2025年弹性力学与有限元分析试题答案

2025年弹性力学与有限元分析试题答案一、简答题1.弹性力学的基本假设包括哪些？各假设的工程意义是什么？弹性力学的基本假设通常包括连续性假设、完全弹性假设、均匀性假设、各向同性假设和小变形假设。连续性假设认为物体内无空隙，材料连续分布，使物理量可用连续函数描述，是建立微分方程的基础；完全弹性假设指物体在去除外力后能完全恢复原状，应力与应变满足单值线性关系（胡克定律），简化了本构关系的数学表达；均匀性假设认为材料性质不随位置变化，弹性常数在物体内各点相同，使本构方程中的弹性模量等参数为常数；各向同性假设指材料在各个方向上的力学性能相同，弹性常数与方向无关，避免了正交异性或各向异性材料的复杂张量表示；小变形假设认为物体变形远小于其几何尺寸，可忽略变形对几何关系的影响，使平衡方程和几何方程线性化，大幅降低求解难度。2.简述圣维南原理的核心思想及其工程应用条件。圣维南原理的核心思想是：作用在弹性体某一局部区域的力系，若用另一静力等效（主矢和主矩相同）的力系代替，则仅在该局部区域附近的应力分布有显著变化，远处的应力分布几乎不受影响。其工程应用需满足两个条件：一是替换的力系必须与原力系静力等效；二是原力系作用区域的尺寸远小于物体的整体尺寸（局部性）。例如，机械零件中螺栓孔或销钉孔附近的应力集中，若仅关注远离孔的部位的应力分布，可将孔边的集中力替换为等效的分布力或合力，简化计算而不影响整体结果。3.有限元分析中，形函数需要满足哪些基本条件？形函数（插值函数）需满足以下条件：（1）完备性条件：形函数应包含常数项和线性项（一次完全多项式），确保单元在刚体位移和常应变状态下的解正确；（2）协调性条件：相邻单元在公共边界上的位移必须连续（C0连续性），避免因位移不连续导致应力无穷大；（3）规范性条件：在节点i处，形函数Ni=1，其他节点j≠i时Nj=0，保证节点位移直接由插值函数反映；（4）单元内部形函数应光滑可导，一阶导数连续，以满足几何方程对应变计算的要求；（5）对于高阶单元（如二次单元），还需满足更高阶的连续性（如C1连续），但工程中常用的低阶单元（线性三角形、四边形）一般仅需C0连续。二、推导题1.推导平面应力问题的几何方程，并说明其与平面应变问题的差异。平面应力问题假设物体为等厚度薄板，外力平行于板面且沿厚度均匀分布，厚度方向（z向）应力σz=0，应变εz≠0。几何方程描述应变与位移的关系，对于小变形，应变分量为：εx=∂u/∂x，εy=∂v/∂y，γxy=∂u/∂y+∂v/∂x其中u、v为x、y方向的位移分量，γxy为工程切应变（等于纯切应变的2倍）。平面应变问题假设物体为长柱体，外力沿长度方向（z向）均匀分布，z向位移w=0，应变εz=0，应力σz≠0（由泊松效应引起）。其几何方程与平面应力问题形式相同，因为应变仅由x、y方向的位移梯度决定，与z向约束无关。两者的差异体现在本构方程：平面应力问题的弹性矩阵D中，弹性模量E保持不变，泊松比ν替换为ν/(1-ν²)；平面应变问题的弹性矩阵D中，弹性模量替换为E/(1-ν²)，泊松比保持ν不变。2.从虚功原理出发，推导有限元分析中单元刚度方程的一般形式。虚功原理指出：外力在虚位移上做的虚功等于内力在虚应变上做的虚功。对于单元e，设节点位移向量为{δ}e，虚位移向量为{δ}e，对应虚应变为{ε}e，虚应力为{σ}e（由虚应变通过本构关系得到）。外力虚功包括体积力{f}和表面力{q}的贡献：W_ext=∫V{δ}e^T{f}dV+∫S{δ}e^T{q}dS内力虚功为：W_int=∫V{ε}e^T{σ}dV由于虚位移与节点虚位移的关系为{ε}e=[B]{δ}e（[B]为应变矩阵），{σ}=[D]{ε}=[D][B]{δ}e（[D]为弹性矩阵），代入虚功方程得：{δ}e^T(∫V[B]^T[D][B]dV{δ}e∫V[B]^T{f}dV∫S[N]^T{q}dS)=0由于{δ}e任意，故单元刚度方程为：[K]e{δ}e={F}e其中，单元刚度矩阵[K]e=∫V[B]^T[D][B]dV，单元节点力向量{F}e=∫V[N]^T{f}dV+∫S[N]^T{q}dS（[N]为形函数矩阵，{ε}=[B]{δ}e，{u}=[N]{δ}e）。