汕头市重点中学2026届高二数学第一学期期末学业质量监测试题含解析

汕头市重点中学2026届高二数学第一学期期末学业质量监测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若曲线与曲线在公共点处有公共切线，则实数（）A. B.C. D.2．已知为圆：上任意一点，则的最小值为（）A. B.C. D.3．过点，的直线的斜率等于1，则m的值为（）A.1 B.4C.1或3 D.1或44．如图所示，向量在一条直线上，且则()A. B.C. D.5．已知双曲线C：-＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1，若过原点倾斜角为的直线与双曲线C左右两支交于M、N两点，且MF1NF1，则双曲线C的离心率是（）A.2 B.C. D.6．不等式的解集为（）A. B.C. D.7．已知双曲线：（）的离心率为，则的渐近线方程为（）A. B.C. D.8．已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是()A.(－∞，0) B.C.(0,1) D.(0，＋∞)9．已知，为双曲线：的焦点，为，（其中为双曲线半焦距），与双曲线的交点，且有，则该双曲线的离心率为（）A. B.C. D.10．已知点，，则经过点且经过线段AB的中点的直线方程为（）A. B.C. D.11．已知直线l，m，平面α，β，，，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件12．设，若函数，有大于零的极值点，则A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．双曲线离心率__________.14．已知等比数列的前n项和为，且满足，则_____________15．设函数，.若对任何，，恒成立，求的取值范围______.16．秦九韶出生于普州（今资阳市安岳县），是我国南宋时期伟大的数学家，他创立的秦九韶算法历来为人称道，其本质是将一个次多项式写成个一次式相组合的形式，如可将写成，由此可得__________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知直线，，，其中与交点为P（1）求过点P且与平行的直线方程；（2）求以点P为圆心，截所得弦长为8的圆的方程18．（12分）某城市一入城交通路段限速60公里/小时，现对某时段通过该交通路段的n辆小汽车车速进行统计，并绘制成频率分布直方图（如图）.若这n辆小汽车中，速度在50~60公里小时之间的车辆有200辆.（1）求n的值；（2）估计这n辆小汽车车速的中位数；（3）根据交通法规定，小车超速在规定时速10%以内（含10%）不罚款，超过时速规定10%以上，需要罚款.试根据频率分布直方图，以频率作为概率的估计值，估计某辆小汽车在该时段通过该路段时被罚款的概率.19．（12分）已知等比数列的公比，且，的等差中项为5，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.20．（12分）已知函数，.（1）当时，求函数在区间上的最大值；（2）当时，求函数的极值.21．（12分）已知椭圆C对称中心在原点，对称轴为坐标轴，且，两点（1）求椭圆C的方程；（2）设M、N分别为椭圆与x轴负半轴、y轴负半轴的交点，P为椭圆上在第一象限内一点，直线PM与y轴交于点S，直线PN与x轴交于点T，求证：四边形MSTN的面积为定值22．（10分）已知几何体中，平面平面，是边长为4的菱形，，是直角梯形，，，且（1）求证：；（2）求平面与平面所成角的余弦值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】设公共点为，根据导数的几何意义可得出关于、的方程组，即可解得实数、的值.【详解】设公共点为，的导数为，曲线在处的切线斜率，的导数为，曲线在处的切线斜率，因为两曲线在公共点处有公共切线，所以，且，，所以，即解得，所以，解得，故选：A2、C【解析】设，则的几何意义为圆上的点和定点连线的斜率，利用直线和圆相切，即可求出的最小值；【详解】圆，它圆心是，半径为1，设，则，即，当直线和圆相切时，有，可得，，的最小值为：，故选：3、A【解析】解方程即得解.【详解】由题得.故选：A【点睛】本题主要考查斜率的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.4、D【解析】根据向量加法的三角形法则得到化简得到故答案为D5、C【解析】根据双曲线和直线的对称性，结合矩形的性质、双曲线的定义、离心率公式、余弦定理进行求解即可.【详解】设双曲线的右焦点为F2，过原点倾斜角为的直线为，设M、N分别在第三、第一象限，由双曲线和直线的对称性可知：M、N两点关于原点对称，而MF1NF1，因此四边形是矩形，而，所以是等边三角形，故，因此，因为，所以，在等腰三角形中，由余弦定理可知：，由矩形的性质可知：，由双曲线的定义可知：，故选：C【点睛】关键点睛：利用矩形的性质、双曲线的定义是解题的关键.6、A【解析】根据一元二次不等式的解法进行求解即可.