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不动点定理在数学分析方面的应用案例1证明数学分析中存在性定理定理[9]设是完备的度量空间，是上的一个可微函数，且满足条件:，，则在上有唯一的不动点.证明，所以，映射是压缩映射，根据巴拿赫不动点定理可得，在完备度量空间上，存在唯一的不动点.2证明隐函数存在定理定理[4]设函数在带状域中每一处都连续，且处处都有关于的偏导数.若还存在两个常数和，满足条件：.那么，方程在闭区间上必然有唯一的连续函数作为它的解：证明在完备的空间中，作映射，使得对于任意的函数，有.根据定理的条件知，函数是连续的，则也是连续的，即.所以，是到自身的映射.下证是一个压缩映射.任意选取，由微分中值定理知，存在，满足：.因为，所以不妨令，则有，并且.根据中关于距离的定义，可知.所以，是压缩映射.根据巴拿赫不动点定理知，存在唯一满足，即.也就是说，,,得证.3证明区间套定理区间套定理[10]：如果闭区间列满足下列条件：，则存在唯一，使得，证明根据条件，不妨设闭区间列中的任意两个区间都不完全重合，且闭区间显然依距离构成完备的度量空间.构造映射则对任意，都有，于是是到自身的映射.对任意的，有，令，因为，于是，从而得到，且，所以.因此，是到自身的映射.由巴拿赫不动点定理可知，在上存在唯一的不动点，即存在，使得，又，所以存在，假设还存在另外一个，有则有，所以因此，定理得证.4数列极限问题中的应用完备的度量空间中的映射一定含有不动点，巴拿赫不动点定理提供了一个求不动点的方法，即利用迭代法逐次逼近。设是一个完备的的度量空间，任意取点，作点列，它一定无限趋近于方程的解。所以，在求解数列极限问题时，可以通过压缩映射构造一个数列，该数列必收敛于不动点.如此，就将数列极限问题转化成了方程求解问题，即求不动点.例[11]证明数列收敛，并求极限.证明考察函数，选闭区间，则，并且，只需选取压缩

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