3.3.1抛物线及其标准方程 （原卷版）

3.3.1抛物线及其标准方程【考点梳理】考点一：抛物线的定义1．定义：平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)距离相等的点的轨迹．2．焦点：定点F.3．准线：定直线l.考点二：抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程y2＝2px(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))x＝－eq\f(p,2)y2＝－2px(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))x＝eq\f(p,2)x2＝2py(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))y＝－eq\f(p,2)x2＝－2py(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))y＝eq\f(p,2)重难点技巧：p的几何意义是焦点到准线的距离．【题型归纳】题型一：抛物线的定义求轨迹方程1．（2023·全国·高二）设圆与y轴交于A，B两点（A在B的上方），过B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P的轨迹方程为（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·高二专题练习）已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（

）A． B． C． D．3．（2022·江苏·高二专题练习）已知圆C与过点且垂直于x轴的直线仅有1个公共点，且与圆外切，则点C的轨迹方程为（

）A． B． C． D．题型二：抛物线的最值问题4．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线，圆，为上一点，为上一点，则的最小值为（

）A．5 B． C．2 D．35．（2023秋·全国·高二期中）若点在焦点为的抛物线上，且，点为直线上的动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．46．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线的焦点到其准线的距离为是抛物线上一点，若，则的最小值为（

）A．8 B．6 C．5 D．4题型三：抛物线焦半径的公式7．（2023春·福建福州·高二校考期末）已知抛物线的焦点为，点在上，若到直线的距离为，则（

）A． B． C． D．8．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线，F为抛物线的焦点，P为抛物线上一点，过点P作PQ垂直于抛物线的准线，垂足为Q，若，则△PFQ的面积为（

）A．4 B． C． D．9．（2022秋·广东珠海·高二珠海市第一中学校考期末）已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于、两点，若，则的中点到准线的距离为（

）A． B． C． D．题型四：抛物线的四种标准方程10．（2023·全国·高二）点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（

）A． B．或C．或 D．11．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，于.若，则抛物线的方程为（

）A． B．C． D．12．（2023·全国·高二专题练习）已知点在圆上，其横坐标为，抛物线经过点，则抛物线的准线方程是（

）A． B． C． D．题型五：抛物线在生活中的实际应用13．（2023秋·广东梅州·高二统考期末）某学习小组研究一种如图1所示的卫星接收天线，发现其轴截面为图2所示的抛物线形，在轴面内的卫星信号波束呈近似平行的状态射入，经反射聚焦到焦点处，已知卫星接收天线的口径（直径）为，深度为，则该卫星接收天线轴截面所在的抛物线的焦点到顶点的距离为（

）A． B． C． D．14．（2023秋·山东烟台·高二统考期末）如图是一座拋物线形拱桥，当桥洞内水面宽时，拱顶距离水面，当水面上升后，桥洞内水面宽为（

）A． B． C． D．15．（2022秋·湖南益阳·高二统考期中）党的十八大报告指出，必须坚持在发展中保障和改善民生，不断实现人民对美好生活的向往，为响应中央号召，某社区决定在现有的休闲广场内修建一个半径为4m的圆形水池来规划喷泉景观.设计如下：在水池中心竖直安装一根高出水面为2m的喷水管（水管半径忽略不计），它喷出的水柱呈抛物线型，要求水柱在与水池中心水平距离为处达到最高，且水柱刚好落在池内，则水柱的最大高度为（

）A． B． C． D．题型六：抛物线的方程综合问题16．（2023秋·全国·高二期中）求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)顶点在原点，准线方程为；(2)顶点在原点，且过点；(3)顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线上；(4)焦点在x轴上，且抛物线上一点到焦点的距离为5.17．（2023春·云南大理·高二云南省下关第一中学校考期中）从抛物线上各点向x轴作垂线段.(1)求垂线段的中点的轨迹方程，并说明它是什么曲线；(2)直线与抛物线交于A、B两点，求证：原点O在以AB为直径的圆上.18．（2023秋·高二课时练习）（1）设P是抛物线上的一个动点.①求点P到点的距离与点P到直线的距离之和的最小值；②若，求的最小值.（2）已知抛物线，A点的坐标为.求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离.【双基达标】一、单选题19．（2023秋·全国·高二期中）已知抛物线C：的顶点为O，经过点，且F为抛物线C的焦点，若，则p＝（

）A． B．1 C． D．220．（2023秋·高二课时练习）已知抛物线上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为（

）A． B． C． D．21．（2023春·河南周口·高二统考期中）已知点是抛物线上的一点，过点作直线的垂线，垂足为，若，则的最小值为（

）A．3 B．4 C．5 D．622．（2023秋·高二课时练习）石拱桥是世界桥梁史上出现较早、形式优美、结构坚固的一种桥型.如图，这是一座石拱桥，桥洞弧线可近似看成是顶点在坐标原点，焦点在y轴负半轴上的抛物线C的一部分，当水距离拱顶4米时，水面的宽度是8米，则抛物线C的焦点到准线的距离是（

