（一模）南宁市2026届普通高中毕业班高三第一次适应性测试数学试卷（含答案详解）

后附原卷扫描版南宁市2026后附原卷扫描版数学试卷 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 2026.01注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4.本试卷主要考试内容：高考全部内容。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量a=(x,1),b=(7,x-8).若a⊥b,则x=A.8 B.-1 C.7 D.12.设5m=10,5n=20,则5A.10 B.52C.25 D.53.若α∈(0,π),5cosα=4,则1sinA.3 B.13C.2912 D.-34.设随机变量X~N(1,σ²),P(|X-1|≤1)=0.6,则P(X＜0)=A.0.5 B.0.3 C.0.2 D.0.45.某学校组织研学活动，现有自然生态与地质科考、红色爱国主义教育、历史文化与文物考古、民族文化与非遗传承、蓝色海洋文化教育这5个研学方向.学校安排6名教师负责这5个方向的研学活动，若每个研学方向的研学活动都至少有1名教师负责，每名教师均需要负责且只负责其中1个研学方向的研学活动，则不同的分配方法种数为A.2400 B.1800 C.1500 D.2100 南宁市2026届普通高中毕业班第一次适应性测试(数学)第1页(共4页)6.已知sin2θ+2π3A.23 B.13 C.197.如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200m²的十字形地域.计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4200元/m²；在四个相同的矩形(图中阴影部分)上铺花岗岩地坪，造价为210元/m²；在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪，造价为80元/m².设总造价为S(单位：元)，则当总造价S最小时，AD的长度为CCA.210mC.10m D.108.已知点F-170是双曲线Cx2a2-y2b2=1a0,b＞0)的左焦点，过原点O的直线l与C交于P，Q(QA.12 B.8 C.6 D.9二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图,在几何体ABCDE中,BE=2,四边形ABCD是边长为2的正方形,△ACE是等边三角形,点F、P,H分别为棱AD,DE,CE的中点，则A.BE⊥平面ABCDB.平面FPH∥平面ABEC.B,F,P,H四点共面D.异面直线BD与AE所成的角小于60°10.已知圆C:x-12+y-22=25,直线l:(2l+1)x+(t+1)y-7A.直线l过定点D(3,1)B.直线l被圆C截得的最短弦长是25C.当点P(m,n)在圆C上时,m2+nD.设直线l与圆C的两个交点为A，B，则线段AB的中点M的轨迹为圆南宁市2026届普通高中毕业班第一次适应性测试(数学)第2页(共4页)11.定义在R上的函数f(x)满足f(-x)+f(x)=0,当x＞0时,fx=2xA.f(x)共有5个零点B.f(x)共有4个极值点C.f(-1)=3e－5eD.当∣t∣∈05e-3e时,方程f(x)=t(t三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某市十景包含扬美古风、青山塔影、明山锦绣、望仙怀古、伊岭神宫、九龙戏珠、南湖情韵、凤江绿野、邕江春泛、龙虎猴趣，每个景点都有其独特的魅力.某游客计划从这10个景点中随机选择2个景点进行游玩，则青山塔影被选中的概率是▲.13.已知直线y=x-3经过椭圆C:x22a+y14.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,C.若sin(C－A)=2sinAcosC,且a=4,则△ABC面积的最大值为▲.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.(13分)已知数列{an}的前n项和Sn=n2+pn(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=2an,数列2n16.(15分)如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为8，D为棱BC的中点，点E，F在棱.(1)证明:DE∥平面BC₁F.(2)求直线CB与平面BC₁F所成角的正切值.