2023-2024学年广东省广州市越秀区九年级上学期期末数学试卷（含答案）

第1页（共1页）2023-2024学年广东省广州市越秀区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）抛物线y＝（x﹣2）2﹣1的顶点坐标是（）A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（2，1） D．（2，﹣1）3．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的过程中，配方正确的是（）A．（x+1）2＝1 B．（x﹣1）2＝2 C．（x+1）2＝2 D．（x﹣1）2＝44．（3分）如图，OC是⊙O半径，AB是⊙O的弦，且OC⊥AB于点D．若OA＝10，CD＝4，则弦AB的长是（）A．8 B．12 C．16 D．205．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针方向旋转100°得到△AB′C′，若点B′恰好落在边BC上，则∠B的度数是（）A．40° B．50° C．60° D．70°6．（3分）如图，PA、PB、分别切⊙O于A、B两点，∠P＝40°，则∠C的度数为（）A．40° B．140° C．70° D．80°7．（3分）若关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣4x+1＝0有两个不相等实数根，则a的取值范围是（）A．a＜2 B．a＜5且a≠2 C．a＜6且a≠2 D．a＜68．（3分）如图，为了鼓励消费，某商场设置一个可以自由转动的转盘．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：转动转盘的次数n1001502005008001000落在“饮料”区域次数m323964155254299则转盘中“饮料”区域的圆心角∠AOB的度数近似是（）A．119° B．108° C．87° D．90°9．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC且BC＝2AD，AC与BD交于点O，E，F分别是BO，BC的中点，则△AOB的面积与四边形EOCF的面积比是（）A．2：3 B．4：9 C．1：2 D．3：410．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B两点，交y轴的负半轴于点C，顶点为D（1，n）．下列结论：①abc＞0；②2c＜3b；③若M（x1，y1），N（x1+1，y2）为该抛物线上两点且x1＜12，则y1＞y2；④若△ABD是等腰直角三角形，则a=12；⑤若x1，x2是关于x的一元二次方程a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＝n的两个根，则A．①②③ B．③④⑤ C．①④⑤ D．①③④二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）11．（3分）已知x＝1是方程x2﹣3x+c＝0的一个根，则实数c的值是．12．（3分）在一个不透明的袋中装有3个红球，1个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出2球，则“摸出的球中至少有1个红球”是事件．（填“必然”，“不可能”或“随机”）13．（3分）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（10，10），B（12，6），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的12后得到线段CD，则端点C的坐标为14．（3分）如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，以OA为轴将△AOB旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥侧面展开图的扇形圆心角θ的度数是．15．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示：x…﹣10123…y…1mn1p…若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，则a的取值范围是．16．（3分）如图，在长方形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点O为边AB上一点，且AO＝2，点E为边BC上动点，将线段OE绕点O顺时针旋转120°得到线段OE′，OE′与边AD交于点F，连接EF．（1）当点E与点B重合时，△EOF的面积是；（2）当点E在BC边上运动时，△EOF的面积最小值是．