第二章《直线和圆的方程》同步单元必刷卷（培优卷）（解析版）

第二章《直线和圆的方程》同步单元必刷卷（培优卷）一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．1．下列说法正确的是（

）A．直线的倾斜角越大，它的斜率越大； B．两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等；C．任何一条直线都有唯一的斜率； D．任何一条直线都有唯一的倾斜角．【答案】D【分析】根据直线的倾斜角和斜率概念分别判断即可.【详解】对于:直线的倾斜角,,所以错误；对于:两直线的倾斜角相等为,斜率不存在,所以错误；对于:当直线的倾斜角为时直线斜率不存在，所以错误；对于:任何一条直线都有唯一的倾斜角．所以正确.故选：.2．已知直线：和：，若，则实数的值为（

）A． B．3 C．-1或3 D．-1【答案】D【分析】利用两直线平行列式求出a值，再验证即可判断作答.【详解】因，则，解得或，当时，与重合，不符合题意，当时，，符合题意，所以实数的值为-1.故选：D3．过点的直线中被圆截得的弦长最大的直线方程是A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意直线经过圆心时弦长最大，由此能求出结果．【详解】∵过点的直线中被圆截得的弦长最大为直径,所以该直线必经过圆心，其直线为过点和圆心的直线，∴其方程为：，整理，得．故选A．【点睛】本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线与圆的位置关系的合理运用．4．已知点，直线方程为，且直线与线段相交，求直线的斜率的取值范围为（）A．或 B．或C． D．【答案】A【分析】由题知直线过定点，进而作出图形，数形结合求解即可得答案.【详解】解：直线方程为转化为，所以直线过定点，且与线段相交，如图所示，则直线的斜率是，直线的斜率是，则直线与线段相交时，它的斜率的取值范围是或故选：A．5．过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点,中点为，若直线与直线AB的中垂线交于点，当最大时点的横坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直线的方程为，联立直线与抛物线，可求出，利用中点和垂直求出直线AB的中垂线，与联立，求出M的坐标；应用两点间的距离公式分别求出和，利用不等式即可求出最大时点的横坐标.【详解】解：设，因为抛物线的焦点，所以设直线的方程为，则联立得：，.则，则直线AB的中垂线为，联立解得：.==，所以当且仅当，即时，有最大值，此时C点的横坐标为5.故选：A.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查直线与直线的位置关系，考查两点间的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题.6．若圆与圆关于直线对称，且过点C（－a，a）的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先利用对称求得，再根据题意给出的几何特征建立方程化简即可.【详解】设圆的圆心关于直线y＝x－1的对称点是，则由题意可得，计算可得，由题知它是圆的圆心，所以a＝2.设点P的坐标为（x，y），则有，化简得.故选：C7．在直角坐标系xOy中，已知点P是圆O：上一动点，若直线l：上存在点Q，满足线段PQ的中点也始终在圆O上，则k的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由题意分析可知，只要O的圆心到直线l的距离不超过3，再结合点到直线的距离公式即可求得k的取值范围.【详解】由题意分析可知，直线l：过定点，设的中点为，因为圆O：的圆心，半径为，若满足线段PQ的中点点在圆上，则，又，则，即，所以，设圆心O到直线l的距离为，则，所以，解得或，故．故选：D..8．已知平面内两个定点，及动点，若（且），则点的轨迹是圆.后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆.已知，，直线，直线，若为，的交点，则的最小值为（

）A．3 B． C． D．【答案】A【分析】由直线方程可得，则点的轨迹是以为直径的圆，除去点，得到的轨迹方程为，即，可得，取，则，结合，可得，进而求解.【详解】由已知过定点，过定点，因为，，所以，即，所以点的轨迹是以为直径的圆，除去点，故圆心为，半径为3，则的轨迹方程为，即，易知O、Q在该圆内，又，即，取，则，又，所以，所以的最小值为.故选：A.多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9．已知点，直线(其中)，若直线与线段有公共点，则的值可能是（

）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】ABC【分析】化简直线方程为，求得直线过定点，利用斜率公式，分别求得，得出直线的斜率为，列出不等式，即可求解.【详解】将直线化为，因为，所以，解得，即直线过定点，又因为点，可得，如图所示，由直线与线段有公共点，当时，直线与线段有公共点，当时，直线的斜率为，所以或，解得或，综上可得，实数的取值范围为，结合选项，可得ABC都符合题意.故选：ABC.10．已知，是圆与x轴的两个交点，点P是圆上一动点（异于B点），M为弦的中点，则（

）．A．动点M的轨迹方程是B．动点M的轨迹方程是C．的最大值是D．的最大值是【答案】AD【分析】设动点M的坐标为，用M的坐标表示点P的坐标代入圆的方程，化简可得动点M的轨迹方程，将用坐标表示，求得最大值，此时最大.【详解】设动点M的坐标为，则，设P的坐标为，因为M为弦BP的中点，则，即，因为点P在圆上，所以，即，所以点M的轨迹方程为.由题，是锐角，所以，令，则，当时，最大，等于，此时最大，由，得等于.故选：AD.11．已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（