）

A．1米 B．2米 C．4米 D．8米23．（2023春·广东深圳·高二校考期中）已知抛物线的焦点为是抛物线上一个动点，点，则下列说法正确的是（

）A．若，则B．过点与抛物线有一个公共点的直线有3条C．连接并延长与抛物线交于点，若的中点，则D．点到直线的最短距离为24．（2023春·安徽宣城·高二统考期末）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，则下列说法不正确的是（

）A．椭圆的焦距是2B．椭圆的离心率是C．抛物线的准线方程是D．抛物线的焦点到其准线的距离是425．（2023春·四川泸州·高二统考期末）已知F为抛物线的焦点，为抛物线C上第一象限的点，且.(1)求点A的坐标；(2)求过点A且与圆相切的直线方程.26．（2023秋·全国·高二期中）已知是抛物线上的点．当时，．(1)求E的标准方程；(2)F是E的焦点，直线AF与E的另一交点为B，，求的值．【高分突破】一、单选题27．（2023春·云南保山·高二校联考期末）过抛物线的焦点且倾斜角为锐角的直线与交于两点，过线段的中点且垂直于的直线与的准线交于点，若，则的斜率为（

）A． B． C．1 D．228．（2023春·四川凉山·高二统考期末）已知直线与抛物线交于两点，与圆交于两点，在轴的同侧，则（

）A．1 B．2 C．3 D．429．（2023春·安徽亳州·高二涡阳县第二中学校联考期末）设抛物线的焦点为，准线为，过第一象限内的抛物线上一点作的垂线，垂足为，设，且为等边三角形，的面积为，则（

）A．1 B． C． D．230．（2023春·河南安阳·高二统考期末）已知抛物线C的焦点F在x轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为2，过点F且倾斜角为60°的直线交抛物线C于A，B两点，则（

）A． B． C． D．231．（2023春·江苏镇江·高二统考期中）青花瓷是中华陶乲烧制工艺的珍品，属秞下彩瓷.一只内壁光滑的青花瓷大碗水平放置在桌面上，瓷碗底座高为，碗口直径为，碗深.瓷碗的轴截面轮廓可以近似地看成抛物线，碗里有一根长度为的筷子，筷子过瓷碗轴截面轮廓曲线的焦点，且两端在碗的内壁上.则筷子的中点离桌面的距离为（

）

A． B． C． D．32．（2023秋·全国·高二期中）过抛物线的焦点，作倾斜角为的直线交于，两点，交的准线于点，若（为坐标原点），则线段的长度为（

）A．8 B．16 C．24 D．3233．（2023·全国·高二假期作业）设O为坐标原点，F为抛物线C：的焦点，直线与抛物线C交于A，B两点，若，则抛物线C的准线方程为（

）A． B．C．或 D．或34．（2023·全国·高二专题练习）设P为抛物线C：上的动点，关于P的对称点为B，记P到直线的距离分别，，则的最小值为（

）A． B．C． D．二、多选题35．（2023春·贵州黔西·高二校考阶段练习）已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点在抛物线C上，若，则（

）A．F的坐标为 B．C． D．36．（2023秋·海南省直辖县级单位·高二嘉积中学校考期末）已知抛物线的焦点为，顶点为，点在抛物线上，若，则下列各选项正确的是（

）A． B．以MF为直径的圆与轴相切C． D．37．（2023春·云南保山·高二校联考阶段练习）已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，若，则（

）A． B．C． D．的坐标为38．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线，准线为，过焦点的直线与抛物线交于两点，，垂足为，设，则（

）A．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线恰有2条B．已知曲线上的两点到点的距离之和为10，则线段的中点的横坐标是4C．的最小值为D．的最小值为439．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线的焦点为，准线为为抛物线上任意一点，点为在上的射影，线段交轴于点为线段的中点，则（

）A．B．直线与抛物线相切C．点的轨迹方程为D．可以是直角40．（2023秋·高二单元测试）若圆锥曲线，且的一个焦点与抛物线的焦点重合，则（

）A．B．的离心率C．为双曲线，且渐近线方程为D．与的交点在直线上41．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线：的焦点到准线的距离为2，则（

）A．抛物线为B．若，为上的动点，则的最小值为4C．直线与抛物线相交所得弦长最短为4D．若抛物线准线与轴交于点，点是抛物线上不同于其顶点的任意一点，，，则的最小值为三、填空题42．（2023·全国·高二专题练习）已知点是曲线上任意一点，，连接并延长至，使得，求动点Q的轨迹方程．43．（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知抛物线上有一动点，则与点距离的最小值为．44．（2023秋·高二课时练习）抛物线焦点为，准线上有点是抛物线上一点，为等边三角形，则点坐标为．45．（2023·全国·高二课堂例题）设直线l过抛物线的焦点F，且与抛物线交于P，Q两点，由P，Q分别向准线引垂线PR，QS，垂足分别为R，S，设，，M为RS的中点，O为坐标原点，则．46．（2023秋·高二课时练习）已知抛物线，过焦点F的弦交抛物线于A，B两点，且有，准线与x轴交于点C