三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（4分）解方程：x（x﹣3）＝x﹣3．18．（4分）如图，已知A（﹣1，2），B（﹣3，1），C（0，﹣1），将△ABC绕点C沿顺时针方向旋转90°后得到△A1B1C．（1）请在图中画出△A1B1C；（2）直接写出线段CB在旋转过程中扫过的图形面积：．19．（6分）如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，CD⊥BD，且测得AB＝4m，BP＝6m，PD＝12m，求该古城墙CD的高度是多少m？20．（6分）如图，直线y＝kx+3分别交x轴，y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的正半轴相交于点C（1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）结合图象，直接写出不等式﹣x2+bx+c＞kx+3的解集．21．（8分）2023年举世瞩目的第十九届亚运会在中国杭州举行，亚运会吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”成为热销产品．小李和小张去杭州旅游，他们分别从这三个吉祥物中任意选购一款以作留念．（1）小李选购吉祥物“琮琮”的概率是；（2）请用列表法或画树状图法，求小李和小张选购同一款吉祥物的概率．22．（10分）2022年教育部正式印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，《劳动》成为一门独立的课程．某学校率先行动，在校园开辟了一块劳动教育基地，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养殖园ABCD（靠墙的一边BC不需用篱笆），墙长为16米．（1）当围成的矩形养殖园面积为108平方米时，求养殖园的边BC的长；（2）求矩形养殖园ABCD面积的最大值．23．（10分）如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，且CD⊥AB，点E为劣弧AC上一点，且CE=CB，DE与AC交于点（1）尺规作图：作出点E，并连接DE．（保留作图痕迹，不写作法）；（2）连接AE，CE，M为CE延长线上一点，求证：AE平分∠DEM；（3）求证：FD﹣FE＝EC．24．（12分）已知抛物线G：y＝a（x+1）（x﹣3）与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P（0，t）（﹣1≤t≤2）为y轴上一动点，过点P作y轴的垂线交抛物线G于点M、N（M与N不重合）．（1）求点C的纵坐标（用含a的式子表示）；（2）当a＜0时，若BC=154，求抛物线G的纵坐标在4a≤x≤4（3）对于a（a≠0）的每一个确定的值，MN有最小值m，若m≤2，求a的取值范围．25．（12分）如图，四边形ABCD中，AB＝CD，∠ABC+∠BCD＝270°．（1）求∠A+∠D的度数；（2）连接AC，若∠ACB＝45°，求证：BC2+2AC2＝AD2；（3）点E，F分别为线段BC和AD上的点，点G是线段EF上任意一点，且△GAB和△GCD的面积相等，过点D作DH⊥EF，DH交直线EF于点H，连接AH．若AD＝4，求线段AH的最小值．

2023-2024学年广东省广州市越秀区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据中心对称图形的定义：平面内一个图形绕某点旋转180°后与初始图形重合，这个图形叫做中心对称图形；对所给选项进行判断即可得解．【解答】解：A．图形是中心对称图形，符合题意；B．图形不是中心对称图形，不符合题意；C．图形不是中心对称图形，不符合题意；D．图形不是中心对称图形，不符合题意；故选：A．【点评】此题考查中心对称图形的概念，熟练掌握中心对称图形的概念是解答此题的关键．2．（3分）抛物线y＝（x﹣2）2﹣1的顶点坐标是（）A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（2，1） D．（2，﹣1）【分析】根据二次函数的性质即可求解．【解答】解：∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（h，k），∴抛物线y＝（x﹣2）2﹣1的顶点坐标是（2，﹣1），故选：D．【点评】本题考查了二次函数的性质，熟记抛物线的顶点式求顶点是解本题的关键．3．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的过程中，配方正确的是（）A．（x+1）2＝1 B．（x﹣1）2＝2 C．（x+1）2＝2 D．（x﹣1）2＝4【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．