第二章《直线和圆的方程》同步单元必刷卷（基础卷）（解析版）

第二章《直线和圆的方程》同步单元必刷卷（基础卷）一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．1．直线的倾斜角是（

）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】A【分析】求出直线的斜率，然后求解倾斜角．【详解】直线的斜率为：，设倾斜角是，则，可得．故选：A．2．直线：与直线：平行，则（）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】由两直线平行得到方程和不等式，求出答案.【详解】由题意得，解得.故选：A3．直线l经过两点，那么直线l的倾斜角的取值范围为（

）A． B．∪C． D．【答案】D【分析】根据题意先求出直线的斜率，再由斜率与倾斜角可求得答案.【详解】直线l的斜率，因为，所以，设直线l的倾斜角为，则，因为，所以或，所以直线l的倾斜角的取值范围是故选：D.4．过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】分直线过点和直线不过点两种情况求解即可.【详解】当直线过点时，设直线为，则，得，所以直线方程为，即；当直线不过点时，可设直线方程为（），把代入，解得，所以直线方程为.综上可知，直线方程为或.故选：C5．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事体．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用两点间距离公式可将问题转化为轴上一点到点与点的距离之和的最小值，当三点共线时，进而即得.【详解】，

则可看作轴上一点到点与点的距离之和，即，则可知当三点共线时，取得最小值，即.故选：A.6．已知，，点为圆上任意一点，则面积的最大值为（

）A．5 B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，求出直线的方程，再求出点P到直线距离的最大值作答.【详解】圆的圆心，半径，直线的方程为：，于是点到直线：的距离，而点在圆上，因此点到直线距离的最大值为，又，所以面积的最大值为.故选：D

7．已知点为直线：上的动点，过点作圆：的切线，，切点为，当最小时，直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先利用圆切线的性质推得四点共圆，，从而将转化为，进而确定时取得最小值，再求得以为直径的圆的方程，由此利用两圆相交弦方程的求法即可得解.【详解】因为圆：可化为，所以圆心，半径为，

因为，是圆的两条切线，则，由圆的知识可知，四点共圆，且，，所以，又，所以当最小，即时，取得最小值，此时的方程为，联立，解得，即，故以为直径的圆的方程为，即，，又圆，两圆的方程相减即为直线的方程：.故选：A.8．在平面直角坐标系中，已知圆，是直线上的两点，若对线段上任意一点，圆上均存在两点，使得，则线段长度的最大值为（

）A．2 B． C． D．4【答案】C【分析】设圆的切线为、，由得，即，再求得的取值范围，求得点的坐标，即可求得的最大值．【详解】由题意，圆心到直线的距离为（半径）故直线和圆相交；当点在圆外时，从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时，才是最大的角，不妨设切线为，，则由，得，；当时，，设，，解得：，设，如图，之间的任何一个点，圆上均存在两点，使得，线段长度的最大值为

故选：C多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是（

）A．过点并且倾斜角为90°的直线方程为B．过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为C．经过点，倾斜角为的直线方程为D．过两点的直线的方程为【答案】AD【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系，结合截距的定义、直线的两点式方程进行逐一判断即可.【详解】A：直线的倾斜角为90°，所以该直线与横轴垂直，所以直线方程为，故本选项正确；B：当直线在两坐标轴上截距都为零时，方程设为，过点，所以有，所以本选项不正确；C：当直线的倾斜角为90°时，没有意义，所以本选项不正确；D：直线过两点，所以有，因此本选项正确，故选：AD10．已知直线，下列命题中正确的是（

）A．若，则B．若，则或C．当时，是直线的方向向量D．原点到直线的最大距离为【答案】AD【分析】根据垂直关系计算得到A正确；当时，两条直线重合，B错误；计算斜率得到C错误；过定点，最大距离为，计算得到D正确，得到答案.【详解】对选项A：，则，解得，正确；对选项B：当时，两条直线重合，错误；对选项C：时，，斜率为，的方向向量是，错误；对选项D：过定点，故原点到直线的最大距离为，正确.故选：AD11．已知的三个顶点的坐标分别为，，，则下列说法正确的有（

