3直角三角形课件北师大版八年级数学下册

第一章

三角形的证明3直角三角形第1课时

直角三角形的性质与判定

【探究1】直角三角形的两个锐角关系定理及逆定理探究与应用

思考：

问题1:直角三角形的两个锐角有怎样的关系?为什么?

问题2:如果一个三角形有两个角互余,那么这个三角形是直角三角形吗?你能证明这两个结论吗?结论:1.直角三角形的两个锐角互余;2.如果一个三角形有两个角互余,那么这个三角形是直角三角形.

【探究1】直角三角形的两个锐角关系定理及逆定理探究与应用证明定理:直角三角形的两个锐角互余.已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°.求证:∠A+∠B=90°.证明:在△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°,∵∠C=90°,∴∠A+∠B=180°-∠C=180°-90°=90°.

【探究1】直角三角形的两个锐角关系定理及逆定理探究与应用证明定理:有两个角互余的三角形是直角三角形。已知:如图,在△ABC中,∠A+∠B=90°.求证:△ABC是直角三角形.证明:在△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°,∵∠A+∠B=90°,∴∠C=180°-(∠A+∠B)=180°-90°=90°,∴△ABC是直角三角形.

【探究1】直角三角形的两个锐角关系定理及逆定理探究与应用【概括新知】

定理:直角三角形的两个锐角互余.定理:

有两个角互余的三角形是直角三角形.

【探究2】勾股定理及其逆定理的证明探究与应用勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.怎样证明这一结论呢？已知:如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c.求证:a2+b2=c2.

【探究2】勾股定理及其逆定理的证明探究与应用【尝试·交流】

在一个三角形中,当两边的平方和等于第三边的平方时,我们曾用测量的办法得出“这个三角形是直角三角形”的结论.你能用基本事实和已有定理证明这一结论吗?与同伴进行交流.

【探究2】勾股定理及其逆定理的证明探究与应用已知:如图:在△ABC中,AB2+AC2=BC2.求证:△ABC是直角三角形.证明:作Rt△A'B'C'(如图),使∠A'=90°,A'B'=AB,A'C'=AC,则A'B'2+A'C'2=B'C'2(勾股定理).∵AB2+AC2=BC2,∴BC2=B'C'2,∴BC=B'C',∴△ABC≌△A'B'C'(SSS),∴∠A=∠A'=90°(全等三角形的对应角相等).因此,△ABC是直角三角形.

【探究3】互逆命题和互逆定理探究与应用【观察交流】(1)观察本节第一个定理和第二个定理,它们的条件和结论之间有怎样的关系?

第三个定理和第四个定理呢?与同伴进行交流.(2)观察下面三组命题:

如果两个角是对顶角,那么它们相等.如果两个角相等,那么它们是对顶角.如果a=b,那么a2=b2.如果a2=b2,那么a=b.一个三角形中相等的边所对的角相等.一个三角形中相等的角所对的边相等.解：问题(1)中的两个定理,其中一个命题的条件和结论是另一个命题的结论和条件;问题(2)中的三个命题也有类似的关系.上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗？与同伴进行交流.

【探究3】互逆命题和互逆定理探究与应用

【概括新知】

在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,如果把其中一个命题称为原命题.那么,另一个命题就称为它的逆命题.

【探究3】互逆命题和互逆定理探究与应用【尝试·思考】

你能写出命题“如果两个有理数相等,那么它们的平方相等”的逆命题吗?它们都是真命题吗?

答：如果两个有理数的平方相等,那么这两个有理数相等,这个命题是假命题.

如:52=25,(-5)2=25,5和-5的平方相等,但5和-5不相等.

【探究3】互逆命题和互逆定理探究与应用

【概括新知】原命题是真命题,它的逆命题不一定是真命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理,其中一个定理称为另一个定理的逆定理.

【探究3】互逆命题和互逆定理探究与应用

【应用】

说出下列命题的逆命题,并判断每对互逆命题的真假:(1)如果a=0,那么ab=0;(2)周长相等的三角形的面积相等;(3)如果两个数都是正数,那么这两个数的差是正数.解:(1)逆命题是“如果ab=0,,则a=0”,

原命题是真命题,逆命题为假命题;(2)逆命题是“面积相等的三角形周长相等”,

原命题和逆命题都是假命题;(3)逆命题是“两个数的差是正数,则这两个数都是正数”,

原命题和逆命题都是假命题.【拓展提升】1.如图1,已知在Rt△ABC中,∠BAC=90°,BC=4,分别以AB,AC,BC为边向外作等

边三角形,面积分别记为S1,S2,S3,则S1+S2+S3的值等于

.