【解答】解：x2﹣2x﹣1＝0，x2﹣2x＝1，x2﹣2x+1＝1+1，（x﹣1）2＝2，故选：B．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键．4．（3分）如图，OC是⊙O半径，AB是⊙O的弦，且OC⊥AB于点D．若OA＝10，CD＝4，则弦AB的长是（）A．8 B．12 C．16 D．20【分析】由垂径定理得到AB＝2AD，由勾股定理求出AD=OA2【解答】解：∵AB是⊙O的弦，且OC⊥AB于点D，∴AB＝2AD，∵OC＝OA＝10，CD＝4，∴OD＝10﹣4＝6，∴AD=O∴AB＝2×8＝16．故选：C．【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是有垂径定理，勾股定理求出AD的长．5．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针方向旋转100°得到△AB′C′，若点B′恰好落在边BC上，则∠B的度数是（）A．40° B．50° C．60° D．70°【分析】首先根据旋转的性质得到∠BAB′＝100°，AB＝AB′，然后利用等腰三角形的性质即可求解．【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针方向旋转100°得到△AB′C′，∴∠BAB′＝100°，AB＝AB′，∴∠B＝∠AB′B=1故选：A．【点评】此题主要考查了旋转的性质，同时也利用了等腰三角形的性质与判定，解题的关键是熟练利用旋转的性质得到等腰三角形．6．（3分）如图，PA、PB、分别切⊙O于A、B两点，∠P＝40°，则∠C的度数为（）A．40° B．140° C．70° D．80°【分析】连接OA，OB根据切线的性质定理，切线垂直于过切点的半径，即可求得∠OAP，∠OBP的度数，根据四边形的内角和定理即可求的∠AOB的度数，然后根据圆周角定理即可求解．【解答】解：∵PA是圆的切线．∴∠OAP＝90°，同理∠OBP＝90°，根据四边形内角和定理可得：∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠OBP﹣∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，∴∠ACB=12∠故选：C．【点评】本题主要考查了切线的性质，以及圆周角定理，正确求得∠AOB的度数，是解决本题的关键．7．（3分）若关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣4x+1＝0有两个不相等实数根，则a的取值范围是（）A．a＜2 B．a＜5且a≠2 C．a＜6且a≠2 D．a＜6【分析】根据方程有两个不相等的实数根得到Δ＝（﹣4）2﹣4（a﹣2）＞0，即可求出答案．【解答】解：由题意得，Δ＝（﹣4）2﹣4（a﹣2）＞0，解得，a＜6，∵a≠2，∴a＜6且a≠2．故选：C．【点评】此题考查利用一元二次方程根的判别式求参数：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根，熟记根的判别式是解题的关键．8．（3分）如图，为了鼓励消费，某商场设置一个可以自由转动的转盘．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：转动转盘的次数n1001502005008001000落在“饮料”区域次数m323964155254299则转盘中“饮料”区域的圆心角∠AOB的度数近似是（）A．119° B．108° C．87° D．90°【分析】利用频率估计概率，可知当n很大时，频率将会接近其概率，所以可估计指针落在“饮料”区域的概率，用360°乘概率即可得出答案．【解答】解：转动该转盘一次，可估计指针落在“饮料”区域的概率为0.3，所以转盘中“饮料”区域的圆心角∠AOB的度数近似是360°×0.3＝108°．故选：B．【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．9．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC且BC＝2AD，AC与BD交于点O，E，F分别是BO，BC的中点，则△AOB的面积与四边形EOCF的面积比是（）A．2：3 B．4：9 C．1：2 D．3：4【分析】通过证明△DOA∽△BOC，可得OC＝2OA，可求S△BOC＝2S△AOB，通过证明△BEF∽△BOC，可得S△BEF【解答】解：∵AD∥BC，∴△DOA∽△BOC，∴ADBC∵BC＝2AD，∴OC＝2OA，∴S△BOC＝2S△AOB，∵E，F分别是BO，BC的中点，∴EF∥AC，EF=12∴△BEF∽△BOC，∴S△BEF∴S四边形EOCF=34S△∴△AOB的面积与四边形EOCF的面积比＝2：3，故选：A．