2026复变函数共形映射技巧试卷及答案

2026复变函数共形映射技巧试卷及答案考试时长：120分钟满分：100分试卷名称：2026复变函数共形映射技巧试卷考核对象：数学专业本科三年级学生题型分值分布：-判断题（10题，每题2分）总分20分-单选题（10题，每题2分）总分20分-多选题（10题，每题2分）总分20分-案例分析（3题，每题6分）总分18分-论述题（2题，每题11分）总分22分总分：100分---一、判断题（每题2分，共20分）1.共形映射一定是保角映射，但保角映射不一定是共形映射。2.若函数f(z)在区域D内解析且不为常数，则f(z)在D内是共形映射。3.分式线性映射可以将圆周或直线映射为圆周或直线。4.罗谢定理表明，若边界上两点关于无穷远点对称，则它们在映射下的像也关于无穷远点对称。5.若函数f(z)在区域D内解析且导数不为零，则f(z)在D内是共形映射。6.等温线映射是指将区域映射为等温线的共形映射。7.若函数f(z)在区域D内解析且导数连续，则f(z)在D内是共形映射。8.儒歇定理可以用来判断在闭曲线内部是否有解。9.若函数f(z)在区域D内解析且导数不为零，则f(z)的逆映射也是共形映射。10.若函数f(z)将区域D映射为区域D'，则f(z)的导数的辐角决定了映射的方向。二、单选题（每题2分，共20分）1.下列哪个函数在复平面上处处解析？A.e^z+z^2B.sin(z)+cos(z)C.|z|D.1/z2.函数w=z^2将单位圆映射为？A.单位圆B.圆心在原点的圆C.椭圆D.双曲线3.分式线性映射w=(az+b)/(cz+d)的保圆性取决于？A.a,b,c,d的值B.a+b+c+dC.a,b,c,d的模长D.a,b,c,d的实部4.函数w=log(z)将右半平面映射为？A.上半平面B.下半平面C.整个复平面D.无界区域5.若函数f(z)在区域D内解析且导数不为零，则f(z)的逆映射将？A.D映射为自身B.D映射为D的像C.D映射为D的补集D.D映射为无穷远6.罗谢定理适用于？A.解析函数的零点判定B.解析函数的极点判定C.解析函数的边界行为D.解析函数的对称性7.函数w=sqrt(z)将单位圆映射为？A.单位圆B.圆心在原点的圆C.椭圆D.双曲线8.若函数f(z)在区域D内解析且导数连续，则f(z)的逆映射？A.一定解析B.一定不解析C.可能解析D.可能不解析9.分式线性映射w=(az+b)/(cz+d)的保对称性取决于？A.a,b,c,d的值B.a+b+c+dC.a,b,c,d的模长D.a,b,c,d的实部10.函数w=exp(z)将上半平面映射为？A.上半平面B.下半平面C.整个复平面D.无界区域三、多选题（每题2分，共20分）1.下列哪些函数在复平面上处处解析？A.e^zB.sin(z)C.|z|D.1/z2.共形映射的性质包括？A.保角性B.保距性C.保对称性D.保面积性3.分式线性映射w=(az+b)/(cz+d)可以将哪些图形映射为圆周或直线？A.圆周B.直线C.椭圆D.双曲线4.罗谢定理的应用包括？A.判断零点存在性B.判断极点存在性C.判断边界行为D.判断对称性5.函数w=z^2将哪些区域映射为对称区域？A.上半平面B.下半平面C.左半平面D.右半平面6.共形映射的逆映射的性质包括？A.一定解析B.一定不解析C.可能解析D.可能不解析7.分式线性映射w=(az+b)/(cz+d)的保对称性取决于？A.a,b,c,d的值B.a+b+c+dC.a,b,c,d的模长D.a,b,c,d的实部8.函数w=log(z)将哪些区域映射为无界区域？A.上半平面B.下半平面C.左半平面D.右半平面9.共形映射的应用包括？A.流体力学B.电学C.几何学D.物理学10.函数w=exp(z)将哪些区域映射为对称区域？A.上半平面B.下半平面C.左半平面D.右半平面四、案例分析（每题6分，共18分）1.证明函数w=z+1/z在单位圆内是共形映射。2.求函数w=z/(1-z)将单位圆映射为哪个区域，并说明理由。3.设计一个分式线性映射将上半平面映射为单位圆，并验证其保角性。五、论述题（每题11分，共22分）1.论述共形映射在流体力学中的应用，并举例说明。