《空间向量的基本定理》参考教案2

2/33.1.2空间向量的基本定理一、教学要求了解向量与平面平行、共面向量的意义，掌握向量与平面平行的表示方法；理解共面向量定理及其推论；掌握点在已知平面内的充要条件；会用上述知识解决立体几何中有关的简单问题．二、教学重点点在已知平面内的充要条件．三、教学难点对点在已知平面内的充要条件的理解与运用．四、教学过程（一）复习引入1.空间向量的有关知识——共线或平行向量的概念、共线向量定理及其推论以及空间直线的向量表示式、中点公式。2.必修4《平面向量》，平面向量的一个重要定理——平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。（二）新课讲授1.定义：共线向量定理两个空间向量a,b(b≠0)，a//b的充要条件是存在唯一的实数x，使得a=xb.2.定义：平行于同一平面的向量叫做共面向量．共面向量不一定是在同一平面内的，但可以平移到同一平面内．3.讨论：空间中任意三个向量一定是共面向量吗？请举例说明．结论：空间中的任意三个向量不一定是共面向量．例如：对于空间四边形ABCD，、、这三个向量就不是共面向量．4.讨论：空间三个向量具备怎样的条件时才是共面向量呢？5.得出共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x，y，使得p=xa+yb．证明：必要性：由已知，两个向量a、b不共线．∵向量p与向量a、b共面∴由平面向量基本定理得：存在一对有序实数对x，y，使得p=xa+yb．充分性：如图，∵xa，yb分别与a、b共线，∴xa，yb都在a、b确定的平面内．又∵xa+yb是以｜xa｜、｜yb｜为邻边的平行四边形的一条对角线所表示的向量，并且此平行四边形在a、b确定的平面内，∴p=xa+yb在a、b确定的平面内，即向量p与向量a、b共面．说明：当p、a、b都是非零向量时，共面向量定理实际上也是p、a、b所在的三条直线共面的充要条件，但用于判定时，还需要证明其中一条直线上有一点在另两条直线所确定的平面内．6.共面向量定理的推论是：空间一点P在平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x，y，使得，或对于空间任意一定点O，有．分析：(1)推论中的x、y是唯一的一对有序实数；(2)由得：，∴.如果向量、、分别和向量a、b、c共线，能否用向量a、b、c表示向量？＝xa+yb+zc7.对空间任一向量，都可以构造出平行六面体，由此得到了空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对于空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使p＝xa+yb+zc．证明：存在性：唯一性：设另有一组实数x’、y’、z’，使得p＝x’a+y’b+z’c，则有xa+yb+zc＝x’a+y’b+z’c，∴(x－x’)a+(y－y’)b+(z－z’)c＝0．∵a、b、c不共面，∴x－x’＝y－y’＝z－z’＝0，即x＝x’且y＝y’且z＝z’．故实数x、y、z是唯一的．8.由上述定理可知，空间任一向量均可以由空间不共面的三个向量生成，我们把｛a、b、c｝叫做空间的一个基底，a、b、c都叫做基向量．说明：(1)空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．(2)三个向量不共面就隐含着它们都不是零向量．（零向量与任意非零向量共线，与任意两个非零向量共面）(3)一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量．由定理的证明过程（