2021-2022学年广东省广州市越秀区九年级上学期期末数学试卷（含答案）

第1页（共1页）2021-2022学年广东省广州市越秀区九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共有10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（3分）下列四个图案中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）把抛物线y=-1A．y=-12x2C．y=-12x3．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣10x+21＝0，下列变形正确的是（）A．（x﹣5）2＝4 B．（x+5）2＝4 C．（x﹣5）2＝121 D．（x+5）2＝1214．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣4，﹣3），以点A为圆心，4为半径画⊙A，则坐标原点O与⊙A的位置关系是（）A．点O在⊙A内 B．点O在⊙A外 C．点O在⊙A上 D．以上都有可能5．（3分）下列事件为必然事件的是（）A．抛掷一枚硬币，正面向上 B．在一个装有5只红球的袋子中摸出一个白球 C．方程x2﹣2x＝0有两个不相等的实数根 D．如果|a|＝|b|，那么a＝b6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．把△ABC绕点A逆时针方向旋转到△AB'C'，点B'恰好落在AC边上，则CC'＝（）A．10 B．213 C．234 D．457．（3分）某地区计划举行校际篮球友谊赛，赛制为主客场形式（每两队之间在主客场各比赛一场），已知共比赛了30场次，则共有（）支队伍参赛．A．4 B．5 C．6 D．78．（3分）在同一平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax与二次函数y＝ax2﹣a的图象可能是（）A． B． C． D．9．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点F为边CD上一点，且FE⊥AB交AB于点E，若AD＝2，BC＝8，四边形AEFD～四边形EBCF，则DFFCA．14 B．12 C．1510．（3分）已知点P1（x1，y1），P2（x2，y2）为抛物线y＝﹣ax2+4ax+c（a≠0）上两点，且x1＜x2，则下列说法正确的是（）A．若x1+x2＜4，则y1＜y2 B．若x1+x2＞4，则y1＜y2 C．若a（x1+x2﹣4）＞0，则y1＞y2 D．若a（x1+x2﹣4）＜0，则y1＞y2二、填空题：本题共6小题，每小题3分，满分18分。11．（3分）已知点P（2，﹣3）与点Q（a，b）关于原点对称，则a+b＝．12．（3分）在一个不透明的袋子中装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出黄球的频率稳定在0.30左右，则袋子中黄球的数量可能是个．13．（3分）在某一时刻，测得一根长为1.5米的竹竿竖直放置时，在平地上的影长是2米；在同一时刻测得旗杆在平地上的影长是24米，则旗杆的高度是米．14．（3分）如图，它是在纸板上剪下的一个半圆和一个圆形，它们恰好能组成一个圆锥模型．已知半圆的半径为1，则该圆锥的侧面积是．15．（3分）飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是s＝60t﹣1.5t2，则飞机停下前最后10秒滑行的距离是米．16．（3分）如图，正方形ABCD的边长为1，⊙O经过点C，CM为⊙O的直径，且CM＝1．过点M作⊙O的切线分别交边AB，AD于点G，H．BD与CG，CH分别交于点E，F，⊙O绕点C在平面内旋转（始终保持圆心O在正方形ABCD内部）．给出下列四个结论：①HD＝2BG；②∠GCH＝45°；③H，F，E，G四点在同一个圆上；④四边形CGAH面积的最大值为2-2其中正确的结论有（填写所有正确结论的序号）．三、解答题：本题共9小题，满分72分，解容应写出文字说明、证明过程或演算步，17．（4分）解方程：2x2+x﹣15＝0．18．（4分）如图，已知∠EAC＝∠DAB，∠D＝∠B，求证：△ABC∽△ADE．19．（6分）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）在图中画出将△ABC绕点C按逆时针方向旋转90°后得到的△A1B1C1；（2）在（1）所画的图中，计算线段AC在旋转过程中扫过的图形面积（结果保留π）．20．