南宁市2026届普通高中毕业班第一次适应性测试(数学)第3页(共4页)17.(15分)已知抛物线C:y2=2px（p＞0）∣(1)求C的标准方程.(2)已知点A(7,0),O为坐标原点,直线l交C于.Px1y1,Qx（ⅰ）求|AP|的最小值;（ⅱ）若OP⋅OQ=18.(17分)已知函数h(1)求h(x)在[0,4]上的最值.(2)设函数f(x)=h(x)+(3-t)x.（ⅰ）讨论f(x)的单调性;（ⅱ）若a为f(x)的一个极值点,且f(a)=f(b),a≠b,证明2a+b为定值.19.(17分)(1)若函数fx=sinωx-π3(2)在(1)的条件下，设函数gx=tx+1-ln4x-1,试判断并证明函数h(x(3)已知(2)中g(x)的导函数.g′(x)有两个零点m，n，且n（ⅰ）求t的取值范围；（ⅱ）当a≥1时,证明:g(m)+an＞t.双击打开原卷扫描版：南宁市2026届普通高中毕业班第一次适应性测试(数学)第4页(共4页)南宁市2026届普通高中毕业班第一次适应性测试数学参考答案题序1234567891011答案DDACBABCABACABD8.C【解析】如图，设C的右焦点为F₁，连接F₁P,F₁M,F₁Q.因为∠OFP=∠OPF,所以|OP|=|OF|,所以PF⊥PF₁,易得四边形FPF₁Q是矩形,所以QF⊥QF1.设|FQ|=m(m＞0),则|∣FM∣=2m,∣PF1∣=∣FQ∣=m，根据双曲线的定义可得|∣QF1∣=2a+m,∣MF1∣=2a+2m.在△MQF₁中,MQ2+F1Q2=F1M2,即311.ABD【解析】当x＞0时,fx=4x-7+2x2-7x+8ex=2x2-3x+1ex=2x-1x-1er,当x∈(0,1/2)时,f'(x)＞0,当x∈(1/2,1)时,f'(x)＜0,当x∈(1,+∞)时,f'(x)＞0,所以f(x)在(0,1/2)上单调递增,在(1/2,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以当x＞0时,f(x)共有2个极值点.因为f(-x)+f(x)=0,所以f(x)是R上的奇函数,则f(x)共有4个极值点，由图可知∣t∣∈05e-3e时,方程f(x)=t(t∈12.15(或945或0.213.351014.16【解析】由sin(C-A)=2sinAcosC,得sinCcosA=3sinAcosC.由A+B+C=π,得sin(A+C)=sinB,则sinCcosA+sinAcosC=sinB.所以3sinAcosC+sinAcosC=sinB,即4sinAcosC=sinB.则4acosC=b,S△ABC=12absinC=12a·4当且仅当sin2C=1,即C=π/4时,△ABC的面积取得最大值,最大值为16.15.(本题15分)已知数列{an}的前n项和Sn=n2+pn,(p为常数)且a₁=8.(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=2/an,数列2n解:(1)解法一:由a₁=8及Sn=n2+pn得a1=【备注】见“p=7”给1分故当n≥2时an=S【备注】见“an=Sn-Sn-1”给2所以(an=2n+6⋯⋯⋯⋯⋯2分(6分)【备注】见“a1=2×1+6=解法二:(1)由a₁=8及Sn=n2+pn得a1=【备注】见“p=7”给1分an+1=S【备注】见‘“an+1=Sn+1-所以an=2n+6【备注】见“an=【备注】列出前几项，缺少证明过程，其中见““p=7,a₂=10,a₃=12”各给1分；见“an=(2)证明:由(1)可得bn=2【备注】至少见“bn=则bnbn+【备注】裂项公式正确，“bnbn+所以Tn=2+【备注】见“2+2=21-2【备注】至少见“21-2n1-2+14【备注】见“＜2n+16.(本题15分)如图正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱长均为8,D为棱BC的中点,点E,F在棱AA₁上,且A₁F=AE=2.(1)证明:DE∥平面BC₁F;(2)求直线CB与平面BC₁F所成角的正切值.解:(1)证明方法一:取BC₁中点H,连接DH,FH 1分【备注】见“取BC₁中点H”给1分因为D为BC中点,所以DH∥CC₁,且(C因为A₁A∥CC₁,EF=8-2-2=4,所以DH∥EF,DH=EF.所以四边形DHFE是平行四边形 1分【备注】至少见“DH∥EF,DH=EF”、“DHFE是平行四边形”之一给1分所以HF∥DE 2分(4分)【备注】见“HF∥DE”给2分因为DE为平面BC₁F外直线,HF为平面BC₁F内直线,所以DE∥平面BC₁F 2分(6分)【备注】见“DE为平面BC₁F外直线”、“HF为平面BC₁F内直线”之一才给2分,否则扣1分。