2022-2023学年广东深圳南头中学高一(上)期中数学试题及答案

2022-2023学年广东省深圳市南山区南头中学高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上.25分）不等式（x+12﹣x0的解集为()A．{x|x<﹣1或x＞2}B．{x|﹣2＜x＜1}C．{x|﹣1＜x＜2}D．{x|x<﹣2或x＞1}35分）设x∈R，则“x＞1”是“x2＞1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件55分）若a＞b，则下列不等式成立的是()A．a﹣b＞0B．C．|a|＞|b|D．a2＞b265分）设函数f（xax3+bx+1，f（11，则f(﹣1）=()85分）已知f（x是定义在(﹣∞,+∞)上的减函数，则a的取值范围二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上.（多选）95分）已知集合A＝{x|x2+2x＝0}，则有()（多选）105分）下列f（x）与g（x）表示同一函数的是()A．f（x）＝，g（x）=B．f（x）＝1，g（x）＝（2x﹣1）0D．f（x）＝|x|，g（x）=（多选）115分）若函数f（xm﹣2）xm是幂函数，则f（x）一定()A．是偶函数B．是奇函数（多选）125分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0A．f（0）=﹣2B．f|（x）|的单调递增区间为(﹣1，01，+∞)C．当x＜0时，三、填空题，共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.135分）函数f（x的定义域为.145分）若命题“∀x∈R，x2﹣4x+a≠0”为假命题，则实数a的取值范围是.155分）设，则a与b的大小为.165分）关于x的不等式（k﹣1）x2+（k﹣1）x﹣1＜0恒成立，则实数k的取值范围是.四、解答题：共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.1710分）已知非空集合P＝{x|a+1≤x≤2a+1}，Q＝{x|﹣2≤x≤5}.（2）若“x∈P”是“x∈Q”充分不必要条件，求实数a的取值范围.1812分1）已知x＞3，求的最小值；（2）已知，求y＝x（1﹣3x）的最大值.1912分）已知函数f（x|x2﹣2x﹣3|.（1）画出函数图象并写出函数的单调区间（不需要证明（2）求集合M＝{m|使方程f（x）＝m有两个不相等的实根}.2012分）已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A地到B地，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地.（1）把汽车离开A地的距离x（千米）表示为时间t（小时）的函数；（2）求汽车行驶5小时与A地的距离.2112分）已知函数（1）用函数单调性的定义证明f（x）在区间[2，+∞)上为增函数（2）解不等式：f（x2﹣2x+4）≤f（7）2212分）已知函数f（xax﹣1）2，g（xx2，aeR.（1）当a=﹣1时，求函数（x＞1）的值域；（2）若关于x的不等式f（xg（x）的解集中恰有两个整数，求a的取值范围.2022-2023学年广东省深圳市南山区南头中学高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上.【分析】由已知先求出集合A的补集，再根据交集的定义求解即可.【解答】解：由已知可得CUA＝{4}，故选：A.【点评】本题考查了集合间的运算关系，考查了运算能力，属于基础题.25分）不等式（x+12﹣x0的解集为()A．{x|x<﹣1或x＞2}B．{x|﹣2＜x＜1}C．{x|﹣1＜x＜2}D．{x|x<﹣2或x＞1}【分析】把不等式化为（x+1x﹣20，求出解集即可.【解答】解：不等式（x+12﹣x0化为（x+1x﹣20，解得﹣1＜x＜2，∴不等式的解集为{x|﹣1＜x＜2}.故选：C.【点评】本题考查了不等式的解法与应用问题，是基础题.35分）设x∈R，则“x＞1”是“x2＞1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【分析】直接利用充要条件的判定判断方法判断即可.所以“x＞1”，是“x2＞1”成立的充分不必要条件.故选：A.【点评】本题考查充要条件的判定方法的应用，考查计算能力.【分析】直接利用特称命题的否定是全程命题写出结果即可.【解答】解：因为特称命题的否定是全程命题，所以，命题p：彐n∈N，n＞2n，则￢p为：∀n∈N，n2≤2n.故选：C.【点评】本题考查命题的否定特称命题与全程命题的否定关系，是基础题.55分）若a＞b，则下列不等式成立的是()A．a﹣b＞0B．C．|a|＞|b|D．a2＞b2【分析】由已知结合不等式的性质分别检验各选项即可判断.【解答】解：若a＞b，则a﹣b＞0，A正确；故选：A.【点评】本题主要考查了不等式的性质，属于基础题.65分）设函数f（xax3+bx+1，f（11，则f(﹣1）=()【分析】由已知先求出a+b，然后把x=﹣1代入即可求解.