（6分）为了更好地宣传垃圾分类，某校九（1）班学生成立了一个“垃圾分类”宣传小组，其中男生2人，女生3人．（1）若从这5人中选1人进社区宣传，恰好选中女生的概率是；（2）若从这5人中选2人进社区宣传，请用树状图或列表法求恰好选中一男一女的概率．21．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣2x+m与二次函数y＝ax2+bx+c的图象相交于A，B两点，点A（1，4）为二次函数图象的顶点，点B在x轴上．（1）求二次函数的解析式；（2）根据图象，求二次函数的函数值大于0时，自变量x的取值范围．22．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O为边BC上一点．以O为圆心，OC为半径的⊙O与边AB相切于点D．（1）尺规作图：画出⊙O，并标出点D（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）所作的图中，连接CD，若CD＝BD，且AC＝6．求劣弧CD的长．23．（10分）某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费．（1）若a＝12，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？（2）若下表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况：月份用水量（吨）交水费总金额（元）4186252486根据上表数据，求a的值．24．（12分）如图，四边形ABCD为平行四边形，以AD为直径的⊙O交AB于点E，连接DE，DA＝22，DE=7，DC＝5．过点E作直线l．过点C作CH⊥l，垂足为H（1）若l∥AD，且l与⊙O交于另一点F，连接DF，求DF的长；（2）连接BH，当直线l绕点E旋转时，求BH的最大值；（3）过点A作AM⊥l，垂足为M，当直线l绕点E旋转时，求CH﹣4AM的最大值．25．（12分）已知抛物线y=-12x2+mx+m+12与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点P为抛物线在直线AC上方图象上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）求△PAC面积的最大值，并求此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线y=-12x2+mx+m+12在点A、B之间的部分（含点A、B）沿x轴向下翻折，得到图象G．现将图象G沿直线AC平移，得到新的图象M与线段PC只有一个交点，求图象

2021-2022学年广东省广州市越秀区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共有10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（3分）下列四个图案中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，选项B、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，故选：A．【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．（3分）把抛物线y=-1A．y=-12x2C．y=-12x【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：抛物线y=-1则该抛物线向右平移1个单位长度后的顶点坐标是（1，﹣1），所以所得新抛物线的解析式是y=-1故选：D．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．3．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣10x+21＝0，下列变形正确的是（）A．（x﹣5）2＝4 B．（x+5）2＝4 C．（x﹣5）2＝121 D．（x+5）2＝121【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上52，然后把方程左边写成完全平分的形式．【解答】解：x2﹣10x＝﹣21，x2﹣10x+52＝﹣21+52，（x﹣5）2＝4．故选：A．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．4．