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B两点，交y轴的负半轴于点C，顶点为D（1，n）．下列结论：①abc＞0；②2c＜3b；③若M（x1，y1），N（x1+1，y2）为该抛物线上两点且x1＜12，则y1＞y2；④若△ABD是等腰直角三角形，则a=12；⑤若x1，x2是关于x的一元二次方程a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＝n的两个根，则A．①②③ B．③④⑤ C．①④⑤ D．①③④【分析】依据题意，由抛物线y＝ax2+bx+c交y轴的负半轴于点C，从而令x＝0，y＝c＜0，又对称轴是直线x=-b2a=1＞0，故可判断①；抛物线过（﹣1，0），从而a﹣b+c＝0，又b＝﹣2a，即a=-12b，进而c=32b，最后可以判断②；依据题意，x1＜x1+1，又x1＜12，从而M在N的左侧，共有两种情形，再由点N到对称轴的距离及M到对称轴的距离可以判断③；由△ABD是等腰直角三角形，D为顶点，从而AD＝BD，结合顶点为D（1，n），对称轴是直线x＝1，故n＝﹣[1﹣（﹣1）]＝﹣2，再设抛物线为y＝a则方程为aX2+bX+c＝n，又结合函数y＝ax2+bx+c的顶点为（1，n），进而得方程aX2+bX+c＝n的解为X1＝X2＝1，最后可以判断⑤．【解答】解：由题意，∵抛物线y＝ax2+bx+c交y轴的负半轴于点C，∴令x＝0，y＝c＜0．又对称轴是直线x=-b∴ab＜0．∴abc＞0，故①正确．∵抛物线过（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0．又b＝﹣2a，即a=-12∴c=32∴2c＝3b，故②错误．∵0＜1，∴x1＜x1+1．又x1∴M在N的左侧，共有两种情形．第一种情形：M，N在对称轴直线x＝1的左侧．∵抛物线开口向上，∴在对称轴直线x＝1的左侧y随x的增大而减小．∴y1＞y2，符合题意．第二种情形：M，N在对称轴直线x＝1的两侧．∵x1∴2x1＜1．∴x1＜1﹣x1．∴x1+1﹣1＜1﹣x1．∴点N到对称轴的距离＜M到对称轴的距离．∴y1＞y2．综上，③正确．△ABD是等腰直角三角形，又D为顶点，∴AD＝BD．∵顶点为D（1，n），对称轴是直线x＝1，∴n＝﹣[1﹣（﹣1）]＝﹣2．∴可设抛物线为y＝a（x﹣1）2﹣2．又抛物线过点（﹣1，0），∴4a﹣2＝0．∴a=12，故令x﹣1＝X，∴方程为aX2+bX+c＝n．结合函数y＝ax2+bx+c的顶点为（1，n），∴方程aX2+bX+c＝n的解为X1＝X2＝1．∴x﹣2＝X1＝X2＝1．∴x1＝x2＝3．故⑤错误．综上，正确的是①③④．故选：D．【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练并能灵活运用是关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）11．（3分）已知x＝1是方程x2﹣3x+c＝0的一个根，则实数c的值是2．【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝1，代入原方程，得到关于c的一元一次方程，解方程即可求解．【解答】解：∵x＝1是方程x2﹣3x+c＝0的一个根，∴1﹣3+c＝0，解得：c＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．12．（3分）在一个不透明的袋中装有3个红球，1个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出2球，则“摸出的球中至少有1个红球”是必然事件．（填“必然”，“不可能”或“随机”）【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念作答．【解答】解：一个不透明的袋中装有3个红球，1个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出2球，共有以下2种情况：1、2个红球；2、1个红球，1个黑球；所以从中任意摸出2球，“摸出的球至少有1个红球”是必然事件，故答案为：必然．【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．13．（3分）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（10，10），B（12，6），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的12后得到线段CD，则端点C的坐标为（5，5）【分析】利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出C点坐标．