图1图22.如图2,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6cm,AC=8cm,按图中所示方法将△BCD

沿BD折叠,使点C落在AB边上的点C'处,那么△ADC'的面积是

.探究与应用

6cm2

达标测评1.下列命题中,其逆命题成立的是

.(只填写序号)

①同旁内角互补,两直线平行;②如果两个角是直角,那么它们相等;③如果两个实数相等,那么它们的平方相等;④如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.2.“直角三角形两锐角互余”的逆命题是

.

①④两锐角互余的三角形是直角三角形课堂小结与检测

达标测评3.在Rt△ABC中,∠C=90°,若a∶b=1∶2,且c=5,则ab=

.

4.在Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB,垂足为D,若∠A=60°,AB=4cm,则CD=

.

课堂小结与检测10

达标测评5.如图,在△ABC中,已知AB=13cm,BC=10cm,BC边上的中线AD=12cm.求证:AB=AC.课堂小结与检测

第一章

三角形的证明3直角三角形第2课时

直角三角形全等的判定

问题:

两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等吗?知识关联

两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形不一定全等.如果其中一组等边的对角都是直角呢?

【探究】HL定理探究与应用【尝试·交流】

已知斜边和一条直角边,如何作出这个直角三角形呢?(1)假设满足条件的直角三角形已经作出,你能画出这个直角三角形的草图吗?(2)你是按照怎样的步骤画这个草图的?先画一画,再用尺规试一试,并与同伴进行交流.

【探究】HL定理探究与应用如图,已知线段a,c(a<c),用尺规作Rt△ABC,使∠C=90°,AB=c,BC=a.由此你是否发现判定直角三角形全等的一种方法?1.作射线CN.2.过点C作射线CN的垂线CM.3.在射线CM上截取CB=a.4.以点B为圆心,以线段c的长为半径作弧,交射线CN于点A.5.连接AB.△ABC就是所要作的直角三角形.

【探究】HL定理探究与应用斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.你能写出已知、求证和证明过程吗？证明:在△ABC中,∵∠C=90°,∴BC2=AB2-AC2(勾股定理).同理,B'C'2=A'B'2-A'C'2.∵AB=A'B',AC=A'C',∴BC=B'C'.∴△ABC≌△A'B'C'(SSS).已知:如图,在△ABC和△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,AC=A'C',AB=A'B'.求证:△ABC≌△A'B'C'.

【探究】HL定理探究与应用【概括新知】

定理:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.

这一定理可以简述为“斜边、直角边”或“HL”符号表示:如图,在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,∵AC=A'C',AB=A'B'(已知),∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(HL).探究与应用【应用】

例如图,有两个长度相等的梯子,左边梯子的高度AC与右边梯子水平方向的

长度DF相等,两个梯子的倾斜角∠CBA和∠EFD的大小有什么关系?解:根据题意,可知∠BAC=∠EDF=90°,BC=EF,AC=DF,∴Rt△BAC≌Rt△EDF(HL).∴∠CBA=∠DEF(全等三角形的对应角相等).∵∠DEF+∠EFD=90°(直角三角形的两个锐角互余).∴∠CBA+∠EFD=90°.【拓展提升】

如图,已知∠ABC=∠ADC=90°,E是AC上一点,AB=AD.求证:EB=ED.探究与应用

达标测评1.如图,O是∠BAC内一点,且点O到AB,AC的距离OE=OF,则直接判定△AEO≌△AFO的依据是 (

)A.HL

B.AAS

C.SSS

D.ASA2.下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是 (

)A.两条直角边对应相等 B.有两条边对应相等C.一条边和一锐角对应相等 D.一条边和一个角对应相等

3.如图,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF.给出下列结论:①∠1=∠2;②BE=CF;③△ACN≌△ABM.其中正确的结论是

.(将你认为正确的结论序号都填上