2026复变函数解析延拓练习试卷及答案

2026复变函数解析延拓练习试卷及答案考试时长：120分钟满分：100分试卷名称：2026复变函数解析延拓练习试卷考核对象：数学专业本科二年级学生题型分值分布：-判断题（10题，每题2分）总分20分-单选题（10题，每题2分）总分20分-多选题（10题，每题2分）总分20分-简答题（3题，每题4分）总分12分-应用题（2题，每题9分）总分18分总分：100分---一、判断题（每题2分，共20分）1.解析函数的导数仍然是解析函数。2.如果函数在区域D内解析且不为常数，则其模不能在D内达到最大值。3.解析函数的实部和虚部满足Cauchy-Riemann方程。4.解析延拓只能在已定义的解析区域内进行。5.如果函数在闭区域上解析且连续，则其沿边界积分恒为零。6.所有整函数都是解析函数。7.解析函数的Laurent级数展开式中负幂项的系数与孤立奇点的阶数有关。8.如果函数在扩充复平面上除有限个点外解析，则其可以解析延拓到全平面。9.解析函数的积分路径可以任意改变，只要起点和终点不变。10.如果函数在区域D内解析，则其模的梯度方向与Cauchy-Riemann方程的向量场方向垂直。二、单选题（每题2分，共20分）1.函数f(z)=z^2+2z+3在z=1处的导数为（）A.4B.5C.6D.72.函数f(z)=e^z在z=0处的Laurent级数展开式中，-2z的系数为（）A.1B.-1C.2D.-23.函数f(z)=1/(z-1)在z=2处的留数为（）A.1B.-1C.1/2D.-1/24.函数f(z)=z/(z^2+1)在z=i处的留数为（）A.1/2B.-1/2C.1D.-15.函数f(z)=sin(z)在z=π处的值为（）A.0B.1C.-1D.i6.函数f(z)=z^2在z=1处的Taylor级数展开式中，z^3项的系数为（）A.1B.2C.3D.47.函数f(z)=1/(z(z-1))在z=0处的留数为（）A.1B.-1C.1/2D.-1/28.函数f(z)=z^2+1在z=1处的解析延拓到z=2的结果为（）A.5B.6C.7D.89.函数f(z)=e^z在z=0处的Laurent级数展开式中，z^2项的系数为（）A.1B.-1C.1/2D.-1/210.函数f(z)=1/(z^2+1)在z=i处的留数为（）A.1/2B.-1/2C.1D.-1三、多选题（每题2分，共20分）1.下列函数中，在z=0处解析的有（）A.f(z)=z^2+1B.f(z)=1/zC.f(z)=sin(z)D.f(z)=e^z2.下列函数中，在z=1处有孤立奇点的有（）A.f(z)=1/(z-1)B.f(z)=z/(z-1)C.f(z)=1/(z^2-1)D.f(z)=z^23.下列关于解析函数的描述正确的有（）A.解析函数的实部和虚部满足Cauchy-Riemann方程B.解析函数的积分路径可以任意改变C.解析函数的模不能在区域内部达到最大值D.解析函数的导数仍然是解析函数4.下列关于Laurent级数的描述正确的有（）A.Laurent级数可以包含正幂项和负幂项B.Laurent级数展开式的负幂项系数与孤立奇点的阶数有关C.Laurent级数只适用于解析函数D.Laurent级数展开式在收敛圆内唯一5.下列关于留数的描述正确的有（）A.留数定理可以用于计算积分B.留数是解析函数在孤立奇点处的局部性质C.留数的计算与积分路径无关D.留数定理只适用于单值函数6.下列关于解析延拓的描述正确的有（）A.解析延拓只能在已定义的解析区域内进行B.解析延拓可以扩展函数的定义域C.解析延拓不改变函数的解析性质D.解析延拓的结果唯一7.下列关于Cauchy积分定理的描述正确的有（）A.如果函数在闭区域上解析且连续，则其沿边界积分恒为零B.Cauchy积分定理只适用于单连通区域C.Cauchy积分定理可以推广到多连通区域D.Cauchy积分定理与留数定理无关8.下列关于Taylor级数的描述正确的有（）A.Taylor级数是函数在一点的幂级数展开式B.Taylor级数只适用于解析函数C.Taylor级数展开式在收敛圆内唯一D.Taylor级数展开式可以包含负幂项9.下列关于整函数的描述正确的有（）A.整函数是在全平面上解析的函数B.