【解答】解：∵线段AB两个端点的坐标分别为A（10，10），B（12，6），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的12后得到线段CD∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的一半，∴端点C的坐标为（5，5）．故答案为：（5，5）．【点评】此题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键．14．（3分）如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，以OA为轴将△AOB旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥侧面展开图的扇形圆心角θ的度数是180°．【分析】设OB＝r，根据∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，得AB＝2r，再根据圆锥侧面展开图的扇形的弧长等于圆锥的底面周长即可求出答案．【解答】解：设OB＝r，则AB＝2r，∴2πr=θπ×2r解得θ＝180°．故答案为：180°．【点评】本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长．15．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示：x…﹣10123…y…1mn1p…若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，则a的取值范围是a≥12【分析】根据表格代入两组数据进行求解函数解析式即可．【解答】解：从表中可看出，x＝﹣1和2时，y值都是1，因此抛物线的对称轴为：x=-1+2把（0，m），（1，n）代入y＝ax2+bx+c得：m=cn=a+b+c∵对称轴x=-b∴（0，m）和（1，n）是对称点，∴m＝n，把（﹣1，1）代入函数a﹣b+c＝1∴c＝1﹣a+b，∴把（0，m）代入函数c＝m，∵m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，又∵m≤0，∴c≤0，∴1﹣a+b≤抛0，又∵b＝﹣a，∴1﹣2a≤0，∴a≥1故答案为：a≥1【点评】本题主要考查待定系数法求解函数解析式，熟悉二次函数的图象和性质是解题关键．16．（3分）如图，在长方形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点O为边AB上一点，且AO＝2，点E为边BC上动点，将线段OE绕点O顺时针旋转120°得到线段OE′，OE′与边AD交于点F，连接EF．（1）当点E与点B重合时，△EOF的面积是43；（2）当点E在BC边上运动时，△EOF的面积最小值是833【分析】（1））∵点E与点B重合，则可求△EOF的面积，线段OE绕点O顺时针旋转120°得到线段OE'．∠AOF＝180°﹣120°＝60°．∠AFO＝30°．则OF＝2OA＝4．即可求出面积．（2）设BE＝x，故∠AOD＜180°﹣120°＝60°．此时AF＜23．则OE＞OB，OE'＞OB＞OF．∵线段OE绕点O顺时针旋转120°得到线段OE'．∠GOH＝60°，∠OGH＝30°．再根据等面积法和公式法计算求值．【解答】解：（1）∵点E与点B重合，则△EOF的面积=1∵长方形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点O为边AB上一点，且AO＝2．∴BO＝OE＝6﹣2＝4．∵线段OE绕点O顺时针旋转120°得到线段OE'．∴∠AOF＝180°﹣120°＝60°．∠AFO＝30°．则OF＝2OA＝4．∴AF=16-4故△EOD的面积=1故答案为：43．（2）根据题意，设BE＝x，当点E与点B不重合时，故∠AOD＜180°﹣120°＝60°．此时AF＜23．则OE＞OB，OE'＞OB＞OF．延长EO交DA延长线于点G，过点G作GH⊥OF．∵线段OE绕点O顺时针旋转120°得到线段OE'．∴∠GOH＝60°，∠OGH＝30°．∵∠BOE＝∠GOA．tan∠BOE=BEOB=x∴GA=x则OH=1根据等面积法，S△OGF=1(x∴(x则x2+4AF2+4AFx＝3AF2+316AF2x2+12+3x24（316x2-1根据公式法：AF=-b±进行分母有理化，AF=8S△EOF＝（BF+AF）×AB×12-BE×OB×12整理得：S△EOF＝x+16将x=433代入可得，S△EOF故答案为：83【点评】本题考查了旋转的性质，解题关键在于利用公式法计算三角形的面积．三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（4分）解方程：x（x﹣3）＝x﹣3．【分析】首先将（x﹣3）看作整体，进而移项提取公因式利用因式分解法解一元二次方程即可．