2026复变函数基础测试卷及答案

2026复变函数基础测试卷及答案考试时长：120分钟满分：100分2026复变函数基础测试卷及答案考核对象：数学专业本科生、相关专业从业者题型分值分布：-单选题（10题，每题2分，共20分）-填空题（10题，每题2分，共20分）-判断题（10题，每题2分，共20分）-简答题（3题，每题4分，共12分）-应用题（2题，每题9分，共18分）总分：100分一、单选题（每题2分，共20分）1.函数$f(z)=\frac{1}{z-1}$在$z=0$处的留数是（）A.1B.-1C.0D.22.设$f(z)=\sinz+\cosz$，则$f(z)$在$z=0$处的泰勒级数展开式中$\frac{1}{3!}$项的系数是（）A.0B.1C.$\frac{1}{6}$D.$-\frac{1}{6}$3.函数$f(z)=\frac{z^2-1}{z(z-1)}$在$z=0$处的极点阶数是（）A.0B.1C.2D.无极点4.沿正向闭曲线$|z|=2$积分$\oint_{|z|=2}\frac{dz}{z^2+1}$的值是（）A.$2\pii$B.$0$C.$4\pii$D.$-\pii$5.函数$f(z)=z^2$在$z=1$处的导数$f'(1)$等于（）A.1B.2C.4D.06.设$f(z)$在区域$D$内解析，且$f(z)\neq0$，则$\frac{1}{f(z)}$在$D$内（）A.解析B.不解析C.可能解析D.无意义7.函数$f(z)=\ln(1+z)$在$z=-1$处的罗朗级数展开式中$\frac{1}{z^2}$项的系数是（）A.1B.-1C.$\frac{1}{2}$D.08.沿正向曲线$|z|=1$积分$\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z}dz$的值是（）A.$2\pii$B.$0$C.$2\pie^i$D.$-2\pii$9.函数$f(z)=\frac{1}{(z-1)^2}$在$z=0$处的泰勒级数展开式中，$z^3$项的系数是（）A.0B.1C.$-\frac{1}{3!}$D.$\frac{1}{2!}$10.设$f(z)$在$z_0$处解析，且$f(z_0)\neq0$，则$\frac{1}{f(z)}$在$z_0$处（）A.解析B.不解析C.可能解析D.无意义二、填空题（每题2分，共20分）1.函数$f(z)=\frac{z^2+1}{z-1}$在$z=1$处的留数是________。2.函数$f(z)=\sinz$的泰勒级数展开式中$z^5$项的系数是________。3.函数$f(z)=\frac{1}{z(z-1)}$在$z=0$和$z=1$处的极点分别是________和________。4.沿正向闭曲线$|z|=3$积分$\oint_{|z|=3}\frac{z^2+1}{z(z-2)}dz$的值是________。5.函数$f(z)=z^3$在$z=2$处的导数$f'(2)$等于________。6.设$f(z)$在区域$D$内解析，且$f(z)\neq0$，则$\frac{1}{f(z)}$在$D$内________。7.函数$f(z)=\ln(1+z)$在$z=-1$处的罗朗级数展开式中$\frac{1}{z}$项的系数是________。8.沿正向曲线$|z|=1$积分$\oint_{|z|=1}\frac{z^2+1}{z}dz$的值是________。9.函数$f(z)=\frac{1}{(z+1)^3}$在$z=0$处的泰勒级数展开式中，$z^2$项的系数是________。10.设$f(z)$在$z_0$处解析，且$f(z_0)\neq0$，则$\frac{1}{f(z)}$在$z_0$处________。三、判断题（每题2分，共20分）1.函数$f(z)=\frac{1}{z^2}$在$z=0$处有二级极点。（）2.函数$f(z)=\sinz$的泰勒级数展开式在复平面上处处收敛。（）3.设$f(z)$在$z_0$处解析，则$f(z)$在$z_0$附近可以展开为泰勒级数。（）4.沿正向闭曲线$|z|=1$积分$\oint_{|z|=1}\frac{1}{z^2}dz$的值是$2\pii$。（）5.函数$f(z)=\frac{1}{z(z-1)}$在$z=0$和$z=1$处的留数分别是1和-1。（）6.函数$f(z)=\ln(1+z)$在$z=-1$处的罗朗级数展开式存在。（）7.设$f(z)$在区域$D$内解析，且$f(z)\neq0$，则$\frac{1}{f(z)}$在$D$内解析。（）8.函数$f(z)=z^2$在$z=0$处的导数$f'(0)$等于0。（）9.沿正向曲线$|z|=2$积分$\oint_{|z|=2}\frac{1}{z^2+1}dz$的值是$0$。（）10.设$f(z)$在$z_0$处解析，且$f(z_0)\neq0$，则$\frac{1}{f(z)}$在$z_0$处解析。（）四、简答题（每题4分，共12分）1.简述解析函数的定义及其与可微函数的关系。2.解释什么是函数的留数，并说明留数定理的应用。3.说明泰勒级数展开式的收敛半径如何确定。五、应用题（每题9分，共18分）1.计算沿正向闭曲线$|z|=2$积分$\oint_{|z|=2}\frac{z^2+1}{z(z-1)}dz$的值，并说明计算过程。2.设函数$f(z)=\frac{z^2-1}{z(z-1)}$，求其在$z=0$和$z=1$处的留数，并验证留数定理。---标准答案及解析一、单选题1.B解析：$f(z)=\frac{1}{z-1}$在$z=0$处的留数为$\text{Res}(f,0)=\lim_{z\to0}(z-1)f(z)=\lim_{z\to0}\frac{1}{z}=-1$。2.D解析：$\sinz=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nz^{2n+1}}{(2n+1)!}$，$\cosz=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nz^{2n}}{(2n)!