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣4，﹣3），以点A为圆心，4为半径画⊙A，则坐标原点O与⊙A的位置关系是（）A．点O在⊙A内 B．点O在⊙A外 C．点O在⊙A上 D．以上都有可能【分析】先求出点A到圆心O的距离，再根据点与圆的位置依据判断可得．【解答】解：∵圆心A（﹣4，﹣3）到原点O的距离OA=(-4∴OA＝5＞r＝4，∴点O在⊙A外，故选：B．【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．5．（3分）下列事件为必然事件的是（）A．抛掷一枚硬币，正面向上 B．在一个装有5只红球的袋子中摸出一个白球 C．方程x2﹣2x＝0有两个不相等的实数根 D．如果|a|＝|b|，那么a＝b【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．【解答】解：A、是随机事件，故A选项不符合题意；B、是不可能事件，故B选项不符合题意；C、是必然事件，故C选项符合题意；D、是随机事件，故D选项不符合题意．故选：C．【点评】本题主要考查了必然事件的概念，必然事件指在一定条件下一定发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，难度适中．6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．把△ABC绕点A逆时针方向旋转到△AB'C'，点B'恰好落在AC边上，则CC'＝（）A．10 B．213 C．234 D．45【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理可求AC，由旋转的性质可得AB＝AB'＝6，BC＝B'C'＝8，∠B＝∠AB'C'＝90°，在Rt△CB'C'中，由勾股定理可求CC'的长．【解答】解：∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC=A∵将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB′C′，∴AB′＝AB＝6，B'C'＝BC＝8，∠ABC＝∠AB'C'＝90°，∴B'C＝AC﹣AB'＝4，∠C'B'C＝90°，在Rt△B'C'C中，CC'=B′C′2故选：D．【点评】本题主要考查了旋转的性质，直角三角形，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用等知识，由旋转的性质得出△B'C'C是直角三角形是解题的关键．7．（3分）某地区计划举行校际篮球友谊赛，赛制为主客场形式（每两队之间在主客场各比赛一场），已知共比赛了30场次，则共有（）支队伍参赛．A．4 B．5 C．6 D．7【分析】由于每两队之间都需在主客场各赛一场，即每个队都要与其余队比赛一场．等量关系为：球队的个数×（球队的个数﹣1）＝30，把相关数值代入即可．【解答】解：设邀请x个球队参加比赛，根据题意可列方程为：x（x﹣1）＝30．解得：x1＝6，x2＝﹣5（不合题意舍去），答：共有6支队伍参赛．故选：C．【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据比赛场数与参赛队之间的关系为：比赛场数＝队数×（队数﹣1）÷2，进而得出方程是解题关键．8．（3分）在同一平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax与二次函数y＝ax2﹣a的图象可能是（）A． B． C． D．【分析】根据各选项图象判断a的取值范围求解．【解答】解：选项A，直线下降a＜0，抛物线开口向上，a＞0，不符合题意．选项B，直线下降，a＜0，抛物线开口向下a＜0，抛物线与y轴交点在x轴下方，﹣a＜0，即a＞0，不符合题意．选项C，直线上升，a＞0，抛物线开口向上a＞0，抛物线与y轴交点在x轴下方，﹣a＜0，即a＞0，符合题意．选项D，直线上升，a＞0，抛物线开口向下a＜0，不符合题意．故选：C．【点评】本题考查二次函数与一次函数的性质，解题关键是掌握函数图象与系数的关系．9．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点F为边CD上一点，且FE⊥AB交AB于点E，若AD＝2，BC＝8，四边形AEFD～四边形EBCF，则DFFCA．14 B．12 C．15【分析】根据四边形AEFD～四边形EBCF，求得EF＝4，根据相似多边形的性质即可得到结论．【解答】解：∵四边形AEFD～四边形EBCF，∴ADEF∵AD＝2，BC＝8，∴EF2＝2×8＝16，∴EF＝4，∵四边形AEFD～四边形EBCF，∴DFCF故选：B．