【解答】解：x（x﹣3）＝x﹣3x（x﹣3）﹣（x﹣3）＝0，（x﹣3）（x﹣1）＝0，解得：x1＝3，x2＝1．【点评】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，正确因式分解是解题关键．18．（4分）如图，已知A（﹣1，2），B（﹣3，1），C（0，﹣1），将△ABC绕点C沿顺时针方向旋转90°后得到△A1B1C．（1）请在图中画出△A1B1C；（2）直接写出线段CB在旋转过程中扫过的图形面积：134π【分析】（1）根据旋转的性质作图即可．（2）利用勾股定理求出BC的长，再根据扇形面积公式计算即可．【解答】解：（1）如图，△A1B1C即为所求．（2）由勾股定理得，BC=3∴线段CB在旋转过程中扫过的图形面积为90π×(13故答案为：134【点评】本题考查作图﹣旋转变换、扇形面积公式，熟练掌握旋转的性质、扇形面积公式是解答本题的关键．19．（6分）如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，CD⊥BD，且测得AB＝4m，BP＝6m，PD＝12m，求该古城墙CD的高度是多少m？【分析】利用物理中光线入射原理可以得到∠APB＝∠CPD，再结合已知不难证明△ABP∽△CDP；接下来，根据相似三角形性质可得ABBP=CD【解答】解：∵光线从点A出发经平面镜反射到点C，∴∠APB＝∠CPD，∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABP＝∠CDP＝90°，∴Rt△ABP∽Rt△CDP，∴ABCD=PBPD，即答：该古城墙CD的高度为8m．【点评】本题考查了相似三角形的应用，正确利用入射与反射的原理构建相似三角形，然后利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等是解题关键．20．（6分）如图，直线y＝kx+3分别交x轴，y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的正半轴相交于点C（1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）结合图象，直接写出不等式﹣x2+bx+c＞kx+3的解集．【分析】（1）将x＝0代入y＝kx+3，求出y的值，即可得点B的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式即可．（2）将y＝0代入y＝﹣x2﹣2x+3，求出x的值，即可得点A的坐标，再结合图象可直接得出答案．【解答】解：（1）将x＝0代入y＝kx+3，得y＝3，∴点B的坐标为（0，3），将B（0，3），C（1，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得c=3-1+b+c=0解得b=-2c=3∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．（2）将y＝0代入y＝﹣x2﹣2x+3，得﹣x2﹣2x+3＝0，即（x+3）（x﹣1）＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，∴点A的坐标为（﹣3，0）．由图象可知，不等式﹣x2+bx+c＞kx+3的解集为﹣3＜x＜0．【点评】本题考查二次函数与不等式（组）、待定系数法求二次函数解析式、抛物线与x轴的交点，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质是解答本题的关键．21．（8分）2023年举世瞩目的第十九届亚运会在中国杭州举行，亚运会吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”成为热销产品．小李和小张去杭州旅游，他们分别从这三个吉祥物中任意选购一款以作留念．（1）小李选购吉祥物“琮琮”的概率是13．（2）请用列表法或画树状图法，求小李和小张选购同一款吉祥物的概率．【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及小李和小张选购同一款吉祥物的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）由题意得，小李选购吉祥物“琮琮”的概率是13故答案为：13（2）将“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”分别记为A，B，C，画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中小李和小张选购同一款吉祥物的结果有3种，∴小李和小张选购同一款吉祥物的概率为39【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．22．