整函数的Laurent级数展开式中没有负幂项C.整函数的系数由其Taylor级数唯一确定D.整函数的模不能在无穷远处达到最大值10.下列关于解析函数的积分的描述正确的有（）A.解析函数的积分路径可以任意改变B.解析函数的积分值只与起点和终点有关C.解析函数的积分值与路径无关D.解析函数的积分值可以由留数定理计算四、简答题（每题4分，共12分）1.简述解析函数的Cauchy-Riemann方程及其物理意义。2.解释什么是孤立奇点，并举例说明不同类型的孤立奇点。3.简述解析延拓的条件和意义。五、应用题（每题9分，共18分）1.计算函数f(z)=1/(z^2+1)在z=i处的留数，并利用留数定理计算∮_Cf(z)dz，其中C是圆周|z|=2。2.将函数f(z)=z/(z^2-1)在z=1附近展开为Laurent级数，并确定其孤立奇点的类型和阶数。---标准答案及解析一、判断题1.√解析函数的导数仍然是解析函数，这是解析函数的基本性质。2.√根据最大模原理，解析函数的模不能在区域内部达到最大值。3.√Cauchy-Riemann方程是解析函数的必要条件。4.×解析延拓可以在不同区域之间进行，不限于已定义的解析区域。5.√根据Cauchy积分定理，如果函数在闭区域上解析且连续，则其沿边界积分恒为零。6.√整函数是全平面上的解析函数。7.√Laurent级数中的负幂项系数与孤立奇点的阶数有关。8.×如果函数在扩充复平面上除有限个点外解析，则其孤立奇点必须在无穷远。9.×解析函数的积分路径必须满足解析条件，否则积分值可能改变。10.√根据Cauchy-Riemann方程，解析函数的模的梯度方向与向量场方向垂直。二、单选题1.Bf'(z)=2z+2，z=1时，f'(1)=4。2.De^z的Laurent级数展开式为∑_{n=0}^∞z^n/n!，-2z的系数为-2。3.A1/(z-1)在z=2处的留数为1。4.Bz/(z^2+1)在z=i处的留数为-1/2。5.Asin(π)=0。6.Bz^2的Taylor级数展开式为∑_{n=0}^∞z^(2n)/n!，z^3项的系数为2。7.B1/(z(z-1))在z=0处的留数为-1。8.Az^2+1在z=2处的值为5。9.De^z的Laurent级数展开式中z^2项的系数为1/2。10.B1/(z^2+1)在z=i处的留数为-1/2。三、多选题1.A,C,Dz^2+1,sin(z),e^z在z=0处解析。2.A,B,C1/(z-1),z/(z-1),1/(z^2-1)在z=1处有孤立奇点。3.A,B,C解析函数的实部和虚部满足Cauchy-Riemann方程，积分路径可以任意改变，模不能在区域内部达到最大值。4.A,B,DLaurent级数可以包含正幂项和负幂项，负幂项系数与孤立奇点的阶数有关，Laurent级数展开式在收敛圆内唯一。5.A,B,C留数定理可以用于计算积分，留数是解析函数在孤立奇点处的局部性质，留数的计算与积分路径无关。6.B,C,D解析延拓可以扩展函数的定义域，不改变函数的解析性质，结果唯一。7.A,B,CCauchy积分定理适用于单连通区域，可以推广到多连通区域，与留数定理相关。8.A,B,CTaylor级数是函数在一点的幂级数展开式，只适用于解析函数，展开式在收敛圆内唯一。9.A,B,C整函数是全平面上的解析函数，Laurent级数中没有负幂项，系数由Taylor级数唯一确定。10.B,C,D解析函数的积分值只与起点和终点有关，与路径无关，可以由留数定理计算。四、简答题1.解析函数的Cauchy-Riemann方程为∂u/∂x=∂v/∂y，∂u/∂y=-∂v/∂x，其中u(x,y)和v(x,y)分别是解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的实部和虚部。物理意义是解析函数的梯度向量场与其实部的梯度向量场正交。2.孤立奇点是函数在复平面上某个点附近解析，但在该点不解析的点。类型包括：可去奇点（如1/(z-1)在z=1处）、极点（如1/z在z=0处）、本性奇点（如sin(1/z)在z=0处）。3.解析延拓的条件是函数在不同区域内的定义满足解析性，且在这些区域内的函数值一致。意义是扩展函数的定义域，使其在更大范围内解析。五、应用题