证明方法二:取CC₁中点H,连接DH,EH⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分【备注】见“取CC₁中点H”给1分因为D为BC中点,所以DH∥BC₁.所以DH∥平面BC₁F.....1分【备注】见“DH∥平面BC₁F”给1分因为A₁A∥CC₁,EF=8-2-2=4,所以C₁H∥EF,C₁H=EF.所以C₁HEF是平行四边形,所以HE∥C₁F.所以HE∥平面BC₁F⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分【备注】见“HE∥平面BC₁F”给1分因为HE与DH交于H,所以平面DHE∥平面BC₁F 1分(4分)因为DE为平面DHE内直线,所以DE∥平面BC₁F 2分(6分)【备注】见“DE为平面DHE内直线”才给2分，否则扣1分。【备注】若只用两组相交直线平行证明面面平行，未见线面平行，统一扣2分。【备注】证明方法三：(向量法)建系共2分(在第二问中，此2分不重复给)，正确写出BC坐标给2分，正确计算BC⋅n=0给【备注】见DE不含于平面BC₁F内才給2分，否则扣1分(第一问满分共8分，第二问满分7分)(2)取AB中点O,A₁B₁中点P,连接OP,OC.因为三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱,所以A₁A⊥平面ABC.易得OP∥A₁A,OP⊥AB 1分【备注】见证明建系证明三线两两垂直过程，见“OP⊥AB”、“OP⊥平面ABC”之一可给1分。【备注】若用左手系建系也同样给1分。所以以O为坐标原点，OC，OB，OP所在直线分别x，y，z为轴建立，如图所示 1分【备注】见建系正确(含图中标出空间直角坐标系)可给1分。则CCB=-434【备注】至少正确写出一个点坐标即见“C(43,0,0),C₁(43,0,8),B(0,4,0),F(0,-4,6)”之一给1分。设平面BC₁F的法向量为n=(x,y,z),由{n·FC1→=0,n·FB→【备注】1.法向量正确即见“n=-532.若法向量结果错误，但见形如{n·FC设直线CB与平面BC₁F所成的角为θ，则sinθ=∣cos＜【备注】见正弦值正确“sinθ=235”给2分；若正弦值错误但写出“sinθ=∣cos＜n,CB＞∣”所以cosθ=135,tanθ=sinθcosθ=23913故CB与面【备注】见“23913”且前面有一定过程(过程不一定正确)给2分；若不见正确结果“23913”,但见【备注】其它四种建系法的部分对应给分点如下：写出建系证明过程给1分，建系给1分，法向量给2分.具体见下1B2BBC3B(4)B(0,-4,0),C(0,4,0),C₁(0,4,8),F(43,0,6),BC17.(本题15分)已知抛物线C:y2=2pxp0)的焦点为(1)求C的标准方程;(2)已知点A(7,0),O为坐标原点,直线l交C于P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂)两点,且P,Q在x轴的两侧.(i)求|AP|的最小值;(ii)若OP⋅OQ=解：(1)根据抛物线的性质可得|∣HF∣=p=p2-p 2分【备注】见“|HF|=p”解得p=2或0(舍去) 1分(3分)【备注】见“p=2”给1分.所以C的标准方程为y2=4x. (2)(i)由题意得.y12=∣AP∣=x1-【备注】至少见“|AP∣=x1-当x₁=5时，|AP|取得最小值，最小值为26 2分(9分)【备注】见“最小值为226”’给(ii)证明方法一：设直线l的方程为x=ty+m，由{x=ty+m,y2=4x得y²-4ty-4【备注】至少见“直线l的方程为x=ty+m”、“{x=ty+m,y2则△=16t2+16m＞0,【备注】至少见‘“y1+所以x1x2=y12由OP⋅OQ=140得x1x2+y1y2解得m=-10舍去或m=14,所以直线l方程为x=ty+14 1分【备注】见“x=ty+14”给1分.所以直线l过定点(14,0) 1分(15分)【备注】见“定点(14,0)”给1分证明方法二：直线斜率k存在时，设直线l方程为y=kx+b由{y=kx+b,y2=4x【备注】至少见“直线l方程为.y=kx+b”、“{y=kx+b,y2依题意得kb＜0,则△=16(1-kb)＞0,x₁+x₂=(4-2kb)/k²,x₁x₂=b²/k² 1分(11分)【备注】至少见“x1+所以(y1y22=16x1x由OP⋅OQ=140得x1x2+y1y2=140得b²/k²+4b/【备注】至少见“b/k=-14”、“b=-14k”之一给1分.