广东省惠州市2026届高三第二次调研考试数学试题（含答案）

惠州市2026届高三第二次调研考试全卷满分150分，时间120分钟。注意享项：写在答题卡上。2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对写在本试卷上无效。一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分。2.已知集合A={x|x²-x-2=0},B={-2,-1,0,1,2},则A∩B=A.{-2,-1}B.{-2,1}C.{-1,2}D.{1,2}3.已知a,b∈R,则“a²=b²”是“2²=2”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.设函数f(x)=1n(2x+3)-1n(-2x+1),则f(x)A.在单调递增B.在单调递减5.我国南北朝时期的数学家祖暄提出了计算几何体体积的祖暄原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是两个同高的几何体在等高处的截面积都相等，则这两个几何体的体积相等.现有同高的三棱锥和圆锥满足祖暄原理的条件，若圆锥的侧面展开图是半径为3且圆心角为120°的扇形，由此推算三棱锥的体积为数学试题第1页，共5页A.393B.403C.4068.在△ABC中，记内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为2,9.已知正项等比数列{an}中a₁=2,a₄=2a₂+a3,设其公比为9,前n项和为Sπ,则A.q=2B.an=2”C.S₁₀<2025D.an+an+1<an+2A.双曲线C的离心率e=√3A.f(0)=-1B.f(x)f(-x)=2C.f(3)=[f(1)]³D.f(x)+f(-x)≤-212.已知向量a=(t,2),b=(2,-1),若a⊥6,则t=·14.一个盒子里装有六张卡片，分别标记有数字1,2,3,4,5,6,这六张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次，每次抽取15.(本小题满分13分)(1)求f(x)的对称中心；(2)将函数f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),所得图象16.(本小题满分15分)如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AB//DC,AB=AA₁=2,AD=DC=1,M,N分别为DD₁,B₁C的中点.(1)求证：D₁N//平面CB₁M;(2)求直线D₁N到平面CB₁M的距离；17.(本小题满分15分)市一所高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平.某体质监测中心随机抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格：123456789成绩x₁/分记x,s²分别为这10名学生体质测试成绩(2)若规定体质测试成绩低于50分为不合格，现从这10名学生中任取3名，用X表示所抽到的3名学生中体质测试成绩不合格的人数，求X的分布列及数学期望；(3)经统计，该市高中生体质测试成绩近似服从正态分布N(μ,o²),用x,s²的值分别作为μ,ø²的近似值.若监测中心计划从该市随机抽取100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间[43,82]的人数为Y,求Y的数学期望。P(μ-3σ≤ξ≤μ+3σ)=0.9973.18.(本小题满分17分)(1)求椭圆E的方程；(2)求∠F₁AF₂的角平分线所在直线l的方程；为k₂,k₃,是否存在常数λ,使得k₂+k₃-Ak₁为定值?若存在，求出λ及该定值；若不存在，请说明理由.19.(本小题满分17分)已知函数f(x)=x-1n(x+a)的最小值为0,其中a>0.(2)若对任意的x∈(0,+o)有f(x)≤kx²成立，求实数k的最小值；数学试题第5页，共5页惠州市2026届高三第二次调研考试数学参考答案与评分细则一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分。DC2.【解析】因为A={x|x²-x-2=0}={-1,2},所以M∩N={-1,2},故选C.3.【解析】由a²=b²,可得a=±b,由2⁴=2⁶,可得a=b,则“a²=b²”是“2=2⁶”的必要不充分条件，故选B.4.【解析】函数定义域为,故排除A、B,由复合函数的单调性知y=-In(-2x+1)在上单调递增，上单调递增，则f(x)=1n(2x+3)-In(-2x+1)在单调递增，故选C.5.