）A．边上的高所在直线的方程；B．的外接圆的方程为；C．过作直线与线段相交，则直线斜率的取值范围为；D．的面积为.【答案】BCD【分析】对选项，利用直线垂直时斜率的关系可求得高线方程；对选项，用待定系数求圆的方程；对选项，根据直线从点到点的过程中斜率的变化求得；对选项，的面积利用点到直线的距离求得中边的高，然后根据面积公式即可.【详解】对选项，直线的斜率为：则边上的高的斜率为：则高的方程为：，即故不正确；对选项，设的外接圆的方程为则有：解得：，，所以△的外接圆的方程为：故正确；对选项，，则过点作直线与线段相交时，则直线斜率的取值范围为：故正确；对选项，易知所在直线的方程为：点到直线的距离为：又则的面积为：故正确故选：12．设直线与圆，则下列结论正确的为（

）A．可能将的周长平分B．若圆上存在两个点到直线的距离为1，则的取值范围为C．若直线与圆交于两点，则面积的最大值为2D．若直线与圆交于两点，则中点的轨迹方程为【答案】BC【分析】根据圆心在直线上判断A，根据直线与圆的位置关系判断B，根据三角形面积公式判断C，根据几何法求出点M的轨迹方程即可判断D.【详解】对于，若直线将圆的周长平分，则直线过原点，此时直线的斜率不存在，错误；对于B，若圆上存在两个点到直线的距离为1，则到直线的距离满足，所以，解得或，B正确；对于C，，当时，的面积有最大值2，C正确；对于，易知直线经过定点，所以，所以点的轨迹以为直径的圆，其方程为，又因为点在圆内，由，解得，所以点的轨迹方程为，D错误.故选：BC.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知直线与直线垂直，则.【答案】2.【解析】两直线垂直，则其斜率相乘为-1，由此求得.【详解】因为，所以，所以.故答案为：2.【点睛】本题考查由直线垂直求参数的值，属基础题.14．若半径为3的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为.【答案】7【分析】确定半径为3且经过点的圆的圆心的轨迹是以为圆心，以3为半径的圆，即可求得答案【详解】设圆心坐标为，则，即，即圆心轨迹是以为圆心，以3为半径的圆，到原点距离为，故圆上的点到原点距离的最小值为，即半径为3的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为7，故答案为：715．从点发出的光线经过直线反射，反射光线刚好通过坐标原点，则反射光线所在直线的方程为．【答案】【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，可求出反射光线的斜率，进而可求得反射光线所在直线的方程.【详解】设点关于直线的对称点为，则线段的中点在直线上，则，①因为直线的斜率为，直线与直线垂直，则，②联立①②可得，即点，因为反射光线过原点，所以，反射光线所在直线的斜率为，所以反射光线所在直线的方程为，即．故答案为：．16．已知曲线，直线，曲线上恰有3个点到直线的距离为1，则的取值范围是.【答案】【分析】根据曲线的表达式画出半圆图象，再利用直线与曲线的临界位置讨论的取值范围，由于曲线上恰有3个点到直线的距离为1，根据两平行线间的距离公式并结合图象即可确定实数的取值范围.【详解】由，得曲线是以为圆心，半径为2的圆的上半部分.在曲线中，令，得或4，将代入直线得，将代入直线得，当直线与曲线相切时，由圆心到直线的距离为2，得，所以当或时，直线与曲线有一个公共点；当时，直线与曲线有两个公共点.如下图所示：记与曲线相切的直线为，过且斜率为1的直线记为.当直线与距离为1时，即，∴或，取，此时曲线上有2个点到直线距离为1；当直线与距离为1时，即，∴或，取，此时恰有3个点到直线的距离为1.∴.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知的三个顶点为，，.(1)求过点A且平行于的直线方程；(2)求过点B且与A、C距离相等的直线方程.【答案】(1)(2)和【分析】（1）根据平行得斜率相等，即可由点斜式求解，（2）根据距离相等，分直线与平行和过中点直线，即可求解.【详解】（1）由B、C两点的坐标可得，因为待求直线与直线平行，故其斜率为由点斜式方程可得目标直线方程为整理得.（2）由A、C点的坐标可知，AC的中点D坐标为又直线没有斜率，则与直线平行的直线符合题意，即.过B，D两点的直线到A，C的距离也相等，点斜式方程为，整理得.综上所述，满足题意的直线方程为和.

