2026复变函数级数展开测试试卷及答案

2026复变函数级数展开测试试卷及答案考试时长：120分钟满分：100分试卷名称：2026复变函数级数展开测试试卷考核对象：数学专业本科生题型分值分布：-判断题（10题，每题2分）总分20分-单选题（10题，每题2分）总分20分-多选题（10题，每题2分）总分20分-案例分析（3题，每题6分）总分18分-论述题（2题，每题11分）总分22分总分：100分---一、判断题（每题2分，共20分）1.若复数序列{z_n}收敛于z_0，则其任一子序列也收敛于z_0。2.所有解析函数的泰勒级数在收敛圆内绝对收敛且一致收敛。3.罗朗级数展开式的收敛域一定是环域。4.若f(z)在区域D内解析，则f(z)的泰勒级数在D内任意闭子区域上均一致收敛。5.级数∑a_nz^n在z=1处收敛，则在|z|<1内绝对收敛。6.若f(z)在z_0处解析，则f(z)在z_0的去心邻域内可展开为罗朗级数。7.级数∑a_nz^n的收敛半径R由公式R=1/limsup|a_n|^(1/n)确定。8.所有解析函数的导数仍为解析函数，且其导数也可展开为相应的泰勒级数。9.若f(z)在|z|<1内解析且f(0)=0，则f(z)可唯一表示为z乘以它的泰勒级数。10.罗朗级数展开式的系数a_n可通过积分公式a_n=(1/2πi)∮_γf(z)/(z-(z_0)^n+1)πdζ确定。二、单选题（每题2分，共20分）1.函数f(z)=z/(z^2+1)在z=1处的泰勒级数展开的收敛半径为（）。A.1B.2C.√2D.∞2.函数f(z)=1/(1-z)在z=-1处的罗朗级数展开式中，a_3的值为（）。A.-1B.1C.-3D.33.若f(z)=∑a_n(z-2)^n在|z-2|<3内收敛，则f(z)在z=1处的值等于（）。A.∑a_n(-1)^nB.∑a_n(1)^nC.∑a_n(-3)^nD.∑a_n(3)^n4.函数f(z)=e^z在z=0处的泰勒级数展开式中，a_5的值为（）。A.1B.5!C.0D.1/5!5.若f(z)=∑a_nz^n在|z|<1内收敛，则f(z)在z=-1处的值等于（）。A.∑a_n(-1)^nB.∑a_n(1)^nC.∑a_n(-2)^nD.∑a_n(2)^n6.函数f(z)=1/(z^2-1)在z=2处的罗朗级数展开式中，a_1的值为（）。A.-1/3B.1/3C.-1/5D.1/57.若f(z)=∑a_n(z+1)^n在|z+1|<2内收敛，则f(z)在z=0处的值等于（）。A.∑a_n(-1)^nB.∑a_n(1)^nC.∑a_n(-2)^nD.∑a_n(2)^n8.函数f(z)=sin(z)在z=π处的泰勒级数展开式中，a_4的值为（）。A.0B.-1C.1D.-1/69.若f(z)=∑a_n(z-1)^n在|z-1|<1内收敛，则f(z)在z=2处的值等于（）。A.∑a_n(1)^nB.∑a_n(-1)^nC.∑a_n(1)^nD.∑a_n(-1)^n10.函数f(z)=1/(z-1)^2在z=2处的罗朗级数展开式中，a_0的值为（）。A.1B.-1C.1/1D.-1/1三、多选题（每题2分，共20分）1.下列函数中，在|z|<1内解析的有（）。A.1/(1+z^2)B.1/(1-z)C.z/(z^2+1)D.1/(z-1)2.罗朗级数展开式的收敛域可以是（）。A.环域B.单点C.球域D.无界区域3.下列关于泰勒级数的说法正确的有（）。A.解析函数的泰勒级数在收敛圆内绝对收敛B.泰勒级数的收敛半径由函数的奇点决定C.泰勒级数的系数a_n可通过积分公式计算D.泰勒级数的收敛半径可以是0或∞4.下列函数中，在|z|<1内可展开为泰勒级数的有（）。A.e^zB.sin(z)C.log(1+z)D.1/(1+z^2)5.罗朗级数展开式的系数a_n可通过以下方式计算的有（）。A.∮_γf(z)/(z-(z_0)^n+1)πdζB.a_n=(1/n!)f^(n)(z_0)C.a_n=(1/(2πi))∮_γf(ζ)/(ζ-(z_0)^n+1)πdζD.a_n=(1/(nπi))∮_γf(ζ)/(ζ-(z_0)^n+1)πdζ6.下列关于解析函数的说法正确的有（）。A.解析函数的导数仍为解析函数B.解析函数的泰勒级数展开唯一C.解析函数的罗朗级数展开唯一D.解析函数的泰勒级数展开不唯一7.下列函数中，在|z|<1内可展开为罗朗级数的有（）。A.1/(1-z)^2B.1/(z-1)C.z/(z^2+1)D.1/(1+z)8.罗朗级数展开式的收敛域可以是（）。A.环域B.单点C.球域D.无界区域9.下列关于泰勒级数的说法正确的有（）。A.解析函数的泰勒级数在收敛圆内绝对收敛B.泰勒级数的收敛半径由函数的奇点决定C.泰勒级数的系数a_n可通过积分公式计算D.泰勒级数的收敛半径可以是0或∞10.下列函数中，在|z|<1内可展开为泰勒级数的有（）。A.e^zB.sin(z)C.log(1+z)D.1/(1+z^2)四、案例分析（每题6分，共18分）1.函数f(z)=1/(z^2+1)在|z|<1内展开为泰勒级数，求展开式中a_3的值。2.函数f(z)=1/(z-1)^2在|z-2|<1内展开为罗朗级数，求展开式中a_0和a_1的值。3.函数f(z)=e^z在|z+1|<2内展开为泰勒级数，求展开式中a_4的值。五、论述题（每题11分，共22分）1.论述解析函数的泰勒级数展开的唯一性及其在复变函数研究中的意义。2.论述罗朗级数展开式的收敛域及其在解析函数研究中的应用。---标准答案及解析一、判断题1.√2.×（泰勒级数在收敛圆内绝对收敛，但不一定一致收敛）3.√4.√5.×（条件不足，需补充绝对收敛条件）6.√7.√8.√9.√10.√二、单选题1.C2.A3.A4.D5.A6.B7.A8.A9.B10.A三、多选题1.AB2.AC3.ABCD4.ABCD5.AC6.ABC7.AD8.AC9.ABCD10.ABCD四、案例分析1.解析：f(z)=1/(z^2+1)=1/(1-(z^2))=∑(z^2)^n=∑z^(2n)，a_3=0。2.解析：f(z)=1/(z-1)^2在|z-2|<1内展开为罗朗级数，令z-1=t，则f(z)=1/t^2，展开为t的幂级数，再代回z-1=t。a_0=1，a_1=-2。3.解析：f(z)=e^z在|z+1|<2内展开为泰勒级数，令z=-1+t，则f(z)=e^(-1+t)=e^(-1)∑e^t^(n)=e^(-1)∑(t^n/n!)，a_4=e^(-1)/4!=1/24e^(-1)。五、论述题1.解析：解析函数的泰勒级数展开唯一性源于解析函数的无限可微性。若f(z)在z_0处解析，则其泰勒级数展开式为唯一，且在收敛圆内与f(z)完全