2026复变函数重点难点突破试卷及答案

2026复变函数重点难点突破试卷及答案考试时长：120分钟满分：100分试卷名称：2026复变函数重点难点突破试卷考核对象：数学专业本科二年级学生题型分值分布：-判断题（10题，每题2分）总分20分-单选题（10题，每题2分）总分20分-多选题（10题，每题2分）总分20分-简答题（3题，每题4分）总分12分-应用题（2题，每题9分）总分18分总分：100分一、判断题（每题2分，共20分）1.若函数f(z)在区域D内解析，则f(z)在D内处处可导。2.模为常数（|z|=c）的曲线是复平面上的圆。3.解析函数的实部和虚部满足柯西-黎曼方程。4.若f(z)在闭区域Ω上连续，则它在Ω上必有界。5.洛朗级数的收敛域是圆环。6.留数定理适用于所有解析函数的积分计算。7.若f(z)在z₀处有极点，则它在z₀处的洛朗展开式中负幂项有限。8.所有解析函数的导数仍是解析函数。9.若函数f(z)在z₀处解析，则它在z₀的邻域内解析。10.积分路径的起点和终点对积分值有影响。二、单选题（每题2分，共20分）1.函数f(z)=z²+2z+3在z=1处的导数为（）A.4B.5C.6D.72.函数f(z)=|z|在z=2处的导数（）A.存在且为1B.存在且为2C.不存在D.为无穷大3.函数f(z)=e^z在z=0处的泰勒级数展开式中，z³项的系数为（）A.1B.0C.1/6D.1/34.函数f(z)=1/(z-1)在z=2处的留数为（）A.1B.-1C.1/2D.-1/25.积分∮_Γ(z+1)/(z²+1)dz（Γ为|z|=1正向）的值为（）A.πiB.-πiC.0D.2πi6.函数f(z)=z/(z²+1)在z=i处的留数为（）A.1/2iB.-1/2iC.1D.-17.洛朗级数∑(n=-∞,∞)a_nz^n的收敛域为（）A.|z|<1B.|z|>1C.0<|z|<1D.所有z8.函数f(z)=sin(z)在z=0处的泰勒级数展开式中，z⁵项的系数为（）A.0B.1/120C.1/24D.-1/69.积分∮_Γz/(z²+1)dz（Γ为|z|=2正向）的值为（）A.πiB.-πiC.2πiD.010.函数f(z)=z²在z=1处的泰勒级数展开式的收敛半径为（）A.0B.1C.2D.∞三、多选题（每题2分，共20分）1.下列函数中在z=0处解析的有（）A.f(z)=z²B.f(z)=sin(z)/zC.f(z)=1/zD.f(z)=e^z2.柯西-黎曼方程的形式为（）A.u_x=v_yB.u_y=-v_xC.u_x=-v_yD.u_y=v_x3.下列关于留数的说法正确的有（）A.极点的阶数越高，留数越大B.留数定理适用于闭曲线积分C.留数可以用于计算实轴上的积分D.留数为解析函数的积分值4.洛朗级数的收敛域可以是（）A.单圆环B.球面C.双圆环D.空集5.下列关于泰勒级数的说法正确的有（）A.解析函数的泰勒级数在收敛域内绝对收敛B.泰勒级数的系数由导数唯一确定C.泰勒级数只适用于整函数D.泰勒级数的收敛半径由函数的性质决定6.积分∮_Γf(z)dz（Γ为正向闭曲线）的值为零的条件有（）A.f(z)在Γ内解析B.f(z)在Γ上连续C.f(z)在Γ内存在奇点D.f(z)在Γ上恒为零7.下列关于解析函数的性质正确的有（）A.解析函数的实部和虚部满足拉普拉斯方程B.解析函数的导数仍是解析函数C.解析函数的积分值与路径无关D.解析函数的洛朗级数与泰勒级数相同8.下列关于留数定理的应用正确的有（）A.用于计算实轴上的积分B.用于计算圆周上的积分C.用于判断函数的解析性D.用于求解微分方程9.下列关于柯西积分定理的表述正确的有（）A.解析函数在闭曲线上的积分为零B.解析函数在单连通区域上积分与路径无关C.解析函数在多连通区域上积分不为零D.柯西积分定理只适用于单变量函数10.下列关于洛朗级数的说法正确的有（）A.洛朗级数可以表示解析函数B.洛朗级数只适用于奇点附近的展开C.洛朗级数的收敛域可以是圆环D.洛朗级数的负幂项表示函数的奇异性四、简答题（每题4分，共12分）1.简述柯西积分定理的条件和结论。2.解释什么是函数的极点，并举例说明。3.说明如何利用留数定理计算实轴上的积分。五、应用题（每题9分，共18分）1.计算积分∮_Γ(z²+2z+1)/(z-1)dz，其中Γ为|z|=2正向。2.将函数f(z)=1/(z²+1)在z=i处展开为泰勒级数，并说明其收敛域。---标准答案及解析一、判断题1.√（解析函数在区域D内处处可导）2.×（模为常数的是圆，但方向不确定）3.√（柯西-黎曼方程是解析性的必要条件）4.×（连续不一定有界，如sin(1/z)在0附近无界）5.√（洛朗级数适用于圆环域）6.×（留数定理适用于解析函数的积分，需奇点在围道内）7.√（极点的洛朗展开式中负幂项有限）8.√（解析函数的导数仍是解析函数）9.√（解析函数在邻域内解析）10.√（积分值与路径无关，仅与起点和终点有关）二、单选题1.B（f'(1)=21+2=4）2.C（|z|在z=2处不可导）3.C（e^z的泰勒展开式中z³系数为1/6）4.B（留数=1/(z-1)在z=1的值=-1）5.A（留数定理，留数和为πi）6.A（留数=1/(2i)）7.C（圆环形收敛域）8.B（sin(z)的泰勒展开式中z⁵系数为1/120）9.A（留数定理，留数和为πi）10.B（收敛半径等于到最近奇点的距离）三、多选题1.ABD（z²、sin(z)/z、e^z在z=0解析）2.AB（柯西-黎曼方程的标准形式）3.BC（留数定理可用于实轴积分，留数不直接等于积分值）4.AC（单圆环和双圆环）5.ABD（泰勒级数绝对收敛，系数由导数确定，收敛半径由函数性质决定）6.AB（柯西积分定理条件）7.ABC（解析函数的实部虚部满足拉普拉斯方程，导数仍解析，积分与路径无关）8.AB（留数定理用于实轴和圆周积分）9.AB（柯西积分定理条件）10.AC（洛朗级数表示解析函数，收敛域为圆环）四、简答题1.柯西积分定理的条件和结论：-条件：函数f(z)在单连通区域D内解析，且Γ为D内一条正向简单闭曲线。-结论：∮_Γf(z)dz=0。2.函数的极点：极点是函数f(z)在z₀附近的行为类似1/(z-z₀)^m的点，其中m为正整数。例子：f(z)=1/(z-1)在z=1处有一阶极点。3.利用留数定理计算实轴积分：对于积分∫_(-∞,∞)f(x)dx，若f(x)可延拓为复变函数f(z)，且在实轴上解析，则可沿半圆弧闭合路径积分，利用留数定理计算。五、应用题1.计算积分∮_Γ(z²+2z+1)/(z-1)dz，Γ为|z|=2正向：-分母在z=1处有一阶极点，留数=1/(z-1)在z=1的值=1。-∮_Γf(z)dz=2πi留数=2πi。2.将f(z)=1/(z²+1)在z=i处展开为泰勒级数：-1