三、计算题已知一受均匀内压p的厚壁圆筒，内半径a=100mm，外半径b=200mm，材料弹性模量E=200GPa，泊松比ν=0.3。试求：（1）径向应力σr和环向应力σθ的分布；（2）内表面和外表面的环向应力值；（3）若圆筒改为薄壁（b-a<<a），用薄壁公式计算内表面环向应力，并与厚壁解对比误差。（1）厚壁圆筒的应力解属于轴对称平面应力问题（假设长度远大于壁厚，可近似为平面应变，但通常工程中厚壁圆筒按平面应力处理）。根据弹性力学，轴对称问题的平衡微分方程为：dσr/dr+(σrσθ)/r=0几何方程：εr=du/dr，εθ=u/r（u为径向位移）本构方程（平面应力）：εr=(σrνσθ)/Eεθ=(σθνσr)/E联立方程并利用边界条件（r=a时σr=-p；r=b时σr=0），解得：σr=p(a²/b²1)/(1a²/b²)(b²/r²1)？不，正确解应为：σr=pa²(1/b²1/r²)/(1/a²1/b²)=pa²(b²r²)/(r²(b²a²))σθ=pa²(b²+r²)/(r²(b²a²))（2）内表面（r=a）：σθ(a)=pa²(b²+a²)/(a²(b²a²))=p(b²+a²)/(b²a²)代入a=100mm，b=200mm，p为内压（假设p=10MPa）：σθ(a)=10(200²+100²)/(200²100²)=10(40000+10000)/(4000010000)=1050000/30000≈16.67MPa外表面（r=b）：σθ(b)=pa²(b²+b²)/(b²(b²a²))=pa²2b²/(b²(b²a²))=2pa²/(b²a²)=210100²/(200²100²)=200000/30000≈6.67MPa（3）薄壁圆筒公式假设壁厚t=b-a<<a，环向应力σθ≈pa/t（t=b-a=100mm，a=100mm），则σθ≈10100/100=10MPa。与厚壁解内表面的16.67MPa相比，误差为(10-16.67)/16.67≈-40%，误差显著，说明薄壁公式仅适用于t/a≤1/10（一般t/a≤0.1）的情况，本题t/a=100/100=1，不满足薄壁条件，故厚壁解更准确。四、应用题某机械臂关节由两根等截面直杆组成（杆1：长度L1=500mm，截面积A1=200mm²；杆2：长度L2=300mm，截面积A2=150mm²），材料均为Q235钢（E=206GPa），节点1固定，节点2受水平力F=5kN，节点3受竖直力P=3kN（如图1所示，图中节点1(0,0)，节点2(500,0)，节点3(500,300)）。试用有限元法分析：（1）单元划分与节点编号；（2）建立各单元刚度矩阵；（3）组装整体刚度矩阵并考虑边界条件；（4）求解节点位移和各杆应力。（1）单元划分：将结构离散为2个单元，单元1（节点1-2）为水平杆，单元2（节点2-3）为竖直杆，节点编号1(0,0)、2(500,0)、3(500,300)。（2）单元刚度矩阵：单元1（x轴方向，θ=0°）：[K]1=(EA1/L1)[10-10;0000;-1010;0000]代入数值：E=206GPa=2.06×10^5MPa，A1=200mm²，L1=500mm[K]1=(2.06×10^5200/500)刚度矩阵系数=8.24×10^4[10-10;0000;-1010;0000]单元2（y轴方向，θ=90°）：[K]2=(EA2/L2)[0000;010-1;0000;0-101]代入数值：A2=150mm²，L2=300mm[K]2=(2.06×10^5150/300)刚度矩阵系数=1.03×10^5[0000;010-1;0000;0-101]（3）整体刚度矩阵组装：节点1自由度(0,0)，节点2自由度(u2,v2)，节点3自由度(u3,v3)。