}$，则$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nz^{2n+1}}{(2n+1)!}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nz^{2n}}{(2n)!}$，$\frac{1}{3!}$项为$\frac{-1}{6}z^3$，系数为$-\frac{1}{6}$。3.B解析：$f(z)=\frac{z^2-1}{z(z-1)}=\frac{z+1}{z}$，$z=0$处为一级极点。4.A解析：$\frac{1}{z^2+1}=\frac{1}{(z-i)(z+i)}$，$z=i$在$|z|=2$内，$\text{Res}(f,i)=\lim_{z\toi}(z-i)\frac{1}{(z-i)(z+i)}=\frac{1}{2i}$，$\oint_{|z|=2}\frac{1}{z^2+1}dz=2\pii\cdot\frac{1}{2i}=2\pii$。5.C解析：$f'(z)=2z$，$f'(1)=2\cdot1=4$。6.A解析：$f(z)$解析，$\frac{1}{f(z)}$解析。7.B解析：$\ln(1+z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}z^n}{n}$，$\frac{1}{z^2}$项为$-\frac{1}{z^2}$，系数为-1。8.A解析：$\frac{e^z}{z}$在$z=0$处有奇点，$\text{Res}(f,0)=e^0=1$，$\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z}dz=2\pii\cdot1=2\pii$。9.A解析：$\frac{1}{(z-1)^2}$在$z=0$处展开为$\frac{1}{(1-z)^2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)z^n$，$z^3$项系数为4，但原函数为$\frac{1}{(z+1)^2}$，展开为$\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n(n+1)z^n$，$z^3$项系数为-4，系数为0。10.A解析：$f(z)$解析，$\frac{1}{f(z)}$解析。二、填空题1.1解析：$\text{Res}(f,1)=\lim_{z\to1}(z-1)f(z)=\lim_{z\to1}\frac{z^2+1}{z}=\frac{2}{1}=2$。2.$\frac{5}{24}$解析：$\sinz=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nz^{2n+1}}{(2n+1)!}$，$z^5$项系数为$\frac{-1}{5!}=-\frac{1}{120}$。3.一级极点，一级极点解析：$z=0$和$z=1$处分母为0，均为一级极点。4.$4\pii$解析：$z=2$在$|z|=3$内，$\text{Res}(f,2)=\lim_{z\to2}(z-2)\frac{z^2+1}{z(z-2)}=\frac{5}{2}$，$\oint_{|z|=3}\frac{z^2+1}{z(z-2)}dz=2\pii\cdot\frac{5}{2}=5\pii$。5.12解析：$f'(z)=3z^2$，$f'(2)=3\cdot2^2=12$。6.解析解析：$f(z)$解析，$\frac{1}{f(z)}$解析。7.-1解析：$\ln(1+z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}z^n}{n}$，$\frac{1}{z}$项系数为-1。8.$2\pii$解析：$\frac{z^2+1}{z}=z+\frac{1}{z}$，$\frac{1}{z}$项在$z=0$处留数为1，$\oint_{|z|=1}\frac{1}{z}dz=2\pii$。9.0解析：$\frac{1}{(z+1)^3}$在$z=0$处展开为$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nn(n-1)(n-2)z^n}{3!}$，$z^2$项系数为0。10.解析解析：$f(z)$解析，$\frac{1}{f(z)}$解析。三、判断题1.正确解析：$\frac{1}{z^2}$在$z=0$处为二级极点。2.正确解析：$\sinz$的泰勒级数在复平面上处处收敛。3.正确解析：解析函数可以展开为泰勒级数。4.错误解析：$\frac{1}{z^2}$在$z=0$处留数为0，积分值为0。5.正确解析：$\text{Res}(f,0)=\lim_{z\to0}z\frac{1}{z(z-1)}=-1$，$\text{Res}(f,1)=\lim_{z\to1}(z-1)\frac{1}{z(z-1)}=\frac{1}{1}=1$。6.正确解析：$\ln(1+z)$在$z=-1$处可以展开为罗朗级数。7.正确解析：$f(z)$解析，$\frac{1}{f(z)}$解析。8.错误解析：$f'(z)=2z$，$f'(0)=0$。9.错误解析：$z=i$在$|z|=2$内，$\text{Res}(f,i)=\frac{1}{2i}$，积分值为$2\pii\cdot\frac{1}{2i}=\pi$。10.正确解析：$f(z)$解析，$\frac{1}{f(z)}$解析。四、简答题1.解析函数的定义：在区域$D$内处处解析的函数$f(z)$，满足柯西-黎曼方程且偏导数连续。可微函数不一定解析，但解析函数一定可微。2.留数的定义：函数$f(z)$在孤立奇点$z_0$处的留数是$\text{Res}(f,z_0)=\lim_{z\toz_0}(z-z_0)f(z)$。留数定理：沿正向闭曲线积分$\oint_{\gamma}f(z)dz=2\pii\sum\text{Res}(f,z_k)$，其中$z_k$为$\gamma$内的孤立奇点。3.泰勒级数展开式的收敛半径：$R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}$，