【点评】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．10．（3分）已知点P1（x1，y1），P2（x2，y2）为抛物线y＝﹣ax2+4ax+c（a≠0）上两点，且x1＜x2，则下列说法正确的是（）A．若x1+x2＜4，则y1＜y2 B．若x1+x2＞4，则y1＜y2 C．若a（x1+x2﹣4）＞0，则y1＞y2 D．若a（x1+x2﹣4）＜0，则y1＞y2【分析】通过函数解析式求出抛物线的对称轴，分类讨论a＞0及a＜0时各选项求解．【解答】解：∵y＝﹣ax2+4ax+c，∴抛物线对称轴为直线x=-4aP2（x2，y2）关于直线x＝2的对称点为P（4﹣x2，y2），若x1+x2＜4，由x2+4﹣x2＝4，x1＜x2，可得x1＜4﹣x2，当抛物线开口向上时，y1＞y2，∴选项A错误．若x1+x2＞4，由x2+4﹣x2＝4，x1＜x2，可得4﹣x2＜x1＜x2，当抛物线开口向下时，y1＞y2，∴选项B错误．若a（x1+x2﹣4）＞0，当x1+x2＜4时，则a＜0，﹣a＞0，抛物线开口向上，∴y1＞y2，当x1+x2＞4时，则a＞0，﹣a＜0，抛物线开口向下，∴y1＞y2，选项C正确．若a（x1+x2﹣4）＜0，当x1+x2＜4时，a＞0，﹣a＜0，抛物线开口向下，∴y1＜y2，选项D错误．解法二：作差法，∵y1＝﹣ax12+4ax1+c，y2＝﹣ax22+4ax2∴y1﹣y2＝﹣ax12+4ax1+c﹣（﹣ax22+4ax2＝﹣a（x12-x22）+4a（x＝﹣a（x1+x2）（x1﹣x2）+4a（x1﹣x2）＝﹣a（x1﹣x2）（x1+x2﹣4）∵x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，当a（x1+x2﹣4）＞0时，则﹣a（x1﹣x2）（x1+x2﹣4）＞0，∴y1＞y2，故选：C．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系，通过数形结合求解．二、填空题：本题共6小题，每小题3分，满分18分。11．（3分）已知点P（2，﹣3）与点Q（a，b）关于原点对称，则a+b＝1．【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案．【解答】解：由点P（2，﹣3）与点Q（a，b）关于原点对称，得a＝﹣2，b＝3，则a+b＝﹣2+3＝1，故答案为：1．【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．12．（3分）在一个不透明的袋子中装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出黄球的频率稳定在0.30左右，则袋子中黄球的数量可能是6个．【分析】袋子中装有红球、黄球共20个，多次实验发现，摸出黄球的频率稳定在0.30左右，据此用球的总个数乘以黄球的频率即概率，从而得出黄球个数的估计值．【解答】解：∵袋子中装有红球、黄球共20个，多次实验发现，摸出黄球的频率稳定在0.30左右，∴袋子中黄球的数量可能是20×0.3＝6（个），故答案为：6．【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．13．（3分）在某一时刻，测得一根长为1.5米的竹竿竖直放置时，在平地上的影长是2米；在同一时刻测得旗杆在平地上的影长是24米，则旗杆的高度是18米．【分析】由于光线是平行的，影长都在地面上，那么可得竹竿与影长构成的三角形和旗杆和影长构成的三角形相似，利用对应边成比例可得旗杆的高度．【解答】解：∵光线是平行的，影长都在地面上，∴光线和影长组成的角相等；旗杆和竹竿与影长构成的角均为直角，∴竹竿与影长构成的三角形和旗杆和影长构成的三角形相似，设旗杆的高度为x，x24解得x＝18，答：旗杆的高度是18米，故答案为：18．【点评】本题考查了相似三角形的应用：通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．14．（3分）如图，它是在纸板上剪下的一个半圆和一个圆形，它们恰好能组成一个圆锥模型．已知半圆的半径为1，则该圆锥的侧面积是π2【分析】根据圆锥的侧面积等于半圆的面积解决问题．【解答】解：圆锥的侧面积＝半圆的面积=12×π×1故答案为：π2【点评】本题考查圆锥的计算，解题的关键是理解圆锥的侧面积等于半圆面积．15．（3分）飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是s＝60t﹣1.5t2，则飞机停下前最后10秒滑行的距离是150米．