整体刚度矩阵K为6×6矩阵（每个节点2个自由度），根据单元1对应节点1(1,2)、节点2(3,4)，单元2对应节点2(3,4)、节点3(5,6)，组装后：K[1,1]=8.24e4（x向），K[1,3]=-8.24e4（单元1节点1x对节点2x），其他K[1,j]=0（节点1y无约束）；K[3,3]=8.24e4（单元1节点2x）+0（单元2节点2x）=8.24e4；K[4,4]=0（单元1节点2y）+1.03e5（单元2节点2y）=1.03e5；K[4,6]=-1.03e5（单元2节点2y对节点3y）；K[6,6]=1.03e5（单元2节点3y）；其余非对角线项根据单元刚度矩阵填充。边界条件：节点1固定，u1=0，v1=0，故划去K的第1、2行和列，得到缩减刚度矩阵：[K']=[[8.24e4,0,0],[0,1.03e5,-1.03e5],[0,-1.03e5,1.03e5]]载荷向量：节点2受水平力F=5kN=5000N（x向），节点3受竖直力P=3kN=3000N（y向），故{F'}=[5000,0,3000]^T（注意节点2y向无载荷，节点3x向无载荷）。（4）求解节点位移：由[K']{δ}={F'}，得：8.24e4u2=5000→u2=5000/8.24e4≈0.0607mm（x向）1.03e5v21.03e5v3=0→v2=v3-1.03e5v2+1.03e5v3=3000→0=3000（矛盾，说明载荷向量错误，节点3的竖直力应为y向，故{F'}应为[5000,0,3000]^T中节点3的y向载荷为3000N，正确方程应为：对于节点2的y向（自由度4）：0u2+1.03e5v21.03e5v3=0对于节点3的y向（自由度6）：0u21.03e5v2+1.03e5v3=3000显然方程组无解，说明单元2的局部坐标系转换错误。正确做法是，单元2的局部坐标系为y轴，其全局刚度矩阵应通过坐标变换得到。单元2的方向余弦为l=0（x向），m=1（y向），故其刚度矩阵为：[K]2=(EA2/L2)[[l²,lm,-l²,-lm],[lm,m²,-lm,-m²],[-l²,-lm,l²,lm],[-lm,-m²,lm,m²]]代入l=0，m=1，得：[K]2=(1.03e5)[[0,0,0,0],[0,1,0,-1],[0,0,0,0],[0,-1,0,1]]此时整体刚度矩阵中，节点2的y向（自由度4）和节点3的y向（自由度6）的刚度系数正确。载荷向量应为节点2的x向5000N（自由度3），节点3的y向3000N（自由度6），故{F'}=[5000,0,3000]^T对应自由度3、4、6。重新建立方程：对于自由度3（节点2x）：8.24e4u2=5000→u2=0.0607mm对于自由度4（节点2y）：1.03e5v21.03e5v3=0→v2=v3对于自由度6（节点3y）：-1.03e5v2+1.03e5v3=3000→0=3000，仍矛盾，说明载荷施加位置错误。实际节点3的竖直力应作用于自由度6（y向），而节点2的y向无载荷，故正确的载荷向量应为{F}=[0（节点1x）,0（节点1y）,5000（节点2x）,0（节点2y）,0（节点3x）,3000（节点3y）]^T。考虑节点1固定（u1=v1=0），缩减后的方程为：[K']{u2,v2,u3,v3}={5000,0,0,3000}^T其中，单元1的刚度影响节点2x（u2）和节点1x（固定），单元2的刚度影响节点2y（v2）、节点3y（v3）。由于单元1为水平杆，不影响y向位移，单元2为竖直杆，不影响x向位移，故u3=u2（节点3与节点2在x向无相对位移），v1=0，v2为节点2的y向位移，v3为节点3的y向位移。修正后，单元1的应变ε1=(u2u1)/L1=u2/500mm，应力σ1=Eε1=2.