）A．点到曲线C上任意点距离最大为7 B．的最大值是3C．的最小值是 D．的取值范围是【答案】ACD【分析】利用点与圆的位置关系，数形结合可求A，由两点距离公式可得B，由直线与圆的位置关系可得C、D.【详解】易知曲线的方程，如图所示，

设，圆心，半径，连接AC延长交圆C于B点，此时长为点到曲线C上任意点距离最大值，易得，故A正确；，即为圆上一点到原点距离的平方，延长OC交圆C于D点，则，故B错误；令，则的值为过圆上一点的直线在纵轴上的的截距，显然该直线与圆在相切时取得最值，即到直线的距离为半径时，，故C正确；，即为圆C上一点与点的斜率，易知与圆C相切时斜率取得端点值，可设该切线方程为，则有或，由图象可知，故D正确.故选：ACD.12．下列说法错误的是（

）A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件B．直线的倾斜角的取值范围是C．过两点的所有直线，其方程均可写为D．己知，若直线与线段有公共点，则【答案】AC【分析】根据两直线垂直的判断方法依次判断充分性和必要性可知A错误；由直线斜率和倾斜角关系可求得B正确；根据直线两点式方程无法表示的直线可知C错误；求得所过定点后，由两点连线斜率公式可求得临界状态，结合图象可确定D正确.【详解】对于A，当时，两直线分别为和，此时两直线垂直，充分性成立；若两直线垂直，则，解得：或，必要性不成立；“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，A错误；对于B，由直线得：，直线的斜率，即，又，，B正确；对于C，平行于坐标轴的直线，即或时，直线方程不能写为，C错误；对于D，由得：，直线恒过定点；

