2026复变函数泰勒级数应用试卷及答案

2026复变函数泰勒级数应用试卷及答案考试时长：120分钟满分：100分试卷名称：2026复变函数泰勒级数应用试卷考核对象：数学专业本科三年级学生题型分值分布：-判断题（20分）-单选题（20分）-多选题（20分）-案例分析（18分）-论述题（22分）总分：100分---一、判断题（每题2分，共20分）1.泰勒级数展开式中的系数仅与函数在展开点的导数值有关。2.所有解析函数的泰勒级数在收敛圆内处处收敛。3.若函数在点z₀处解析，则它在z₀的邻域内可以展开为泰勒级数。4.洛朗级数是泰勒级数的推广，允许负幂次项存在。5.复变函数的泰勒级数展开式唯一。6.泰勒级数的收敛半径由函数的极点决定。7.解析函数的泰勒级数展开式在收敛圆内可进行逐项积分和微分。8.若函数在闭圆周上连续，则它在圆内解析。9.泰勒级数的系数可通过柯西积分公式计算。10.复变函数的泰勒级数展开式可用于近似计算函数值。二、单选题（每题2分，共20分）1.函数f(z)=ez在z₀=0处的泰勒级数展开式为（）。A.∑_{n=0}^∞z^n/n!B.∑_{n=0}^∞(-1)^nz^n/n!C.∑_{n=0}^∞z^{2n}/(2n)!D.∑_{n=0}^∞(-1)^nz^{2n}/(2n)!2.函数f(z)=1/(1-z)在z₀=0处的泰勒级数展开式收敛于（）。A.|z|<1B.|z|≤1C.|z|>1D.z≠13.函数f(z)=sinz在z₀=0处的泰勒级数展开式中的第5项为（）。A.z^4/24B.z^5/120C.-z^4/24D.-z^5/1204.函数f(z)=z/(z-1)在z₀=2处的泰勒级数展开式的收敛半径为（）。A.1B.2C.∞D.05.函数f(z)=log(1+z)在z₀=0处的泰勒级数展开式中的第3项为（）。A.z^2/2B.z^3/3C.-z^2/2D.-z^3/36.函数f(z)=ez^2在z₀=0处的泰勒级数展开式中的第4项为（）。A.z^4/24B.z^6/720C.-z^4/24D.-z^6/7207.函数f(z)=1/(z^2+1)在z₀=0处的泰勒级数展开式中的第2项为（）。A.z^2/2B.-z^2/2C.z^4/4D.-z^4/48.函数f(z)=sinhz在z₀=0处的泰勒级数展开式与sinz的展开式相同。9.函数f(z)=coshz在z₀=0处的泰勒级数展开式与cosz的展开式相同。10.函数f(z)=z^2在z₀=1处的泰勒级数展开式为（）。A.∑_{n=0}^∞(z-1)^nB.∑_{n=0}^∞(z-1)^n/n!C.∑_{n=0}^∞(z-1)^{2n}D.∑_{n=0}^∞(z-1)^{2n}/n!三、多选题（每题2分，共20分）1.下列函数中，在z₀=0处可以展开为泰勒级数的是（）。A.f(z)=1/(1+z^2)B.f(z)=ezC.f(z)=sinzD.f(z)=1/z2.泰勒级数的收敛半径R与函数的极点距离z₀的关系是（）。A.R等于z₀到最近极点的距离B.R等于z₀到最远极点的距离C.R等于z₀到可去奇点的距离D.R与极点无关3.下列关于泰勒级数的性质中，正确的是（）。A.泰勒级数在收敛圆内可逐项积分B.泰勒级数在收敛圆内可逐项微分C.泰勒级数的系数唯一D.泰勒级数的收敛半径由函数的零点决定4.函数f(z)=ez在z₀=1处的泰勒级数展开式为（）。A.∑_{n=0}^∞(z-1)^n/n!B.∑_{n=0}^∞e(z-1)^n/n!C.∑_{n=0}^∞e(z-1)^{2n}/(2n)!D.∑_{n=0}^∞e(z-1)^{2n}/(2n+1)!5.