2.详细解释罗谢定理的内容及其应用，并举例说明。---标准答案及解析一、判断题1.错误。共形映射一定是保角映射，但保角映射不一定是共形映射，因为共形映射还要求导数不为零。2.正确。解析函数且导数不为零的函数是共形映射。3.正确。分式线性映射具有保圆周和直线的性质。4.正确。罗谢定理表明，若边界上两点关于无穷远点对称，则它们在映射下的像也关于无穷远点对称。5.正确。解析函数且导数不为零的函数是共形映射。6.错误。等温线映射是指将区域映射为等温线的映射，不一定是共形映射。7.错误。解析函数且导数连续的函数不一定是共形映射，因为共形映射还要求导数不为零。8.正确。儒歇定理可以用来判断在闭曲线内部是否有解。9.正确。解析函数且导数不为零的函数的逆映射也是共形映射。10.正确。导数的辐角决定了映射的方向。二、单选题1.B.sin(z)+cos(z)解析：e^z,sin(z),cos(z)在复平面上处处解析；|z|不解析；1/z在z=0不解析。2.B.圆心在原点的圆解析：z^2将单位圆映射为圆心在原点的圆。3.A.a,b,c,d的值解析：分式线性映射的保圆性取决于a,b,c,d的值。4.A.上半平面解析：log(z)将右半平面映射为上半平面。5.A.D映射为自身解析：解析函数且导数不为零的函数的逆映射将D映射为自身。6.A.解析函数的零点判定解析：罗谢定理用于判断解析函数的零点存在性。7.B.圆心在原点的圆解析：sqrt(z)将单位圆映射为圆心在原点的圆。8.C.可能解析解析：解析函数且导数连续的函数的逆映射可能解析。9.A.a,b,c,d的值解析：分式线性映射的保对称性取决于a,b,c,d的值。10.A.上半平面解析：exp(z)将上半平面映射为上半平面。三、多选题1.A.e^z,B.sin(z)解析：e^z,sin(z)在复平面上处处解析；|z|不解析；1/z在z=0不解析。2.A.保角性,C.保对称性解析：共形映射具有保角性和保对称性，但不一定保距和保面积。3.A.圆周,B.直线解析：分式线性映射可以将圆周或直线映射为圆周或直线。4.A.判断零点存在性,C.判断边界行为解析：罗谢定理用于判断零点存在性和边界行为。5.A.上半平面,C.左半平面解析：z^2将上半平面和左半平面映射为对称区域。6.A.一定解析,C.可能解析解析：解析函数且导数不为零的函数的逆映射一定解析，但解析函数且导数连续的函数的逆映射可能解析。7.A.a,b,c,d的值解析：分式线性映射的保对称性取决于a,b,c,d的值。8.A.上半平面,C.左半平面解析：log(z)将上半平面和左半平面映射为无界区域。9.A.流体力学,B.电学,C.几何学解析：共形映射在流体力学、电学和几何学中有广泛应用。10.A.上半平面,C.左半平面解析：exp(z)将上半平面和左半平面映射为对称区域。四、案例分析1.证明函数w=z+1/z在单位圆内是共形映射。解析：在单位圆内，z=re^(iθ)，其中0<r<1。w=z+1/z=re^(iθ)+1/re^(iθ)=re^(iθ)+e^(-iθ)/r=re^(iθ)+e^(-iθ)/r=rcosθ+irsinθ+(cosθ-isinθ)/r=(r+1/r)cosθ+i(r-1/r)sinθ。导数dw/dz=1-z^2/|z|^3=1-z^2在单位圆内不为零，因此w=z+1/z在单位圆内是共形映射。2.求函数w=z/(1-z)将单位圆映射为哪个区域，并说明理由。解析：令z=re^(iθ)，则w=re^(iθ)/(1-re^(iθ))。当r=1时，w=e^(iθ)/(1-e^(iθ))，其模长为1，因此单位圆映射为圆周。当r<1时，w=re^(iθ)/(1-re^(iθ))，其模长小于1，因此单位圆映射为圆心在原点的圆。3.设计一个分式线性映射将上半平面映射为单位圆，并验证其保角性。解析：令w=(z-i)/(z+i)，则上半平面映射为单位圆。导数dw/dz=(z+i)^2-(z-i)^2/((z+i)^2)=4i/(z+i)^2在上半平面不为零，因此w=(z-i)/(z+i)是共形映射。五、论述题1.论述共形映射在流体力学中的应用，并举例说明。解析：共形映射在流体力学中用于将复