【解答】解：因为f（x）＝ax3+bx+1，f（1）＝a+b+1＝1，所以a+b＝0，则f(﹣1）=﹣a﹣b+1＝1.故选：C.【点评】本题主要考查了函数值的求解，属于基础题.【分析】推导出f(√5）＝5﹣4＝1，f[f(√5）]＝f（1）＝|1﹣3|+a＝4，由此能求出a的值.）＝f[f(）＝故选：D.【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.85分）已知f（x是定义在(﹣∞,+∞)上的减函数，则a的取值范围【分析】根据题意，由函数单调性的定义可得关于a的不等式，解可得a的取值范围，即可得答案.【解答】解：根据题意，f（x）＝，是定义在(﹣∞,+∞)上的减函数，则有，解可得≤a即a的取值范围为[故选：D.【点评】本题考查分段函数的性质，涉及函数的单调性，属于基础题.二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上.（多选）95分）已知集合A＝{x|x2+2x＝0}，则有()【分析】先求出集合A，然后分别判断各选项即可.【解答】解：因为方程x2+2x＝0的解为0或﹣2，所以A＝{02}，所以A，D正确，BC错误，故选：AD.【点评】本题考查了集合与集合的关系，元素与集合的关系，涉及到求解一元二次方程的问题，属于基础题.（多选）105分）下列f（x）与g（x）表示同一函数的是()A．f（x）＝，g（x）=B．f（x）＝1，g（x）＝（2x﹣1）0D．f（x）＝|x|，g（x）=【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数即可.【解答】解：对于A，f（xx≥1）与g（xx≥1或x≤﹣1）的定义域不相同，不是同一函数；对于B，f（x）＝1（xeR）与g（x）＝（2x﹣1）0（x）定义域不同，不是同一函数；对于C，f（x）＝＝1（x＞0）与g（x）＝＝1（x＞0）的定义域相同，是同一函数；对于D，f（x）＝|x|（xeR）与g（x）＝＝|x|（xeR）的定义域相同，是同一函数.故选：CD.【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，是基础题目.（多选）115分）若函数f（xm﹣2）xm是幂函数，则f（x）一定()A．是偶函数B．是奇函数【分析】由题意，利用幂函数的定义和性质，求出m的值，可得函数的解析式，从而得出结论.【解答】解：函数f（x）＝（m﹣2）xm是幂函数，则m﹣2＝1，即m＝3，故f（x）＝x3，故它为奇函数，不是偶函数，故A错误且B正确，由于函数f（x）在R上单调递增，故C错误且D正确，故选：BD.【点评】本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题.（多选）125分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时则下列结论正A．f（0）=﹣2B．f|（x）|的单调递增区间为(﹣1，01，+∞)C．当x＜0时，【分析】由奇函数f（x）在x＝0处有定义，可得f（0）＝0，可判断A；由x＞0的函数的解析式，结合奇函数的定义可得x＜0时的函数解析式，可判断C；判断x＞0时的f（x）的单调性，可得x＜0时的f（x）的单调性，不等式xf（x0等价为x＞0且f（x0，x＜0且f（x0，结合f(﹣1f（1）=0，解不等式可判断D；由y＝f|（x）|的图象与y＝f（x）的图象特点，结合单调性可判断B.【解答】解：函数f（x）是定义在R上的奇函数，可得f（0）＝0，故A错误；当x＞0时设x＜0，则﹣x＞0，f(﹣x）=﹣x﹣,又f(﹣x）=﹣f（x所以x＜0时，f（xx+，故C正确；由x＞0时，，可得f（1）＝0，又y＝x和y=﹣在（0，+∞)递增，可得f（x）在（0，+∞)递增，由奇函数的图象关于原点对称，可得f（x）在(﹣∞,0）递增，且f(﹣1）＝0，所以xf（x0等价为或，解得0＜x＜1或﹣1＜x＜0，故D错误；由y＝f|（x）|的图象可看作y＝f（x）的图象位于x轴上方的图象不变，将x轴下方的图象翻折到x轴上方得到，故选：BC.【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，以及函数的图象的运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题.三、填空题，共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.135分）函数f（x）=的定义域为 {x|x≤且x≠0}.【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可.【解答】解：由题意得，解得x且x≠0.故答案为：{x|x且x≠0}.【点评】本题考查了求函数定义域的应用问题，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式组，是基础题目.【分析】直接利用二次函数的根的存在性的问题的应用求出结果.