2026复变函数微分技巧练习试卷及答案

2026复变函数微分技巧练习试卷及答案考试时长：120分钟满分：100分试卷名称：2026复变函数微分技巧练习试卷考核对象：数学专业本科生、考研备考学生题型分值分布：-判断题（10题，每题2分）总分20分-单选题（10题，每题2分）总分20分-多选题（10题，每题2分）总分20分-案例分析（3题，每题6分）总分18分-论述题（2题，每题11分）总分22分总分：100分---一、判断题（每题2分，共20分）1.若函数f(z)在区域D内解析，则f(z)在D内处处可导。2.解析函数的导函数仍为解析函数。3.若f(z)在z₀处解析，则f(z)在z₀的去心邻域内解析。4.柯西积分定理要求积分路径为封闭曲线。5.柯西积分公式适用于任意解析函数。6.解析函数的实部和虚部满足柯西-黎曼方程。7.若f(z)在z₀处解析，则沿任意路径∫f(z)dz为常数。8.解析函数的泰勒级数在收敛圆内绝对收敛。9.留数定理适用于所有复变函数。10.若f(z)在z₀处有极点，则f(z)在z₀的去心邻域内解析。二、单选题（每题2分，共20分）1.函数f(z)=z²+2z+3在z=1处的导数为（）A.4B.5C.6D.72.函数f(z)=e^z在z=0处的泰勒级数展开式中，z³项的系数为（）A.1B.0C.1/6D.1/33.函数f(z)=1/(z-1)在z=2处的留数为（）A.-1B.1C.-1/2D.1/24.柯西积分公式∫_{|z|=1}(z+1)/(z²+1)dz的值为（）A.πiB.0C.πi/2D.-πi5.函数f(z)=sin(z)在z=π处的值为（）A.0B.1C.-1D.i6.函数f(z)=z/(z²+1)在z=i处的留数为（）A.-i/2B.i/2C.-1D.17.解析函数f(z)满足f(z)=f(1/z)，则f(z)可能为（）A.z²B.z³C.1/zD.e^z8.函数f(z)=z²/(z²+1)在z=0处的洛朗级数展开式中，z项的系数为（）A.0B.1C.-1D.29.柯西积分定理要求被积函数在（）A.整个路径上解析B.路径内部解析C.路径外部解析D.路径上连续10.函数f(z)=z/(z-1)在z=1处的极点阶数为（）A.1B.2C.0D.无穷三、多选题（每题2分，共20分）1.解析函数的性质包括（）A.满足柯西-黎曼方程B.可微性C.泰勒级数收敛D.留数为零2.柯西积分公式适用于（）A.解析函数B.封闭路径C.单连通区域D.多连通区域3.函数f(z)=e^z在z=0处的泰勒级数展开式的前三项为（）A.1+z+z²/2B.1+z+z³/6C.1+z+z²/6D.1+z²/2+z³/64.留数定理可用于计算（）A.∫_{|z|=1}f(z)dzB.∫_{|z|=2}f(z)dzC.∫_{|z|=1}(z+1)/(z²+1)dzD.∫_{|z|=2}(z+1)/(z²+1)dz5.解析函数的实部和虚部满足（）A.柯西-黎曼方程B.偏导数连续C.拉普拉斯方程D.极值原理6.函数f(z)=z/(z²+1)在z=0处的洛朗级数展开式包括（）A.z²B.z⁻¹C.z⁻²D.z⁻³7.柯西积分定理的推论包括（）A.解析函数的导函数仍解析B.∫_{|z|=R}f(z)dz=0（若f(z)在内部解析）C.∫_{|z|=R}zdz=0D.∫_{|z|=R}1dz=2πi8.函数f(z)=sin(z)在z=0处的泰勒级数展开式的前三项为（）A.z-z³/6B.z+z³/6C.z-z²/2D.z+z²/29.留数的计算方法包括（）A.直接代入B.洛朗级数展开C.柯西积分公式D.极点阶数法10.解析函数的实部和虚部满足（）A.拉普拉斯方程B.偏导数连续C.极值原理D.柯西-黎曼方程四、案例分析（每题6分，共18分）1.计算积分∫_{|z|=1}(z²+2z+3)/(z-1)dz，其中f(z)在|z|=1内解析。2.已知函数f(z)=z/(z²+1)，计算其在z=i处的留数，并求∫_{|z|=2}f(z)dz。3.证明函数f(z)=e^z在z=0处解析，并求其泰勒级数展开式的前五项。五、论述题（每题11分，共22分）1.论述柯西积分定理的条件和意义，并举例说明其应用。2.比较解析函数与实变函数的可微性差异，并说明复变函数中解析性的重要性。---标准答案及解析一、判断题1.√（解析函数在区域内处处可导）2.√（解析函数的导函数仍解析）3.×（解析函数在z₀的去心邻域内解析，但z₀本身可去极点）4.√（柯西积分定理要求积分路径为封闭曲线）5.×（柯西积分公式要求被积函数在路径内部解析）6.√（解析函数的实部和虚部满足柯西-黎曼方程）7.×（沿任意路径积分值与路径无关，但非常数）8.√（解析函数的泰勒级数在收敛圆内绝对收敛）9.×（留数定理适用于解析函数在孤立奇点处的留数计算）10.×（极点处函数不解析，但去心邻域内解析）二、单选题1.B（f'(z)=2z+2，z=1时f'(1)=4）2.A（e^z的泰勒级数为1+z+z²/2!+z³/3!+…，z³项系数为1/6）3.A（留数Res(f,z=2)=lim_{z→2}(z-2)f(z)=lim_{z→2}(z-2)/(z-1)=-1）4.C（f(z)=(z+1)/(z-1)(z+1)，z=±i为极点，∫_{|z|=1}f(z)dz=πi/2）5.C（sin(π)=-1）6.A（Res(f,z=i)=lim_{z→i}(z-i)f(z)=lim_{z→i}z/(z+i)=-i/2）7.C（1/z满足f(z)=f(1/z)）8.A（f(z)=1/(z+1)-1/(z-1)，z=0时洛朗级数为1-z+z²-z³+…，z项系数为0）9.A（柯西积分定理要求被积函数在路径上解析）10.A（z/(z-1)在z=1处单极点）三、多选题1.ABC（解析函数满足柯西-黎曼方程、可微性、泰勒级数收敛）2.ABC（柯西积分公式适用于解析函数、封闭路径、单连通区域）3.AC（e^z的泰勒级数为1+z+z²/2!+z³/3!+…，前三项为1+z+z²/2）4.AD（留数定理适用于封闭路径积分，且路径内包含极点）5.AD（柯西-黎曼方程、极值原理）6.ABC（洛朗级数包含z²、z⁻¹、z⁻²）7.AB（解析函数的导函数仍解析、∫_{|z|=R}f(z)dz=0若f(z)在内部解析）8.AB（sin(z)的泰勒级数为z-z³/6+z⁵/120+…，前三项为z-z³/6）9.ABCD（留数计算方法包括直接代入、洛朗级数、柯西积分公式、极点阶数法）10.AD（柯西-黎曼方程、极值原理）四、案例分析1.解：f(z)=z²+2z+3在|z|=1内解析，∫_{|z|=1}f(z)/(z-1)dz=2πiRes(f/(z-1),z=1)=2πi(2+1)=6πi。2.解：Res(f,z=i)=lim_{z→i}(z-i)f(z)=lim_{z→i}z/(z+i)=-i/2。∫_{|z|=2}f(z)dz=2πiRes(f,z=i)=-πi。3.证明：e^z在z=0处解析，泰勒级数为1+z+z²/2!+z³/3!+z⁴/4!=