【《四旋翼飞行器的模型建立案例》3300字】

四旋翼飞行器的模型建立案例目录TOC\o"1-3"\h\u938四旋翼飞行器的模型建立案例 140181.1引言 1284381.2四旋翼飞行器的工作原理 1132831.3坐标系及相互转换关系 3133731.4动力学模型建立 681561.5小结 81.1引言对于多数传统控制方案而言，被控对象的模型都是必需的，且模型的精确程度与最终控制器的性能息息相关。如果缺乏被控对象的准确模型，那么很多控制算法的实现难度都将大幅提升，因此精确建立四旋翼飞行器的动力学模型尤为关键。除了研究模型本身的耦合性、欠驱动性、静不稳性、本质非线性等特点，我们还需考虑硬件装配误差、环境干扰以及参数的不确定性。本章开始介绍了四旋翼飞行器的工作原理，包括旋翼升力公式以及电机转速解算等，阐述了四旋翼飞行器稳定飞行的可行性；接下来，在欧拉角描述的基础上建立坐标系并推导坐标系转换公式；最后，在考虑干扰和误差的情况下，推导四旋翼飞行器的动力学模型。1.2四旋翼飞行器的工作原理旋翼在旋转时将与空气之间发生相对运动，上下两侧的压强差导致升力，方向沿转轴向上；角动量守恒导致存在扭矩，方向沿转轴并与机翼旋转方向相反，示意图如下：图2-1旋翼的工作原理设旋翼的旋转速度为Ω，旋翼产生的升力大小为T，力矩为Q，则由叶素理论、涡流分析的知识，可以获得旋翼的升力及力矩公式为REF_Ref1746\r\h[35]：(2-1)其中空气的密度ρ、旋翼旋转时扫过的面积A、旋翼半径R、旋翼的升力系数CF和扭矩系数CM均可视为常数，因此升力和力矩只是转速的函数，将其记为REF_Ref1779\r\h[36]：(2-2)四旋翼的工作原理见图2-2。四个旋翼均产生向上的升力，其中旋翼2和4顺时针旋转，其中旋翼1和3逆时针旋转。前者提供逆时针方向的扭矩，后者提供顺时针方向的扭矩。四旋翼飞行过程中，旋翼的转速方向保持不变。只要调节4个电机的转速，无人机就能够产生横滚、俯仰或偏航运动。yybτr4fr4fr1fr2fr3Ω2Ω1Ω3Ω4τr1τr2τr3zbxbOb图2-2四旋翼飞行器原理示意图定义Ω1，Ω2，Ω3，Ω4为旋翼1，2，3，4的角速度；定义fr1，fr2，fr3，fr4为旋翼1，2，3，4所产生的的升力；定义fr为四个旋翼产生的合力，数值大小为fr；定义τr为四个旋翼产生的合力矩。选取以机体质心为原点选取机体坐标系Ob，如图2-2中所示。在机体坐标系中，合力fr的坐标表示为frb=(0，fr，0)T；合力矩τr的坐标表示为τrb=(τrx，τry，τrz)T；结合公式(2-2)有：(2-3)定义旋翼转轴到机体质心的距离为l，升力力和三个方向上的力矩如下：(2-4)将式(2-2)带入(2-3)并整理为矩阵形式有：(2-5)其中系数矩阵C表示为：如果已知四个旋翼的转速，那么就能够借助系数矩阵C计算控制四旋翼飞行器所需的力和力矩，若想由后者解算得到前者，需考察系数矩阵C是否奇异。经计算，得到系数矩阵C的行列式为：(2-6)因此系数矩阵是可逆矩阵，进而有：(2-7)规划四旋翼无人机的飞行轨迹时，若能计算出需要旋翼提供的力和力矩，就可以由式(2-7)解算出相应电机的期望转速，将对应的期望信号输入电机就可以实现无人机的运动，如垂直起降、俯仰、滚转以及偏航等。对于图2-2中的坐标系和无人机，实现垂直起降需要同时改变四个旋翼的转速；实现正向偏航需要增大旋翼2和4的转速并减小旋翼1和3的转速；实现正向俯仰需要保持旋翼2、4转速不变，增大旋翼1的转速，并等量减小旋翼3的转速；类似地，实现正向滚转就需要保持旋翼1和3的转速，增大旋翼4的转速，并等量减小旋翼2的转速。1.3坐标系及相互转换关系在研究并建立四旋翼飞行器模型的过程中，涉及的坐标系除了前文的机体坐标系Ob-xbybzb，还会有地面坐标系Oe-xeyeze和惯性主轴坐标系Oi-xiyizi。前者与机体坐标系共同参与动力学方程的描述，具体情况如图2-3所示；而后者用于描述实际系统中陀螺安装误差的影响。ffr4fr1fr2fr3Ω2Ω1Ω3Ω4τr1τr2τr3zbxbObzexeOeybτr4图2-3坐标系的建立借助坐标系之间的变换和投影，可以很好地描述飞行姿态。本文在四旋翼数学建模时，选择欧拉角描述，因为其物理意义更直观，且不存在冗余参数，虽然其存在奇异点的问题，但本课题并不考虑姿态角大于90度的情形。采用偏航-俯仰-滚转的顺序，即2-3-1转序下的欧拉角对其进行描述。