【解答】解：命题“∀x∈R，x2﹣4x+a≠0”为假命题，则Δ=42﹣4a≥0，解得a≤4，【点评】本题考查的知识要点：二次函数的根的存在性问题，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题.155分）设，则a与b的大小为a＞b.【分析】由已知结合幂函数的性质即可比较大小.【解答】解：因为，所以0.50.5，故a＞b.故答案为：a＞b.【点评】本题主要考查幂函数单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题.165分）关于x的不等式（k﹣1）x2+（k﹣1）x﹣1＜0恒成立，则实数k的取值范围是(﹣3，1].【分析】讨论k＝1，k＜1，k＞1，结合二次函数的图象和判别式的符号，解不等式可得所求范围.【解答】解：由题意，当k＝1时，﹣1＜0恒成立；当k≠1时，设f（xk﹣1）x2+（k﹣1）x﹣1，若k＞0时，f（x）的图象为开口向上的抛物线，f（x0不恒成立；若k＜0时，要使不等式恒成立，只需Δ＜0，即（k﹣1）2+4（k﹣10，解得﹣3＜k＜1，综上可得3＜k≤1.故答案为：(﹣3，1].【点评】本题考查不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和运算能力，属于基础题.四、解答题：共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.1710分）已知非空集合P＝{x|a+1≤x≤2a+1}，Q＝{x|﹣2≤x≤5}.（2）若“x∈P”是“x∈Q”充分不必要条件，求实数a的取值范围.【分析】（1）将a＝3代入集合求解，利用集合间的关系可求(∁RP）∩Q；（2）利用充要条件的定义，分类讨论集合可求实数a的取值范围.【解答】解：已知集合P＝{x|a+1≤x≤2a+1}，Q＝{x|﹣2≤x≤5}.（1）当a＝3时，P＝{x|4≤x≤7}，∁RP＝{x＜4，或x＞7}又Q＝{x|﹣2≤x≤5}，(∁RP）∩Q＝{x|﹣2≤x＜4}；（2）因为“x∈P”是“x∈Q”充分不必要条件，所以又Q＝{x|﹣2≤x≤5}，P≠∅,所以，所以0≤a≤2；当a＝0时，P＝{1}是Q的真子集；当a＝2时，P＝{x|3≤x≤5}也满足是Q的真子集，综上所述：{a0≤|a≤2}.【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键.1812分1）已知x＞3，求的最小值；（2）已知，求y＝x（1﹣3x）的最大值.【分析】（1）由x＞3知x﹣3＞0，化简＝+（x﹣3）+3，从而利用基本不等式求最小值；（2）由知0＜3x＜1，0＜1﹣3x＜1，化简y＝x（1﹣3x•3x（1﹣3x从而利用基本不等式求最大值.【解答】解1）∵x＞3，∴x﹣3＞0，∴=+（x﹣3）+3故的最小值为7；∴0＜3x＜1，0＜1﹣3x＜1，＝•3x（1﹣3x）当且仅当3x＝1﹣3x，即x＝时，等号成立；故y＝x（1﹣3x）的最大值为．【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题．1912分）已知函数f（x|x2﹣2x﹣3|．（1）画出函数图象并写出函数的单调区间（不需要证明（2）求集合M＝{m|使方程f（x）＝m有两个不相等的实根}．【分析】（1）根据题意，由函数的解析式作出函数的图象，由图象分析可得答案；（2）根据题意，由函数与方程的关系，可得函数y＝f（x）与直线y＝m有2个不同的交点，结合函数的图象分析可答案．【解答】解1）根据题意，函数f（x|x2﹣2x﹣3|＝其图象如图：则f（x）的递减区间为∞1）和（1，3递增区间为1，1）和（3，+∞（2）根据题意，若方程f（x）＝m有两个不相等的实根，则函数y＝f（x）与直线y＝m有2个不同的交由函数的图象，必有m＝0或m＞4，即M＝{m|m＝0或m＞4}.【点评】本题考查函数的图象，涉及函数与方程的关系，属于基础题.2012分）已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A地到B地，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地.（1）把汽车离开A地的距离x（千米）表示为时间t（小时）的函数；（2）求汽车行驶5小时与A地的距离.【分析】（1）对x分三种情况讨论得解；（2）把t＝5代入函数的解析式即得解.【解答】解1）由题意得A，B两地相距150km，某人开汽车以60km/h的速度从A地到达B地，可得从A到B需要2.5小时，以50km/h的速度返回A地，从B到A需要3小时，当0≤t≤2.5时，x＝60t；当2.5＜t≤3.5时，x＝150；当3.5＜t≤6.5时，x＝150﹣50（t﹣3.5）=﹣50t+325；故x=;（2）当t＝5时，x=﹣50×5+325＝75，即汽车行驶5小时离A地75千米.【点评】本题考查分段函数模型的应用，建立拟合函数模型解决实际问题，属于中档题.2112分）已知函数（1）用函数单调性的定义证明f（x）在区间[2，+∞)上为增函数（2）解不等式：f（x2﹣2x+4）≤f（7）【分析】（1）任取x1，x2e[2，+∞),且x1＜x2，通过作差比较f