2026复变函数保角映射练习试卷及答案

2026复变函数保角映射练习试卷及答案考试时长：120分钟满分：100分试卷名称：2026复变函数保角映射练习试卷考核对象：数学专业本科三年级学生题型分值分布：-判断题（10题，每题2分）总分20分-单选题（10题，每题2分）总分20分-多选题（10题，每题2分）总分20分-案例分析（3题，每题6分）总分18分-论述题（2题，每题11分）总分22分总分：100分---一、判断题（每题2分，共20分）1.若函数f(z)在区域D内解析且不为常数，则f(z)在D内是保角映射。2.分式线性映射z→(az+b)/(cz+d)（其中ad-bc≠0）可以将扩充复平面映射为扩充复平面。3.线性映射z→az+b（其中a为正实数）将圆映射为圆。4.若函数f(z)在区域D内解析且导数不为零，则f(z)在D内是保角映射。5.极点与零点的辐角在分式线性映射下保持不变。6.等角映射一定是保角映射。7.球面映射将扩充复平面映射为单位球面。8.若函数f(z)在区域D内解析且f'(z)≠0，则f(z)在D内是保角映射。9.分式线性映射可以将两个点映射为另两个点。10.若函数f(z)在区域D内解析且导数不为零，则f(z)在D内是等角映射。二、单选题（每题2分，共20分）1.下列哪个映射将上半平面映射为单位圆内部？A.z→1/zB.z→z+1C.z→z/(1-z)D.z→z/(1+z)2.映射z→ez将哪个区域映射为上半平面？A.|z|<1B.0<arg(z)<πC.-π<arg(z)<πD.|z|>13.分式线性映射z→(z-1)/(z+1)将点z=1映射为？A.0B.1C.-1D.∞4.映射z→z²将哪个区域映射为上半平面？A.|z|<1B.0<arg(z)<π/2C.-π<arg(z)<πD.|z|>15.球面映射z→(2z)/(z+1)将北极点（z=∞）映射为？A.北极点B.南极点C.赤道上的点D.无限远点6.映射z→1/z将哪个区域映射为上半平面？A.|z|<1B.|z|>1C.0<arg(z)<πD.-π<arg(z)<π7.分式线性映射z→(az+b)/(cz+d)（ad-bc>0）将圆映射为？A.圆B.直线C.扩充复平面D.无限远点8.映射z→z²将点z=i映射为？A.-1B.1C.-iD.i9.等角映射f(z)满足f'(z)≠0，则f(z)将哪个区域映射为？A.同一区域B.不同区域C.直线D.圆10.映射z→ez将点z=πi映射为？A.0B.1C.-1D.∞三、多选题（每题2分，共20分）1.下列哪些映射是保角映射？A.z→z²B.z→1/zC.z→ezD.z→sin(z)2.分式线性映射z→(az+b)/(cz+d)可以将哪些区域映射为圆或直线？A.两个点映射为另两个点B.上半平面映射为圆C.单位圆映射为扩充复平面D.直线映射为圆3.映射z→z²将哪些区域映射为上半平面？A.|z|<1B.0<arg(z)<π/2C.-π<arg(z)<πD.|z|>14.球面映射有哪些性质？A.将扩充复平面映射为单位球面B.将北极点映射为北极点C.将南极点映射为南极点D.将直线映射为圆5.等角映射有哪些特点？A.保持角度不变B.导数不为零C.将圆映射为圆D.将直线映射为直线6.下列哪些映射可以将上半平面映射为单位圆内部？A.z→1/zB.z→z/(1-z)C.z→z/(1+z)D.z→z²7.分式线性映射z→(az+b)/(cz+d)可以将哪些点映射为无限远点？A.当z=-d/c时B.当z=∞时C.当z=-b/a时D.当z=∞时8.映射z→z²将哪些点映射为实数？A.z=1B.z=-1C.z=iD.z=-i9.球面映射z→(2z)/(z+1)有哪些性质？A.将北极点映射为北极点B.将南极点映射为南极点C.将赤道上的点映射为无限远点D.将扩充复平面映射为单位球面10.等角映射f(z)满足f'(z)≠0，则f(z)将哪些区域映射为？A.同一区域B.不同区域C.直线D.圆四、案例分析（每题6分，共18分）1.设函数f(z)=z²在区域D:|z|<1内解析，求f(z)将区域D映射为何种区域？并说明理由。2.分式线性映射f(z)=(2z+3)/(z-1)将点z₁=1映射为z₂=2，求f(z)将点z₃=-1映射为何值？3.设函数f(z)=ez在区域D:0<arg(z)<π内解析，求f(z)将区域D映射为何种区域？并说明理由。五、论述题（每题11分，共22分）1.论述分式线性映射的性质及其在保角映射中的应用。2.论述球面映射的原理及其在复变函数中的应用。---标准答案及解析一、判断题1.错误。保角映射要求导数不为零且角度保持不变。2.正确。分式线性映射是保角映射，且将扩充复平面映射为扩充复平面。3.正确。线性映射将圆映射为圆或直线。4.正确。解析函数且导数不为零是保角映射的充要条件。5.错误。辐角在分式线性映射下不一定保持不变。6.正确。等角映射是保角映射的特殊情况。7.正确。球面映射将扩充复平面映射为单位球面。8.正确。解析函数且导数不为零是保角映射的充要条件。9.正确。分式线性映射具有保点性。10.正确。解析函数且导数不为零是等角映射的充要条件。二、单选题1.C2.B3.A4.B5.B6.B7.A8.A9.A10.B三、多选题1.ABCD2.ABCD3.AB4.ABCD5.ABCD6.ABC7.AD8.AB9.ABCD10.ABCD四、案例分析1.解析：f(z)=z²将区域D:|z|<1映射为区域D':|w|<1。理由：z²将圆|z|=1映射为|w|=1，且角度保持不变。2.解析：f(z)=(2z+3)/(z-1)将点z₁=1映射为z₂=2，即f(1)=2。令z₃=-1，则f(-1)=(2(-1)+3)/((-1)-1)=1/(-2)=-1/2。参考答案：f(-1)=-1/2。3.解析：f(z)=ez将区域D:0<arg(z)<π映射为区域D':0<arg(w)<π。理由：指数函数保持辐角不变，且将区域映射为上半平面。五、论述题1.分式线性映射的性质及其应用：-分式线性映射具有保圆性，可以将圆映射为圆或直线。-具有保点性，可以将两个点映射为另