，，结合图象可知：，，D正确.故选：AC.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知两条直线，的交点在圆的外部，则实数的取值范围是.【答案】【分析】先求出两条直线的交点坐标，利用交点到圆心的距离大于半径列出不等式，解出实数的取值范围．【详解】由题意，联立，所以两条直线，的交点，因为交点在圆的外部，所以，解得．故答案为：．14．若直线绕着其上一点逆时针旋转后得到直线，则直线的点斜式方程为．【答案】【分析】先根据已知直线斜率求得倾斜角，旋转得到直线的倾斜角，再根据其斜率和定点得到点斜式方程.【详解】∵直线的斜率为1，∴倾斜角为45°．将其逆时针旋转90°后得到直线，则直线的倾斜角为135°，∴直线的斜率为．又点在直线上，∴直线的点斜式方程为．故答案为：.【点睛】本题考查了直线的点斜式方程，属于基础题.15．唐代诗人李颀的《古从军行》中两句诗为：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，怎样走才能使总路程最短？在平面角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从处出发，河岸线所在直线方程为.则“将军饮马”的最短总路程为.【答案】【分析】求出点P关于直线的对称点的坐标，设直线上任一点N，当且仅当Q，N，三点共线时取最小值，可得最短距离．【详解】设点关于直线的对称点的坐标为则解得：，所以，设，设直线上的点，则则当且仅当Q，N，三点共线时取等号，而，所以最短总路程为，故答案为：．16．以点为圆心作圆，过点作圆的切线，切线长为，直线（其中为坐标原点）交圆于两点，当点在优弧上运动时，的最大值为.【答案】【分析】首先根据切线长为得到圆的标准方程，画出图形可知优弧均在直线的上方区域，得到，则，令，再根据的几何意义结合图形即可得到答案.【详解】设圆的标准方程为，，则切线长为，解得.则圆的标准方程为，直线的方程为，作出直线，可得优弧均在直线的上方区域.如图所示：则优弧上任意一点满足不等式，则.令，则.表示直线的轴截距再加.由图知，当直线与圆相切于第一象限时，最大.所以，解得.由图可知：的最大值为.故答案为：【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，同时考查了圆的标准方程和线性规划，属于难题.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．根据下列条件求解直线的一般式方程．(1)直线的斜率为2，且经过点；(2)斜率为，且在y轴上的截距为4；(3)经过两点，；(4)在x，y轴上的截距分别为2，－4；(5)直线l经过点且与，两点的连线垂直.【答案】(1)(2)(3)(4)(5)【分析】（1）根据直线点斜式方程直接整理可得结果；（2）根据直线斜截式方程直接整理可得结果；（3）根据直线两点式方程直接整理可得结果；（4）根据直线截距式方程直接整理可得结果；（5）根据两点求出斜率，由垂直关系求出直线的斜率，根据直线点斜式方程求得结果；【详解】（1）因为，且经过点，由直线的点斜式可得，整理可得，所以直线的一般式方程为.（2）由直线的斜率，且在y轴上的截距为4.故直线的斜截式为，整理可得直线的一般式方程为.（3）由直线的两点式可得，整理得直线的一般式方程为.（4）由直线的截距式可得，整理得直线的一般式方程为.（5）因为，两点连线的斜率为，所以直线l的斜率为，由直线的点斜式可得，整理得直线l的一般式方程为.18．等腰直角三角形ABC的直角顶点B和顶点A都在直线上，顶点C的坐标是，直线AC的倾斜角是钝角.(1)求直线BC，AC在x轴上的截距之和；(2)平行于AC的直线l与边AB，BC分别交于点D，E，若的面积等于，求直线l与两坐标轴围成的三角形的周长.【答案】(1)3(2)【分析】（1）根据互相垂直的两直线斜率间的关系，结合等腰直角三角形的性质、点到直线距离公式进行求解即可；（2）根据互相平行的两直线斜率间的关系，结合点到直线距离公式进行求解即可.【详解】（1）因为直线AB的方程为，所以直线BC的斜率为，直线BC的方程为，即，令，得，所以直线BC在x轴上的截距为4.设，由知点A到直线BC的距离等于点C到直线AB的距离，即，解得或，当时，即，，不符合题意舍去，当时，即，，符合题意，所以直线AC的方程为，令，得，所以直线AC在x轴上的截距为，所以直线BC、AC在x轴上的截距之和为3.（2）设直线l的方程为，由可得，则.的面积为，而的面积为，所以点B到直线AC的距离是点B到直线l的距离的2倍，即，解得或.因为直线l与边AB，BC分别交于点D，E，所以，即直线l的方程为，所以所求三角形的周长为.19．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的圆心在y轴右侧，原点O和点都在圆C上，且圆C在x轴上截得的线段长度为3．(1)求圆C的方程；(2)若M，N为圆C上两点，若四边形MONP的对角线MN的方程为，求四边形MONP面积的最大值(3)过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B两点，若直线PA，PB的斜率分别为，，且，试判断直线AB的斜率是否为定值，并说明理由．【答案】(1)(2)(3)是定值，理由见解析【分析】（1）利用待定系数法求解圆的方程；（2）利用点到直线的距离公式以及弦长求解四边形MONP面积，借助二次函数性质求解最值；（3）联立直线PA与圆的方程，求A，同理求B，根据两点求斜率，即可求解【详解】（1）由题意得圆C过，，三点，设圆C方程为，则有解得，所以圆C方程为，即；（2）由（1）可知，半径，则C到MN距离，所以，当且仅当时取等号，由，解得由O，P在MN两侧，，，所以．O到MN距离，P到MN距离，所以四边形MONP的面积，所以时，四边形MONP面积最大为（3）由题意可设由可得，设，则，所以，，所以，同理，因为，所以，所以,为定值．20．已知圆C过点A(2,6),且与直线l1:x+y－10=0相切于点B(6,4).(1)求圆C的方程；(2)过点P(6,24)的直线l2与圆C交于M,N两点,若△CMN为直角三角形,求直线l2的斜率；(3)在直线l3:y=x－2上是否存在一点Q,过点Q向圆C引两切线,切点为E,F,

使△QEF为正三角形,若存在,求出点Q的坐标,若不存在,说明理由.【答案】（1）；（2）直线的斜率为或者不存在；（3）存在，或.【解析】（1）设圆心坐标，半径为，通过垂直关系和半径关系求出未知数即可；（2）若△CMN为直角三角形,则圆心到直线的距离为，即可求解斜率；（3）使△QEF为正三角形，即，求出点Q的坐标.【详解】（1）设圆心坐标，半径为，圆C过点A(2,6),且与直线l1:x+y－10=0相切于点B(6,4)，所以即，解得，所以所以圆C的方程：；（2）过点P(6,24)的直线l2与圆C交于M,N两点,若△CMN为直角三角形,，所以△CMN为等腰直角三角形，且，所以圆心到直线l2的距离为，当直线l2的斜率不存在时，直线方程，圆心到直线l2的距离为5，符合题意；当直线l2的斜率存在时，设斜率为，直线方程为，即圆心到直线l2的距离为，即，，解得，直线的斜率为或者不存在；（3）若直线l3:y=x－2上存在一点Q,过点Q向圆C引两切线,切点为E,F,

使△QEF为正三角形,即，在中，设，即解得或所以点的坐标为或.【点睛】此题考查直线和圆的位置关系，其中涉及等价转化思想，将直角三角形关系转化为圆心到直线距离关系求解，将正三角形关系转化成点到圆心距离关系求解．21．已知在平面直角坐标系xOy中，，，平面内动点P满足．(1)求点P的轨迹方程；(2)点P轨迹记为曲线，若C，D是曲线与x轴的交点，E为直线l：