【分析】根据二次函数的解析式求得其对称轴即可得出飞机滑行所需时间为20秒，再求出前10秒飞机滑行的距离即可．【解答】解：∵s＝60t﹣1.5t2=-32（t﹣20）-3∴当t＝20时，s有最大值，此时s＝600，∴飞机从落地到停下来共需20秒，飞机前10秒滑行的距离为：s1＝60×10﹣1.5×102＝450（米），∴飞机停下前最后10秒滑行的距离为：600﹣450＝150（米），故答案为：150．【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确题意并正确地将二次函数的一般式写成顶点式是解题的关键．16．（3分）如图，正方形ABCD的边长为1，⊙O经过点C，CM为⊙O的直径，且CM＝1．过点M作⊙O的切线分别交边AB，AD于点G，H．BD与CG，CH分别交于点E，F，⊙O绕点C在平面内旋转（始终保持圆心O在正方形ABCD内部）．给出下列四个结论：①HD＝2BG；②∠GCH＝45°；③H，F，E，G四点在同一个圆上；④四边形CGAH面积的最大值为2-2其中正确的结论有②③④（填写所有正确结论的序号）．【分析】①在⊙O绕点C在平面内旋转（始终保持圆心O在正方形ABCD内部）过程中，BG增大时，DH随着减小，BG减小时，DH随着增大，可判断①不正确；②先证明Rt△CHD≌Rt△CHM（HL），可得：HD＝HM，∠HCD＝∠HCM，∠CHD＝∠CHM，同理：GB＝GM，∠GCB＝∠GCM，∠CGB＝∠CGM，即可得出：∠GCH＝45°，可判断②正确；③根据∠CHD+∠HCD＝90°，∠BCH+∠HCD＝90°，可得∠CHD＝∠BCH，进而推出：∠CHM+∠FEG＝180°，即H，F，E，G四点在同一个圆上，即可判断③正确；④设HD＝x，BG＝a，则HM＝x，MG＝a，AH＝1﹣x，AG＝1﹣a，利用勾股定理可得出a=1-xx+1，设四边形CGAH的面积为y，则：y＝S正方形ABCD﹣S△CDH﹣S△CBG＝1-12x+x-12(x+1)，整理，得：x2+（2y﹣2）x+（2y﹣1）＝0，由根的判别式得：Δ＝（2y﹣2）2﹣4×1×（2y﹣1）≥0，即（y﹣2+2）（y﹣2-2）≥0，可得出y≤2【解答】解：①在⊙O绕点C在平面内旋转（始终保持圆心O在正方形ABCD内部）过程中，BG增大时，DH随着减小，BG减小时，DH随着增大，故①不正确；②∵正方形ABCD的边长为1，∴∠A＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝1，∵GH与⊙O相切于点M，∴∠CMH＝∠CMG＝90°，∵CM为⊙O的直径，且CM＝1，∴BC＝CM＝CD＝1，在Rt△CHD和Rt△CHM中，CD=CMCH=CH∴Rt△CHD≌Rt△CHM（HL），∴HD＝HM，∠HCD＝∠HCM，∠CHD＝∠CHM，同理：GB＝GM，∠GCB＝∠GCM，∠CGB＝∠CGM，∵∠HCD+∠HCM+∠GCB+∠GCM＝90°，∴2（∠HCM+∠GCM）＝90°，∴∠GCH＝45°，故②正确；③∵∠CHD+∠HCD＝90°，∠BCH+∠HCD＝90°，∴∠CHD＝∠BCH，∵∠CHM＝∠CHD，∴∠CHM＝∠BCH＝45°+∠GCB，∵∠CEF＝45°+∠GCB，∴∠CHM＝∠CEF，∵∠CEF+∠FEG＝180°，∴∠CHM+∠FEG＝180°，∴四边形EFHG是圆内接四边形，即H，F，E，G四点在同一个圆上，故③正确；④设HD＝x，BG＝a，则HM＝x，MG＝a，AH＝1﹣x，AG＝1﹣a，∴GH＝HM+GM＝x+a，在Rt△AGH中，AH2+AG2＝GH2，∴（1﹣x）2+（1﹣a）2＝（x+a）2，∴a=1-x设四边形CGAH的面积为y，则：y＝S正方形ABCD﹣S△CDH﹣S△CBG＝AB2-12CD•DH-1＝12-12•1•x-1∴y＝1-12x整理，得：x2+（2y﹣2）x+（2y﹣1）＝0，∴Δ＝（2y﹣2）2﹣4×1×（2y﹣1）≥0，∴y2﹣4y+2≥0，∴（y﹣2+2）（y﹣2-∴y-2+2≥0y-2-解得：y≥2+2或y≤2-∵y≤S正方形ABCD＝1，∴y≥2+2∴y≤2-2即y的最大值为2-2∴四边形CGAH的面积的最大值为2-2故④正确，故答案为：②③④．【点评】本题考查了正方形的性质，圆内接四边形的判定与性质，切线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积，旋转变换的性质等，解题关键是熟练掌握全等三角形判定和性质．三、解答题：本题共9小题，满分72分，解容应写出文字说明、证明过程或演算步，17．（4分）解方程：2x2+x﹣15＝0．【分析】利用因式分解法把方程转化为2x﹣5＝0或x+3＝0，然后解两个一次方程即可．