湖南省邵东县创新实验学校2026届高二数学第一学期期末学业质量监测模拟试题含解析

湖南省邵东县创新实验学校2026届高二数学第一学期期末学业质量监测模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列通项公式中，对应数列是递增数列的是（）A B.C. D.2．已知抛物线的焦点为F，过F作斜率为2的直线l与抛物线交于A，B两点，若弦的中点到抛物线准线的距离为3，则抛物线的方程为（）A. B.C. D.3．设数列的前项和为，数列是公比为2的等比数列，且，则（）A.255 B.257C.127 D.1294．为了了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为50的样本，则分段的间隔为（）A.20 B.25C.40 D.505．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）A.192

里 B.96

里C.48

里 D.24

里6．已知数列满足，则（）A.2 B.C.1 D.7．已知等比数列中，，则这个数列的公比是（）A.2 B.4C.8 D.168．抛物线的焦点到准线的距离为（）A. B.C. D.19．设，分别是双曲线：的左、右焦点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，，为坐标原点，则双曲线的离心率为（）A. B.2C. D.10．已知数列满足且，则（）A.是等差数列 B.是等比数列C.是等比数列 D.是等比数列11．已知数列的通项公式为，是数列的最小项，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.12．已知是抛物线上的点，F是抛物线C的焦点，若，则（）A.1011 B.2020C.2021 D.2022二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知向量，若，则实数___________.14．已知椭圆：的左右焦点分别为，为椭圆上的一点，与椭圆交于.若△的内切圆与线段在其中点处相切，与切于，则椭圆的离心率为_______15．已知椭圆方程为，左、右焦点分别为、，P为椭圆上的动点，若的最大值为，则椭圆的离心率为___________.16．若，若，则______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在平面直角坐标系中，设点，直线，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，也是PF的中点．，（1）求动点Q的轨迹的方程E；（2）过点F作两条互相垂直的曲线E的弦AB、CD，设AB、CD的中点分别为M，N．求直线MN过定点R的坐标18．（12分）已知函数.（1）当时，求的极值；（2）当时，，求a的取值范围.19．（12分）已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，的面积为1.（1）求抛物线的标准方程；（2）设点是抛物线上异于点的一点，直线与直线交于点，过作轴的垂线交抛物线于点，求证：直线过定点.20．（12分）若存在实常数k和b，使得函数和对其公共定义域上的任意实数x都满足：和恒成立，则称此直线y＝kx＋b为和的“隔离直线”.已知函数，.（1）证明函数在内单调递增；（2）证明和之间存在“隔离直线”，且b的最小值为－4.21．（12分）已知圆C的圆心在坐标原点，且过点M（）（1）求圆C的方程；（2）已知点P是圆C上的动点，试求点P到直线的距离的最小值；22．（10分）内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）求B；（2）若，且是锐角三角形，求c的值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据数列单调性的定义逐项判断即可.【详解】对于A，B选项对应数列是递减数列．对于C选项，，故数列是递增数列．对于D选项，由于．所以数列不是递增数列故选：C.2、B【解析】设出直线，并与抛物线联立，得到，再根据抛物线的定义建立等式即可求解.【详解】因为直线l的方程为，即，由消去y，得，设，则，又因为弦的中点到抛物线的准线的距离为3，所以，而，所以，故，解得，所以抛物线的方程为故选：B.3、C【解析】由题设可得，再由即可求值.【详解】由数列是公比为2的等比数列，且，∴，即，∴.故选：C.4、A【解析】根据系统抽样定义可求得结果【详解】分段的间隔为故选：A5、B【解析】由题可得此人每天走的步数等比数列，根据求和公式求出首项可得.【详解】由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，由题意和等比数列的求和公式可得，解得，第此人第二天走里.故选：B6、D【解析】首先得到数列的周期，再计算的值.【详解】由条件，可知，两式相加可得，即，所以数列是以周期为的周期数列，.故选：D7、A【解析】直接利用公式计算即可.【详解】设等比数列的公比为，由已知，，所以，解得.故选：A8、B【解析】由可得抛物线标椎方程为：，由焦点和准线方程即可得解.【详解】由可得抛物线标准方程为：，所以抛物线的焦点为，准线方程为，所以焦点到准线的距离为，故选：B【点睛】本题考了抛物线标准方程，考查了焦点和准线相关基本量，属于基础题.9、D【解析】先求过右焦点且与渐近线垂直的直线方程，与渐近线方程联立求点P的坐标，再用两点间的距离公式，结合已知条件，得到关于a，c的关系式.【详解】双曲线的左右焦点分别为、，一条渐近线方程为，过与这条渐近线垂直的直线方程为，由，得到点P的坐标为，又因为，所以，所以，所以.