江西赣州市十三校2025-2026学年高二上学期期中联考试题数学含解析

2025-2026学年度第一学期赣州市十三校期中联考高二年级数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一项符合题目要求）1．直线的倾斜角是（）A．B．C．D.02．已知圆与圆，则两圆的位置关系是（）A．内含B．外切C．相交D．外离3．已知直线与直线平行，则实数的值为（）A．-1B.2C．-1或2D.1或-24．已知点，在轴上求一点，使最小，则点的坐标为（）A．B．C．D．5．已知是椭圆的左、右焦点，经过的直线与椭圆相交于两点，若，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．6．已知为抛物线的焦点，的三个顶点都在上，且为的重心．若的最大值为10，则（）A.1B.2C.3D.47．已知正方形的边长为2，现将沿对角线翻折，得到三棱锥．记AC、BC、AD的中点分别为O、M、N，则下列结论错误的是（）A．AC上平面BODB．三棱锥D-ABC体积的最大值为C．三棱锥D-ABC的外接球的表面积为定值D．MN与平面BOD所成角的范围是8．在天文观测中，天文学家利用圆锥曲线的光学性质分析星系光线传播．如图，从双曲线右焦点发出的模拟星系光线，经双曲线模型镜面反射后形成发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点．已知双曲线的方程为，当入射光线和反射光线（为入射点）互相垂直时，求的大小（）A．B．C．D．二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（）A．抛物线的焦点坐标是B．抛物线关于轴对称C．抛物线的准线方程为D．抛物线的焦点到准线的距离为410．已知直线与圆，则下列说法正确（）A．直线恒过定点B．当直线与圆相切时，切线方程是C．当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于D．圆上的一点到直线的最大距离是11．已知椭圆，我们把圆称为的蒙日圆，为原点，点在上，延长与的蒙日圆交于点，则（）A．的最大值为B．若为的中点，则的离心率的最小值为C．过点不可能作两条互相垂直的直线都与相切D．若点在上，则的蒙日圆面积最小为三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．若圆锥的高为10，底面圆的半径为2，则这个圆锥的体积为___________．13．已知点到点的距离比到轴的距离大3，则点的轨迹方程为___________．14．已知双曲线的左焦点为，右焦点为，过作圆的切线，切点为，切线交双曲线右支于点，且为坐标原点，则双曲线的离心率为__________．四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）15．已知在平面直角坐标系中，圆经过点和，且圆心在直线上，直线．（1）求圆的标准方程；（2）若直线被圆截得的弦长为，求实数的值．16．已知抛物线的焦点为，焦点到准线的距离为5．（1）求抛物线的标准方程及焦点的坐标；（2）过焦点作斜率为2的直线，交抛物线于，两点，若点在抛物线上，求的面积．17．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD底面ABCD，E是PC的中点，点F在棱BP上，且EFBP，四边形ABCD为正方形，PD=CD=2．（1）证明：：（2）求点到平面的距离．18．已知椭圆分别是左、右焦点，是椭圆上点，的最大值为3，当为椭圆上顶点时，为等边三角形．（1）求椭圆的标准方程；（2）设、分别是椭圆的左、右顶点，若直线与交于点、，且．证明：直线过定点．19．已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比为常数．其中，且，记点的轨迹为曲线．（1）求C的方程，并说明轨迹的形状；（2）设点，若曲线上两动点均在轴上方，，且与相交于点．①当时，求证：的值及的周长均为定值；②当时，记的面积为，其内切圆半径为，试探究是否存在常数，使得恒成立？若存在，求（用表示）；若不存在，请说明理由．

题号12345678910答案BCAACDDBACABD题号11答案ABD1.答案：B直线倾斜角与斜率的关系解析：直线方程化为斜截式：，斜率。倾斜角满足，且。因，故倾斜角为。2.答案：C（相交）两圆位置关系的判断（圆心距与半径的关系）解析：求圆心与半径：圆圆心、半径；圆圆心、半径。计算圆心距：。判断位置：因，故两圆相交。3.答案：A（-1）两直线平行的充要条件且解析：化简直线：直线:化为；直线。列平行条件：（斜率相等），且（截距不等）。求解验证：解得（代入满足截距不等），不满足斜率相等，故答案为-1。4.