【解析】由题意可知，几何体的体积等于圆锥的体积，圆锥的侧面展开图恰为一个半径为3的圆的三分之一，所以圆锥的底面周长为故圆锥的底面半径为1,母线为3,所以圆锥的高为 √3²-i²=2√2,则圆锥的体积,从而所求几何体的体积为故 6.【解析】抛物线的准线为1:x=-1,过A,B作准线的垂线，垂足为C,D,AB的中点为E,过E作准故选B.7.【解析】由两式相减得Sₙ+1-Sn-1=8n+4,即an+1+a=8n+4.再由两式相减得an+2-an=8(n≥2),由S₂+S₁=16,得a₂=14,故{a2n}为以14为首项，8为公差的等差数列，故a₂n=14+(n-1)×8=8n+6,高三数学答案第1页，共10页故a100=8×50+6=406,故选C.则,即B,由于),则所以sinA=sin²B+sin²C>cos²C+sin²C所以b+c的最小值为4,故选B.题号9全部正确选项9.【解析】因为a₄=2a₂+a₃,可得a₁q³=2a₁q+a₁q²,即q²-q-2=0,解得q=2或q=-1,,所以C不正确；故选ABD.B选项，设P(xo,yo),则PF·PF₂=(x₀-√3)(x₀+√3)+y。²,当yo=0时，PF·PF₂取得最小值-2,故B选项错误；C选项，由PF₁⊥PF₂,可则即kMN=2,此时直线MN:y=2x对于B,令x=0,则f(0)+f(y)·f(-y)=0,所以f(y)·f(-y)=1,即f(x)·f(-x)=1,对于D,令y=0,则f(2x)=-f²(x)<0,所以f(x)<0,则-f(x)>0,-f(-x)>0,又f(x)·f(-x)=1,f(x)+f(-x)=-[(-f(x))+(-f(-x)]≤-2√j三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.【解析】由a⊥b得a·b=0,又a=(1,2),b=(2,-1),所以a.b=2t-2=0,得t=1.所以f(a)+f(-a)=4+f(-a)=6,故f(-a)=2.所以max{a,b,c}-min{a,b,c}=3.不妨设min{a,b,c}=x,则max{显然x∈{1,2,3},d∈{0,1,2,3},所以一共有3×(3+6+6+3)=54种.故答案为：54.15.(本小题满分13分，其中第一小问5分，第二小问8分。)由三角函数的图象变换性质可………10分12分从而………………………13分…………………………13分16.(本小题满分15分，其中第一小问5分，第二小问6分，第三小问4分(2)以A为原点，AB,AD,A4所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示空间直角坐标系………6分有A(0,0,0),B(2,0,0),B₁(2,0,2),M(0,1,1)、高三数学答案第5页，共10页高三数学答案第6页，共10页故点D₁到平面CB₁M的距离即为D₁N到平面CB₁M的距离设平面CB₁M的法向量为m=(x₁,y1,z),则有取x₁=1,则有y₁=3,z=1,即m=(1,3,1),… …即点D₁到平面CB₁M的距离为………(3)设平面BB₁C₁C的法向量为n=(x₂,y₂,z₂),则有取x₂=1,则有y₂=1,z₂=0,故n=(1,1,0),………(备注：列式1分，结论1分)故平面CB₁M与平面BB₁C₁C的夹角余弦值为………………14分17.(本小题满分15分，其中第一小问2分，第二小问8分，第三小问5分。)【解析】(1)(2)因为体质测试不合格的学生有3名，所以X的可能取值为0,1,2,3.………………3分所以X的分布列为备注：每个概率1分)…X0123P高三数学答案第7页，共10页……………(3)因为x=56,所以μ=56,σ=13………………………12分故Y～B(100,0.8186)……………………14分所以E(Y)=100×0.8186=81.86………………………15分18.(本小题满分17分，其中第一小问4分，第二小问6分，第三小问7分。)【解析】(1)设椭圆方程因为椭圆E经过点A(2,3),所以……………………1分又离心率c²=a²-b²……………解得a²=16,b²=12……………………(2)【法一】Fi(-2,0),F₂(2,0),A(2,3),则直线AF₁方程为3x-4y+6=0…………5分直线AF₂方程为x=2……………………6分得2x-y-1=0或x+2y-8=0…………9分因为斜率为正，所以直线方程为2x-y-1=0………10分高三数学答案第8页，共10页【法三】设角平分线与x轴交于点K(x₀,0),则cos<AF,AK>=cos<AF₂,AK>,………5分所以……,所以,故直线1的方程为2x-y-1=0.…(3)设直线l方程为y=k₁(x-2),……11分故当λ=2时，使得k₂+k₃-λk₁恒为定值-1.…·……17分(备注：λ和定值各1分)19.(本小题满分17分，其中第一小问4分，第二小问5分，第