所以y=kx+b=k(x-14),直线l过定点(14,0)当直线l不存在斜率时，设其方程为x=n(n＞0) 1分【备注】至少见“设其方程为x=n”、“当直线l不存在斜率时”之一给1分.将x=n代入.y2=4x得由OP⋅OQ=140得x1综上直线l过定点(14,0) 1分(15分)【备注】见“综上直线l过定点(14，0)”给1分18.(本题17分)已知函数hx=x3-6x2+9x-1.(1)求h(x)在[0,4]上的最值;(2)设函数(i)讨论f(x)的单调性;(ii)若a为f(x)的一个极值点,且.f(a)=f(b),a≠b,证明:2a+b为定值.解：1h'x=当x＜1或x＞3时h'(x)＞0,h(x)单调递增;当1＜x＜3时/h'(x)＜0,h(x)单调递减…1分【备注】至少见“当x＜1或x＞3时h'(x)＞0,h(x)单调递增”、“当1＜x＜3时h'(x)＜0,h(x)单调递减”之一给1分。因为h(0)=-1,h(1)=3,h(3)=-1,h(4)=3 2分(4分)【备注】“h(0)=-1,h(1)=3,h(3)=-1,h(4)=3”:：若只要写对一个值给1分；4个值全写对给2分.若该小问用表格的形式书写，则表格需如下：(其中含单调性1分；写对四个函数值给2分，若没写全四个函数值给1分)x0(0,1)1(1,3)3(3,4)4h’(x)+0—0+h(x)-1递增3递减-1递增3所以h(x)在[0,4]上的最大值为3,最小值为-1 2分(6分)【备注】见“最大值为3”、“最小值为-1”各给1分2f若t≤0,则f′(x)≥0,f(x)在R上单调递增 1分【备注】见“f(x)在R上单调递增”给1分。若t＞0,当x＜2-3t3时f【备注】见“当x＜2-3t3时当2-3t3＜x＜2+3t3时f'(【备注】见“当2-3t3＜x＜2+3t3时f'(x)＜0,f(x)单调递减”给1分当【备注】见“当x＞2+3t3时，综上:当t≤0时f(x)在R上单调递增;当t＞0时f(x)在-∞2-3t3上单调递增，在2-3t3【备注】体现综合上述思想，即写出“综上”给1分；若该小问未得分，但对t进行分类讨论，给1分(ii)证明:根据题意可得f'(a)=0,即3(a-2)²=t且t＞0 1分【备注】至少见‘“f'(a)=0”、“3(a-2)²=t”之一给1分由f(a)=f(b),得a3-6a2+a3-b【备注】至少见‘“a³-6a²+(12-t)a-1=b³-6b²+(12-t)b-1”、“a³-b³-6(a²-b²)+(12-t)(a-b)=0”、“所以((a-2)²]=0,(a-b)[a²+ab+b²-6(a+b)+12-3(a-b)[a²+ab+b²-6(a+b)-3a²+12a]=0所以(a-b)(a-b)(6-2a-b)=0 2分(15分)【备注】见“(a-b)(a-b)(6-2a-b)=0”给2分.因为a≠b,所以6-2a-b=0即2a+b=6,故2a+b为定值 2分(17分)【备注】见“2a+b=6”给2分.19.(本题17分)(1)若函数f(x)=sin(ox-π/3)(ω＞0)图象的两个相邻对称中心的横坐标相差6,求f(x).(2)在(1)的条件下，设函数g(x)=t(x+1)-ln(4/x-1),试判断并证明函数h(x)=f(x)+g(x)图象的对称性;(3)已知(2)中g(x)的导函数g'(x)有两个零点m,n且n＞m≥1.(i)求t的取值范围;(ii)当a≥1时,证明:g(m)+an＞t.解:(1)根据题意可得T/2=6,解得T=12,所以2π/ω=12 1分【备注】至少见“T/2=6”、“T=12”、“2π/ω=12”、“π/ω=6”、“2π/ω=T”之一给1分.解得ω=π/6 1分【备注】见“ω=π/6”给1分.所以fx=sinπ6x-(2)解法一:h(x)的图象有对称中心(2,3t),无对称轴 2分(5分)【备注】见“对称中心(2，3t)”、“无对称轴”各给1分证明如下：令4x-1＞0,解得若h(x)的图象具有对称性，则2是其对称轴或对称中心的横坐标.h4-x=-sin【备注】见“2是其对称轴或对称中心的横坐标.”、“h(4-x)”各给1分.所以h(x)+h(4-x)=6t.且h(x)≠h(4-x).所以h(x)图象的对称中心为(2，3t)，无对称轴 2分(9分)【备注】见“h(x)+h(4-x)=6t.”、“h(x)≠h(4-x).”各给1分.解法二:h(x)的图象有对称中心(2,3t),无对称轴.· 2分(5分)证明如下：令4x-1＞0,解得若h(x)的图象具有对称性，则2是其对称轴或对称中心的横坐标.设函数μx=tx-ln4x-1【备注】见“2是其对称轴或对称中心的横坐标.”、“μ(4-x)”各给1分.所以μ(x)+μ(4-x)=4t,μ(x)≠μ(4-x),所以μ(x)图象