答案：A轴对称求最短路径（两点之间线段最短）解析：找对称点：作关于x轴的对称点。求直线方程：直线的斜率，方程为。求交点P：令，解得，故。5.答案：C椭圆定义与直角三角形性质解析：判断三角形形状：，满足，故。用椭圆定义求a：，，两式相加得。求a与c：因，故，；，在中，，。计算离心率：。6.答案：D抛物线定义与重心性质解析：抛物线基本量：焦点，准线，由定义得，。重心性质：设，，，重心纵坐标，故。求最大值：，当（抛物线最低点）时，最大值为。解方程：，得。7．D【详解】对于A中，因为为正方形，可得，又由，且平面，所以平面，所以A正确；对于B中，当平面平面时，此时到平面的距离最大，即三棱锥高的最大值为，此时三棱锥的最大体积为，所以B正确；对于C中，由，所以三棱锥外接球的球心为，即外接球的半径，所以三棱锥外接球的表面积为（定值），所以C正确；对于D中，如图所示，取的中点，分别连接，因为分别为中点，可得且，所以平面平面，又因为平面，所以平面，因为，所以平面，所以即为直线与平面所成的角，在折叠过程中，设的长度为，则由为的中点，所以，在直角中，可得，所以的取值范围为，即与平面所成的角的范围为，所以D错误.故选：D.8．B【详解】由得：，，．设，则．所以，解得（舍去），所以，，，所以．故选：B．9．AC【详解】因为抛物线与抛物线关于轴对称，所以抛物线的方程为，则抛物线的焦点坐标是，准线方程为，故A、C正确；抛物线关于轴对称，故B错误；抛物线的焦点到准线的距离为，故D错误.故选：AC10．ABD【详解】对于A，将直线转化为，由，解得，直线恒过定点，A正确；对于B，圆，可得圆心，半径，由直线与圆相切，可得圆心C到直线l的距离，即，解得，故切线方程为，即，B正确；对于C，当时，直线，点到此直线距离为，因此圆上恰有四个点到直线的距离等于，C错误；对于D，因为直线恒过定点，可得，当时，圆心C到直线l的距离最大，且最大值为，所以圆上的点到直线的最大距离为，D正确.故选：ABD.11．ABD【详解】对于A，因为圆的圆心为，半径为，又椭圆，所以，所以，故A正确；对于B，若为的中点，则，则，故，B正确；对于C，取，则直线，互相垂直，且都与相切，C错误；对于D，因为点在上，所以，则，当且仅当，即时取等号，所以的蒙日圆面积最小为，D正确.故选：ABD.12．【详解】因圆锥的底面半径为2、高为，则其体积为.故答案为：.13.

答案：或解析：设，列条件：。分类讨论：当：平方化简得；当：平方化简得。14.

答案：双曲线性质、向量运算、圆的切线性质解析：切线性质：，，，得T点坐标。向量运算：，得,。代入双曲线：化简得，解得（舍）或，故15.（12分）圆的标准方程、直线与圆的弦长公式解析：求圆C的标准方程：(1)设圆心（在直线上），由得。解得，圆心，半径，圆方程为。(2)求实数k的值：弦长，圆心到直线距离。直线，，解得。16.抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系解析：求抛物线方程与焦点：(1)焦点到准线距离，方程，焦点。(2)求的面积（假设P为抛物线顶点：直线l：，代入抛物线得。弦长。点P到直线距离，面积17.17．(1)证明见解析(2)（1）先证平面，再证平面，即可证；（2）由可求；【详解】（1）证明：因为底面，底面，所以，因为四边形为正方形，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，在中，因为，是的中点，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以．（2）连接交于点，如图所示：则，又因为底面，平面，所以，因为，平面，所以平面，则点到平面的距离为，因为是的中点，所以，因为底面正方形边长为，所以，，所以，，所以，，所以．在中，满足，有，所以，设点到平面的距离为，由可得18.(1)椭圆的标准方程为(2)（）证明见解析；（）面积的最大值为【详解】（1）根据题意作图如下：由题意得，所以，因为，所以椭圆的标准方程为.（2）（）证明：法一：由（1）可知，设直线的斜率为，则直线的斜率为，设，则直线的方程为，直线的方程为，联立，化简得，因为，所以，即，联立，化简得，因为，所以，即，则，所以直线的方程为，整理得，所以直线过定点，即右焦点.法二：设，又由（1）知，所以，则有，又，则，代入上式可得.又因为，所以.设直线的方程为，联立，得，所以，且所以，由，化简得且，即，解得或（舍），所以直线过定点，即右焦点；19．(1)答案见解析(2)①证明见解析；②存在；【详解】（1）设点，由题意可知，即，经化简，得的方程为，当时，曲线是焦点在轴上的椭圆；当时，曲线是焦点在轴上的双曲线．（2）设点，其中且，（ⅰ）由（1）可知的方程为，因为，所以，因此，三点共线，且，（法一）设直线的方程为，联立的方程，得，则，由（1）可知，所以，所以为定值1；（法二）设，则有，解得，同理由，解得，