故选：D10、D【解析】由，化简得，结合等比数列、等差数列的定义可求解.【详解】由，可得，所以，又由，，所以是首项为，公比为2的等比数列，所以，，，，所以不是等差数列；不等于常数，所以不是等比数列.故选：D.11、D【解析】利用最值的含义转化为不等式恒成立问题解决即可【详解】解：由题意可得，整理得，当时，不等式化简为恒成立，所以，当时，不等式化简为恒成立，所以，综上，，所以实数的取值范围是，故选：D12、C【解析】结合向量坐标运算以及抛物线的定义求得正确答案.【详解】设，因为是抛物线上的点，F是抛物线C的焦点，所以，准线为：，因此，所以，即，由抛物线的定义可得，所以故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2【解析】利用向量平行的条件直接解出.【详解】因为向量，且，所以，解得：2故答案为：214、【解析】利用椭圆及三角形内切圆的性质可得、，结合等边三角形的性质得的大小，在△中应用余弦定理得到a、c的齐次式，即可求离心率.【详解】由题意知：由内切圆的性质得：,由椭圆的性质,而,∴,∴由内切圆的性质得：再由椭圆的性质,得：,由此，△为等边三角形,可得,在△中，由余弦定理得：，解得，则,故答案为：.15、【解析】利用椭圆的定义结合余弦定理可求得，再利用公式可求得该椭圆的离心率的值.【详解】由椭圆的定义可得，由余弦定理可得，因为的最大值为，则，可得，因此，该椭圆的离心率为.故答案为：.16、2【解析】首先利用二项展开式的通项公式，求，再利用赋值法求系数的和以及【详解】展开式的通项为，令，则，即，故，令，得.又，所以故故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）由图中的几何关系可知,故可知动点Q的轨迹E是以F为焦点，l为准线的抛物线，但不能和原点重合，即可直接写出抛物线的方程；（2）设出直线AB的方程，把点、的坐标代入抛物线方程，两式作差后，再利用中点坐标公式求出点M的坐标，同理求出点的坐标，即可求出直线MN的方程，最后可求出直线MN过哪一定点.【小问1详解】∵直线的方程为，点R是线段FP的中点且，∴RQ是线段FP的垂直平分线,∵,∴是点Q到直线l的距离,∵点Q在线段FP的垂直平分线，∴,则动点Q的轨迹E是以F为焦点，l为准线的抛物线，但不能和原点重合，即动点Q轨迹的方程为.【小问2详解】设，，由题意直线AB斜率存在且不为0，设直线AB的方程为，由已知得，两式作差可得，即，则，代入可得，即点M的坐标为，同理设，，直线的方程为，由已知得，两式作差可得，即，则，代入可得，即点的坐标为，则直线MN的斜率为，即方程为，整理得，故直线MN恒过定点.18、（1）极大值，没有极小值（2）【解析】（1）把代入，然后对函数求导，结合导数可求函数单调区间,即可得解；（2）构造函数，将不等式的恒成立转化为函数的最值问题，结合导数与单调性及函数的性质对进行分类讨论，其中当和时易判断函数的单调性以及最小值，而当时，的最小值与0进一步判断【小问1详解】当时，的定义域为，.当时，，当时，，所以在上为增函数，在上为减函数.故有极大值，没有极小值.【小问2详解】当时，恒成立等价于对于任意恒成立.令，则.若，则，所以在上单调递减，所以，符合题意.若，所以在上单调递减，，符合题意.若，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，不合题意.综上可知，a的取值范围为.【点睛】关键点点睛：本题考查了不等式恒成立问题，其关键是构造函数，通过讨论参数在不同取值范围时函数的单调性，求出函数的最值，解出参数的范围.必要时二次求导.19、（1）（2）证明见解析【解析】(1)由条件列方程求，由此可得抛物线方程；(2)方法一：联立直线与抛物线方程，结合条件三点共线，可证明直线过定点，方法二：联立直线与抛物线方程，联立直线与直线求，由垂直与轴列方程化简，可证明直线过定点.【小问1详解】因为点在抛物线上，所以，即，，因为，故解得，抛物线的标准方程为【小问2详解】设直线的方程为，由，得，所以，由（1）可知当时，，此时直线的方程为，若时，因为三点共线，所以，即，又因为，，化简可得，又，进而可得，整理得，因为所以，此时直线的方程为，直线恒过定点又直线也过点，综上：直线过定点解法二：设方程，得若直线斜率存在时斜率方程为即解得：，于是有整理得.（*）代入上式可得所以直线方程为直线过定点.若直线斜率不存在时，直线方程为所以P点坐标为，M点坐标为此时直线方程为过点综上：直线过定点.【点睛】解决直线与抛物线的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、抛物线的条件；(2)强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题20、（1）见解析（2）见解析【解析】（1）由导数得出在上的单调性；（2）设和之间的隔离直线为y＝kx＋b，由题设条件得出对任意恒成立，再由二次函数的性质求解即可.【小问1详解】，当时，在上单调递增在内单调递增【小问2详解】设和之间的隔离直线为y＝kx＋b则对任意恒成立，即对任意恒成立由对任意恒成立，得当时，则有符合题意；当时，则有对任意恒成立的对称轴为又的对称轴为即故和之间存在“隔离直线”，且b的最小值为－4.【点睛】关键点睛：在解决问题一时，求了一阶导得不了函数的单调性，再次求导得，进而得出在恒成立，得在上的单调性.21、（1）（2）【解析】（1）由圆C的圆心在坐标原点，且过点，求得圆的半径，利用圆的标准方程，即可求解；（2）由点到直线的距离公式，求得圆心到直线l的距离为，进而得到点P到直线的距离的最小值为，得出答案.【详解】（1）由题意，圆C的圆心在坐标原点，且过点，所以圆C的半径为，所以圆C的方程为.