线为，则下面四个说法中正确的是（

）A．若，则为椭圆B．若为椭圆，且焦点在轴上，则C．曲线可能是圆D．若为双曲线，则35．（2022秋·江西上饶·高二校考阶段练习）已知双曲线）的左，右两个顶点分别是，左、右两个焦点分别是，是双曲线上异于的一点，给出下列结论，其中正确的是（

）A．存在点，使B．存在点，使得直线的斜率的绝对值之和C．使得应为等腰三角形的点有且仅有四个D．若，则36．（2023·全国·高二专题练习）已知，分别是双曲线C：的左、右焦点，P是C上一点，且位于第一象限，，则（

）A．P的纵坐标为 B．C．的周长为 D．的面积为4三、填空题37．（2023春·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习）双曲线的焦点为，，点P在双曲线上，若，则.38．（2023秋·高二课时练习）已知是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为.39．（2023·全国·高二课堂例题）已知双曲线的方程是，点P在双曲线上，且到其中一个焦点的距离为10，点N是的中点，O为坐标原点，则.40．（2023·全国·高二课堂例题）如图所示，已知定圆：，定圆：，动圆M与定圆，都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为.

41．（2023秋·高二课时练习）已知圆锥曲线的方程：.当为正整数，且时，存在两条曲线、，其交点与点满足，则满足题意的有序实数对共有对.四、解答题42．（2023·全国·高二专题练习）经过双曲线的左焦点作斜率