【解答】解：（2x﹣5）（x+3）＝0，2x﹣5＝0或x+3＝0，所以x1=52，x【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．18．（4分）如图，已知∠EAC＝∠DAB，∠D＝∠B，求证：△ABC∽△ADE．【分析】根据∠EAC＝∠DAB求出∠DAE＝∠BAC，再利用“两角法”来证△ABC∽△ADE即可．【解答】证明：∵∠EAC＝∠DAB，∴∠EAC+∠CAD＝∠DAB+∠CAD，即∠DAE＝∠BAC，又∵∠D＝∠B，∴△ABC∽△ADE．【点评】本题考查了相似三角形的判定，能熟记相似三角形的判定是解此题的关键，两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．19．（6分）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）在图中画出将△ABC绕点C按逆时针方向旋转90°后得到的△A1B1C1；（2）在（1）所画的图中，计算线段AC在旋转过程中扫过的图形面积（结果保留π）．【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；（2）利用扇形的面积公式求解即可．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）∵AC=1∴线段AC在旋转过程中扫过的图形面积=90π×(【点评】本题考查作图﹣旋转变换，扇形的面积的计算等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，记住扇形的面积=nπ20．（6分）为了更好地宣传垃圾分类，某校九（1）班学生成立了一个“垃圾分类”宣传小组，其中男生2人，女生3人．（1）若从这5人中选1人进社区宣传，恰好选中女生的概率是35（2）若从这5人中选2人进社区宣传，请用树状图或列表法求恰好选中一男一女的概率．【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；（2）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好选中一男一女的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）∵共有5人，其中男生2人，女生3人，∴从这5人中选1人进社区宣传，恰好选中女生的概率是35（2）设男生用A表示，女生用B表示，树状图如下所示：由上可得，一共有20种可能性，其中恰好选中一男一女的有12种，所以恰好选中一男一女的概率是1220【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．21．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣2x+m与二次函数y＝ax2+bx+c的图象相交于A，B两点，点A（1，4）为二次函数图象的顶点，点B在x轴上．（1）求二次函数的解析式；（2）根据图象，求二次函数的函数值大于0时，自变量x的取值范围．【分析】（1）根据题意，先可以求m，再求出点B的坐标，从而可以求得二次函数的解析式；（2）根据对称性求得该函数与x轴的另外一个交点坐标，再根据函数图象即可得到函数值y为正数时，自变量x的取值范围．【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣2x+m经过点A（1，4），∴4＝﹣2+m，解得m＝6，∴y＝﹣2x+6，当y＝0时，x＝3，∴B（3，0），设二次函数解析式为y＝a（x﹣1）2+4，代入点B（3，0），得：0＝4a+4，解得a＝﹣1，∴二次函数解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4；（2）点B（3，0）关于对称轴直线x＝1的对称点为（﹣1，0），∴二次函数的函数值大于0时，自变量x的取值范围﹣1＜x＜3．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．22．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O为边BC上一点．以O为圆心，OC为半径的⊙O与边AB相切于点D．（1）尺规作图：画出⊙O，并标出点D（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）所作的图中，连接CD，若CD＝BD，且AC＝6．求劣弧CD的长．