【详解】，故选：A.7、A【解析】先根据双曲线的离心率得到，然后由，得，即为所求的渐近线方程，进而可得结果【详解】∵双曲线的离心率，∴又由，得，即双曲线（）的渐近线方程为，∴双曲线的渐近线方程为故选：A8、B【解析】函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切，由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点则实数a的取值范围是（0，）故选B9、B【解析】根据求得的关系，结合双曲线的定义以及勾股定理，即可求得的等量关系，再求离心率即可.【详解】根据题意，连接，作图如下：显然为直角三角形，又，又点在双曲线上，故可得，解得，由勾股定理可得：，即，即，，故双曲线的离心率为.故选：B.10、C【解析】求AB的中点坐标，根据直线所过的两点坐标求直线方程即可.【详解】由已知，AB中点为，又，∴所求直线斜率为，故直线方程为，即故选：C.11、A【解析】由题意可知，已知，，则可以推出，反之不成立.【详解】已知，，则可以推出，已知，，则不可以推出.故是的充分不必要条件.故选：A.12、B【解析】设，则，若函数在x∈R上有大于零的极值点即有正根，当有成立时，显然有，此时．由，得参数a的范围为．故选B考点：利用导数研究函数的极值二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由已知得到a，b，再利用及即可得到答案.【详解】由已知，可得，所以，所以.故答案为：14、##31.5【解析】根据等比数列通项公式，求出，代入求和公式，即可得答案.【详解】因为数列为等比数列，所以，又，所以，所以.故答案为：15、【解析】先把原不等式转化为恒成立，构造函数，利用恒成立，求出的取值范围.【详解】因为对任何，，所以对任何，，所以在上为减函数.，，所以恒成立，即对恒成立，所以，所以.即的取值范围是.故答案为：.【点睛】恒（能）成立问题求参数的取值范围：①参变分离，转化为不含参数的最值问题；②不能参变分离，直接对参数讨论，研究的单调性及最值；③特别地，个别情况下恒成立，可转换为（二者在同一处取得最值）.16、【解析】利用代入法进行求解即可.【详解】故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】（1）首先求、的交点坐标，根据的斜率，应用点斜式写出过P且与平行的直线方程；（2）根据弦心距、弦长、半径的关系求圆的半径，结合P的坐标写出圆的方程.【小问1详解】联立、得：，可得，故，又的斜率为，则过P且与平行的直线方程，∴所求直线方程为.【小问2详解】由（1），P到的距离，∴以P为圆心，截所得弦长为8的圆的半径，∴所求圆的方程为.18、（1）（2）（3）【解析】（1）根据已知条件，结合频率与频数的关系，即可求解（2）根据已知条件，结合中位数公式，即可求解（3）在这500辆小车中，有40辆超速，再结合古典概型的概率公式，即可求解【小问1详解】解：由直方图可知，速度在公里小时之间的频率为，所以，解得【小问2详解】解：设这辆小汽车车速的中位数为，则，解得小问3详解】解：由交通法则可知，小车速度在66公里小时以上需要罚款，由直方图可知，小车速度在之间有辆，由统计的有关知识，可以认为车速在公里小时之间的小车有辆，小车速度在之间有辆，故估计某辆小汽车在该时段通过该路段时被罚放的概率为19、（1）；（2）.【解析】（1）根据条件列关于首项与公比的方程组，解得结果代入等比数列通项公式即可；（2）利用错位相减法求和即可.【详解】解析：（1）由题意可得：，∴∵，∴，∴数列的通项公式为.（2）∴上述两式相减可得∴【点睛】本题考查等比数列通项公式、错位相减法求和，考查基本分析求解能力，属中档题.20、（1）2（2）当时，没有极值；当时，极大值为，极小值为.【解析】（1）当时，，可得：.，，得或，列出函数单调性表格，即可最大值；（2），令，得或，分别讨论和，即可求得的极值.【详解】（1）当时，，所以.令，得或，列表如下：-2-11+0-0+极大值极小值由于，，所以函数在区间上的最大值为2.（2），令，得或.当时，，所以函数在上单调递增，无极值.当时，列表如下：+0-0+极大值极小值函数的极大值为，极小值为.【点睛】本题主要考查根据导数求函数单调性和极值，解题关键是掌握导数求单调性的方法和极值定义，考查分析能力和计算能力，属于中档题.21、（1）（2）证明见解析【解析】（1）设椭圆方程为，利用待定系数法求得的值，即可得出答案；（2）设，，，易得，分别求出直线PM和直线PN的方程，从而可求出的坐标，再根据即可得出答案.【小问1详解】解：依题意设椭圆方程为，将，代入得，解得得，，∴所求椭圆方程为；【小问2详解】证明：设，，，，P点坐标满足，即，直线PM：，可得，直线PN：，可得，.22、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）根据菱形的性质，结合面面垂直的性质定理、线面垂直的判定定理和性质进行