函数f(z)=sinhz在z₀=0处的泰勒级数展开式中的系数为（）。A.h^n/n!B.(-1)^nh^n/n!C.h^{2n}/(2n)!D.(-1)^nh^{2n}/(2n)!6.函数f(z)=coshz在z₀=0处的泰勒级数展开式中的系数为（）。A.h^n/n!B.(-1)^nh^n/n!C.h^{2n}/(2n)!D.(-1)^nh^{2n}/(2n)!7.函数f(z)=1/(1-z)在z₀=0处的泰勒级数展开式为（）。A.∑_{n=0}^∞z^nB.∑_{n=0}^∞(-1)^nz^nC.∑_{n=0}^∞z^{2n}D.∑_{n=0}^∞(-1)^nz^{2n}8.函数f(z)=z/(z-1)在z₀=2处的泰勒级数展开式为（）。A.∑_{n=0}^∞(-1)^n(z-2)^n/1^nB.∑_{n=0}^∞(-1)^n(z-2)^n/2^nC.∑_{n=0}^∞(z-2)^n/1^nD.∑_{n=0}^∞(z-2)^n/2^n9.函数f(z)=log(1+z)在z₀=0处的泰勒级数展开式为（）。A.∑_{n=1}^∞(-1)^{n+1}z^n/nB.∑_{n=0}^∞(-1)^nz^n/nC.∑_{n=1}^∞(-1)^{n+1}z^{n+1}/nD.∑_{n=0}^∞(-1)^nz^{n+1}/n10.函数f(z)=1/(z^2+1)在z₀=0处的泰勒级数展开式为（）。A.∑_{n=0}^∞(-1)^nz^{2n}/(2n+1)!B.∑_{n=0}^∞(-1)^nz^{2n}/(2n)!C.∑_{n=0}^∞z^{2n}/(2n+1)!D.∑_{n=0}^∞(-1)^nz^{2n}/(2n+2)!四、案例分析（每题6分，共18分）1.已知函数f(z)=ez/(z-1)，求其在z₀=0处的泰勒级数展开式，并确定其收敛半径。2.已知函数f(z)=sin(z^2)，求其在z₀=0处的泰勒级数展开式的前5项。3.已知函数f(z)=1/(z^2+4z+3)，求其在z₀=1处的泰勒级数展开式的前3项。五、论述题（每题11分，共22分）1.论述泰勒级数在复变函数中的应用，并举例说明其在近似计算中的优势。2.比较泰勒级数与洛朗级数的异同，并说明在何种情况下使用洛朗级数更合适。---标准答案及解析一、判断题1.√2.√3.√4.√5.√6.×（收敛半径由函数的奇点决定）7.√8.×（连续性不足以保证解析性）9.√（柯西积分公式可计算系数）10.√二、单选题1.A2.A3.B4.B5.B6.A7.B8.√9.√10.D三、多选题1.ABC2.AB3.ABC4.AB5.AD6.CD7.AB8.AB9.AD10.B四、案例分析1.解析：f(z)=ez/(z-1)=ez(1-z+z^2-z^3+...)=∑_{n=0}^∞e(z^{n+1}-z^n)收敛半径R=1（由z-1的极点决定）。2.解析：sin(z^2)=∑_{n=0}^∞(-1)^n(z^2)^{2n}/(2n)!=∑_{n=0}^∞(-1)^nz^{4n}/(2n)!前5项：z^0-z^4/2!+z^8/4!-z^{12}/6!+z^{16}/8!3.解析：1/(z^2+4z+3)=1/((z+1)(z+3))=1/(z+1)-1/(z+3)在z₀=1处展开：1/(z+1)=1/2-1/2(z-1)+1/4(z-1)^2-...1/(z+3)=1/4-1/4(z-1)+3/8(z-1)^2-...前3项：1/2-3/4(z-1)+5/8(z-1)^2五、论述题1.解析：泰勒级数在复变函数中用于展开解析函数，便于计算函数值、积分、微分等。例如，ez在z₀=0处的展开可近似计算ez在z接近0时的值。优势在于：-逐项可微积分，简化计算