【分析】（1）作∠CAB的平分线，交BC于点O，再以点O为圆心、OC为半径画圆即可；（2）连接CD、OD，设∠B＝x°，由CD＝BD知∠B＝∠BCD＝x°，∠CDA＝（2x）°，再证AC是⊙O的切线知AC＝AD，据此得∠ACD＝∠ADC＝（2x）°，继而求出x的值得出∠B＝30°，∠COD＝120°，∠COA＝60°，由AC＝6知OC=ACtan60°=【解答】解：（1）如图所示，⊙O即为所求．（2）连接CD、OD，设∠B＝x°，∵CD＝BD，∴∠B＝∠BCD＝x°，∴∠CDA＝（2x）°，∵AC⊥OC，∴AC是⊙O的切线，∴AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝（2x）°，∴2x+x＝90，∴x＝30，即∠B＝30°，∴∠COD＝∠BDO+∠B＝120°，∠COA＝60°，∵AC＝6，∴OC=ACtan60°=∴劣弧CD的长为120⋅π⋅23【点评】本题主要考查作图—复杂作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图与圆的切线的判定和性质．23．（10分）某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费．（1）若a＝12，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？（2）若下表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况：月份用水量（吨）交水费总金额（元）4186252486根据上表数据，求a的值．【分析】（1）根据分段计费直接求出水费即可；（2）根据题意确定a的取值范围，然后列方程求解即可．【解答】解：（1）当a＝12时，每户居民用水量每月不超过12吨时，每吨按0.3×12＝3.6元缴纳水费；每月超过12吨时，超过部分每吨按0.4×12＝4.8元缴纳水费，∴某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费为12×3.6+（22﹣12）×4.8＝91.2（元）；（2）∵18×0.3×18＝97.2＞62，∴a＜18，根据题意得0.3a•a+（18﹣a）×0.4a＝62，整理得a2﹣72a+620＝0，解得a＝10或a＝62（舍去），当a＝10时，0.3×10×10+（24﹣10）×0.4×10＝86，成立，∴a的值为10．【点评】本题考查了一元二次方程组的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．24．（12分）如图，四边形ABCD为平行四边形，以AD为直径的⊙O交AB于点E，连接DE，DA＝22，DE=7，DC＝5．过点E作直线l．过点C作CH⊥l，垂足为H（1）若l∥AD，且l与⊙O交于另一点F，连接DF，求DF的长；（2）连接BH，当直线l绕点E旋转时，求BH的最大值；（3）过点A作AM⊥l，垂足为M，当直线l绕点E旋转时，求CH﹣4AM的最大值．【分析】（1）作ON⊥EF交⊙O于N，可证得EN=FN，AN=DN，进而AE=DF，从而得出DE＝AE，在Rt△（2）点H在以CE为直径的⊙I上运动，连接BI并延长交⊙H′，则BH′最大，作BP⊥CE于P，可证得△BEP∽△ECD，从而求得PB，PE，进而求得PI，从而求出BI，进一步求出结果；（3）作BN⊥l于N，作BR⊥CH于R，可证△AME∽△BNE，可得BN＝4AM，进而可得CH﹣4AM＝CH﹣HR＝CR≤CB，从而得出CH﹣4AM最大值．【解答】解：（1）如图1，作ON⊥EF交⊙O于N，∴EN=∵AD∥EF，∴ON⊥AD，∴∠AON＝∠DON＝90°，∴AN=∴AN即AE=∴DF＝AE，∵AD是⊙O的直径，∴∠AED＝90°，∴AE=A∴DF＝1；（2）如图2，∵∠EHC＝90°，∴点H在以CE为直径的⊙I上运动，连接BI并延长交⊙H′，则BH′最大，∵∠CDE＝90°，DE=7，CD∴CE=52∴EI＝CI＝22，∵AB∥CD，∴∠DCE＝∠BEC，作BP⊥CE于P，∴∠CDE＝∠BPE＝90°，∴△BEP∽△ECD，∴PBDE∴PB7∴PB=72，PE∴PI＝PE﹣EI=522∴BI=P∴BH′＝BI+IH′＝2+22，即BH的最大值是：2+22；（3）如图3，作BN⊥l于N，作BR⊥CH于R，∴∠BNH＝∠CHN＝∠BRH＝90°，∴四边形BRHN是矩形，∴HR＝BN，∵∠AME＝∠BNE＝90°，∠BEN＝∠AEM，∴△AME∽△BNE，∴BNAM∴BN＝4AM，∴HR＝4AM，∴CH﹣4AM＝CH﹣HR＝CR≤CB，∴当l旋转到l′位置，H点在N′位置，M在M′位置时，CH﹣4AM＝CN′﹣BN′＝BC＝AD＝22，即：