（10分）2022年教育部正式印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，《劳动》成为一门独立的课程．某学校率先行动，在校园开辟了一块劳动教育基地，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养殖园ABCD（靠墙的一边BC不需用篱笆），墙长为16米．（1）当围成的矩形养殖园面积为108平方米时，求养殖园的边BC的长；（2）求矩形养殖园ABCD面积的最大值．【分析】（1）设养殖园的边BC的长为xm，则AB的长为30-x2m，利用矩形的面积公式，列出关于x（2）设矩形养殖园ABCD面积为ym2，利用矩形的面积公式列出二次函数解析式即可．【解答】解：（1）设养殖园的边BC的长为xm，由题意得：x•30-x2整理得：x2﹣30x+216＝0，解得：x1＝12，x2＝18，∵x≤16，x2＝18，不符合题意，舍去，答：BC的长为12m．（2）设矩形养殖园ABCD面积为ym2，由题意得：y＝x•30-x2=-12x2+15当x=-b2a=15时，y有最大值，最大值为112.5答：矩形养殖园ABCD面积的最大值为112.5m2．【点评】本题主要考查了一元二次方程和二次函数的应用，读懂题意列出方程和函数关系式是解答本题的关键．23．（10分）如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，且CD⊥AB，点E为劣弧AC上一点，且CE=CB，DE与AC交于点（1）尺规作图：作出点E，并连接DE．（保留作图痕迹，不写作法）；（2）连接AE，CE，M为CE延长线上一点，求证：AE平分∠DEM；（3）求证：FD﹣FE＝EC．【分析】（1）以C为圆心，BC为半径画弧交劣弧AC于点E，点E即为所求；（2）设∠EAC＝x，根据垂径定理和圆周角定理得出∠EAC＝∠CAB＝∠EDC＝x，∠DEC＝2x，再表示出∠DHB，∠AEH，∠AEM即可求证；（3）根据等腰三角形的三线合一得出EF＝HF，再根据垂径定理得出HD＝BD即可解答．【解答】（1）解：如图，点E即为所求：（2）证明：如图：设∠EAC＝x，∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB，CE=∴DB=∴∠EAC＝∠CAB＝∠EDC＝x，∠DEC＝2x，∴∠EAB＝2x，∠DHB＝90°﹣x＝∠AHE，在△AEH中，∠AEH＝180°﹣2x﹣（90°﹣x）＝90°﹣x，∴∠AEM＝180°﹣（90°﹣x）﹣2x＝90°﹣x，∴∠AEH＝∠AEM，∴AE平分∠DEM；（3）证明：连接BD，由（2）可知AE＝AH，即△AEH是等腰三角形，∵∠EAC＝∠CAB，∴EF＝HF，∵CE=∴∠EDC＝∠CDB，∵CD⊥AB，∴DH＝BD，∵DB=∴EC＝BD＝DH，∴FD﹣FH＝BD，即FD﹣EF＝EC．【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理等与圆有关的概念和性质，熟练掌握以上知识是解题关键．24．（12分）已知抛物线G：y＝a（x+1）（x﹣3）与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P（0，t）（﹣1≤t≤2）为y轴上一动点，过点P作y轴的垂线交抛物线G于点M、N（M与N不重合）．（1）求点C的纵坐标（用含a的式子表示）；（2）当a＜0时，若BC=154，求抛物线G的纵坐标在4a≤x≤4（3）对于a（a≠0）的每一个确定的值，MN有最小值m，若m≤2，求a的取值范围．【分析】（1）把x＝0代入y＝a（x+1）（x﹣3），即可得到点C的纵坐标；（2）求出点A，点B的坐标，由点C的坐标表示BC的长度，列方程求出a的值，通过抛物线的增减性得到y的取值范围；（3）分a＞0和a＜0两种情况，表示出MN的值，通过m≤2列出不等式，从而得到a的取值范围．【解答】解：（1）由点C是抛物线与y轴的交点，把x＝0代入y＝a（x+1）（x﹣3），得y＝﹣3a，∴点C的纵坐标为﹣3a；（2）把y＝0代入y＝a（x+1）（x﹣3），解得x1＝﹣1，x2＝3，∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），∵BC=154，点C的坐标为（0，﹣3∴(3-0)2+(0+3a∵a＜0，∴a=-3∴抛物线的解析式为y=-34x当4a≤x≤4a+5，即﹣3≤x≤2时，得当x＝1时，函数取最大值，当x＝﹣3时，函数取最小值，得抛物线G的纵坐标在﹣3≤x≤2时的取值范围﹣9≤y≤3；（3）由抛物线可知顶点坐标为（1，﹣4a），设点M的坐标为（xM，﹣1），点N的坐标为（xN，﹣1），若a＞0，由图可得当t＝﹣1时，MN取得最小值m，把y＝﹣1代入y＝a（x+1）（x﹣3），整理得ax2﹣2ax+1﹣3a＝0，得xM+x∵M（xM，﹣1），N（xN，﹣1），∴MN＝|xM﹣xN|，∴m2=(x∵m≤2，∴16a-4a≤4，解得∵