刚体的姿态变化并不因其位置的变化而改变，故而考虑姿态转换时，可以不考虑两个坐标系原点间的距离，也就是将它们的原点重合，记为O，则三次转换过程见图2-4，其中偏航、俯仰和滚转变换依次以红色虚线、绿色点线和蓝色点划线表示。zzex1ye(y1))xex2(xb)zbz1(z2)yby2O图2-4地面坐标系到机体坐标系的转换图将Oxb轴在水平面内O-xeze的投影与Oxe轴之间的夹角记为φ，其表示四旋翼飞行器的偏航角度；将Oxb轴与水平面O-xeze之间的夹角记为θ，其表示四旋翼飞行器的俯仰角度。将Oye轴与包含Oyb轴的铅垂平面之间的夹角记为γ，其表示四旋翼飞行器的滚转角度。在2-3-1转序下，对图2-4定义的坐标系转换过程进行解释如下：首先，地面坐标系Oe-xeyeze先绕Oye轴旋转偏航角φ，形成坐标系O-x1y1z1；然后坐标系O-x1y1z1再绕Oz1轴旋转俯仰角θ，形成坐标系O-x2y2z2；最后坐标系O-x2y2z2再绕Ox2轴旋转滚转角γ，形成机体坐标系O-xbybzb。根据欧拉角描述下转移矩阵的计算规律有：其中rot矩阵为绕定轴的旋转矩阵：整理得到机体坐标系到地面坐标系的转移矩阵为：对于三维空间中的任一矢量，若我们已知它在其中一个坐标系的坐标，则一定可以通过这个转移矩阵求解其在另一个坐标系的坐标表示。任意刚体都存在三个互相正交的轴，使得以这三个轴建立坐标系时，惯性矩阵呈对角阵形式，称为惯性主轴。现实陀螺在安装时普遍存在误差，这使得惯性矩阵在机体坐标系中的形式不再是对角阵，为了将陀螺安装误差的影响在建模时精确地表述出来，下面以三个机体惯性主轴建立坐标系。惯性主轴坐标系以机体质心作为原点Oi，惯性主轴Oixi、Oiyi和Oizi轴方向的选取同机体坐标系一致。与前面地面坐标系与机体坐标系转换关系的推导过程类似，记陀螺安装误差角为δη=(δφ，δθ，δγ)T，事实上，它是惯性主轴坐标系到机体坐标系在2-3-1转序下的欧拉角。计算方式与前文一致，得到转换矩阵如下：设Ji为四旋翼在惯性主轴坐标系中的惯性矩阵，Jb为其在机体坐标系中的惯性矩阵，则两个惯性矩阵之间的关系可以通过转换矩阵描述：(2-8)1.4动力学模型建立下面将建立四旋翼的动力学模型。我们假设四旋翼是一个各转轴互相平行，且旋翼升力的作用点与质心同平面的刚体，并忽略其它硬件对参数的影响。若存在陀螺安装误差角δη，根据(2-8)可以得到四旋翼飞行器在机体坐标系中的惯性矩阵，表示为如下形式：对四旋翼飞行器机体应用动量矩定理和哥氏定理，可以得到四旋翼飞行器的姿态动力学方程：(2-9)其中τ为四旋翼飞行器机体所受到的合力矩，ω为机体相对于地面坐标系的运动角速度，其中合力矩的表达式为：(2-10)其中，τr为旋翼升力力矩；τg为机体姿态改变引起旋转轴方位变化时转子的抗阻力矩，我们将其称为陀螺力矩；τd为干扰力矩。设机体所受合外力为f，总质量为m，质心速度为v，四旋翼飞行器平动部分的动力学方程可以由牛顿第二定律算如下：(2-11)合外力f由三部分组成：(2-12)其中，fr为旋翼升力；mg为重力；fd为机体受到的干扰力。综上所述，四旋翼飞行器的动力学模型可以用式(2-13)的形式描述：(2-13)由坐标系间的转换关系，计算fr在地面坐标系中的坐标表示fre：(2-14)设重力加速度大小为g，在地面坐标系中有重力项：(2-15)设干扰力在地面坐标系中的坐标表示为fde=(fdx，fdy，fdz)T，且根据前面1.2节的说明，有frb=(0，fr，0)T。式(2-13)中的前两个平动方程此时是在机体坐标系中描述的，我们将这两个方程投影到地面坐标系并整理，最终得到：(2-16)设Jr为每个旋翼和对应电机转子的转动惯量，可以得到四个旋翼总的动量矩Hr在机体坐标系中的坐标表示为：其中：(2-17)由向量的叉乘运算关系，得到旋翼陀螺力矩的表达式为：(2-17)此时将动力学模型(2-13)中的后两个转动方程投影到机体坐标系。因为δη很小，因此将其作为不确定性处理，整理得到转动模型为：(2-18)其中由于安装误差引起的不确定性表达式如(2-19)所示：(2-19)综上所述，四旋翼飞行器模型(2-13)展开后的表达式为：(2-20)至此，我们建立了四旋翼飞行器完整的数学模型，并且此模型的设计过程考虑了实际飞行器装配时陀螺仪的安装误差、实际飞行环境中广泛存在的气动干扰和陀螺力矩干扰，完整的动力学模型由式(2-19)和(2-20)共同描述。1.5小结本章从最简单的旋翼入手，首先