18．已知圆，圆N与圆M关于直线对称.（1）求圆N的方程.（2）是否存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，使得被圆M截得的弦长与被圆N截得的弦长相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）存在，或【分析】（1）求出圆心的对称点即可得；（2）假设存在，设，分析直线的性质，题意说明圆心到相交直线的距离相等，即到的距离等于到直线的距离，为此设直线的方程为，（考虑斜率存在且不为0），由点到直线距离公式得一关于斜率的恒等式，可求得．【详解】（1）设，圆M与圆N关于直线对称，，则直线MN与直线l垂直，MN的中点在直线l上，得，解得，圆.（2）设点满足条件，假设直线，的斜率均存在且不为0，不妨设直线的方程为，，则直线的方程为.圆M和圆N的半径相等，且直线被圆M截得的弦长与直线被圆N截得的弦长相等，圆M的圆心到直线的距离和圆N的圆心到直线的距离相等，即，整理得，，即或，的取值有无穷多个，或，解得或.这样的点只可能是点或点.【点睛】本题考查求关于直线对称的圆的方程，考查直线与圆相交弦长问题．对称圆的问题只要求得圆心的对称点坐标即可，直线与圆相交弦长转化为圆心到直线的距离，这种转化使问题简化，求解方便．19．已知圆M方程为，直线的方程为，点在直线上，过P作圆M的切线、，切点为A、B．(1)若P点坐标为，求(2)经过A、P、M三点的圆是否经过异于点的定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．【答案】(1)(2)是，【分析】（1）利用特殊角的三角函数和对称性即可得到答案；（2）设，计算出中点坐标，写出圆的方程，整理，利用方程恒成立得到方程组，解出即可.【详解】（1）因为点坐标为，所以，又因为，所以,故.（2）设的中点，因为为圆的切线，所以经过三点的圆是以为圆心，为半径的圆，故其方程为化简得，由，解得（舍）或所以经过三点的圆经过异于点的定点.

20．已知定点，，动点P满足.（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）若A，B为（1）中轨迹C上两个不同的点，O为坐标原点.设直线，，的斜率分别为，，.当时，求k的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）设动点P的坐标为，由题中条件利用直接法求出轨迹方程即可；（2）设点，，直线的方程为，与圆的方程联立可得，再利用韦达定理和斜率公式计算即可得出.【详解】（1）设动点P的坐标为，因为，，且，所以，整理得，所以动点P的轨迹C的方程为；（2）设点，，直线的方程为，由消去y，整理得，（）由得，①由（）知，，②所以，即，③将②代入③，整理得，④由④得，解得，⑤由①和④，解得或，⑥要使，，有意义，则，，所以0不是方程（）的根，所以，即，⑦由⑤⑥⑦，得k的取值范围是.【点睛】本题考查轨迹方程的求法，考查直线与圆的位置关系的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.21．已知圆心在轴上的圆与直线切于点.(1)求圆的标准方程；(2)已知，经过原点且斜率为正数的直线与圆交于，.求的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据已知条件求得圆心和半径，从而求得圆的标准方程.（2）设出直线的方程，并与圆的方程联立，化简写出根与系数关系，求得的表达式，结合换元法以及基本不等式求得的最大值.【详解】（1）由圆心在轴上的圆与直线切于点，设，直线的斜率为，则，所以．所以，所以，，即，所以圆的标准方程为．（2）设直线，与圆联立方程组，可得，，由根与系数的关系得，，，令，则，所以，当且仅当，即时取等号，此时，所以的最大值为.【点睛】本题的难点在于第二问，求最值.求解最值有关的题目，首先要将表达式求出，本题是结合根与系数关系求得表达式.然后根据表达式的结构来选择求最值的方法，可考虑二次函数的性质、基本不等式或函数的单调性来求解最值.22．如图，已知圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为.(1)求直线的方程，并写出直线所经过的定点坐标；(2)求线段中点的轨迹方程（不必写出的取值范围）；(3)若两条切线与轴分别交于两点，求的